1. 有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，乙三角形木框的三边长分别为$5,\sqrt{5},\sqrt{10}$，则甲、乙两个三角形（）

A.一定不相似
B.不一定相似
C.一定相似
D.无法判断

1. C 解析:
∵$\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$,
∴这两个三角形一定相似.故选 C.

2.（河北中考）若$△ ABC$的每条边长增加各自的10%得到$△ A'B'C'$，则$∠ B'$的度数与其对应角$∠ B$的度数相比（）

A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了$(1+10\%)$
D.没有改变

2. D 解析:角的度数与角的边的长短没有关系,故选 D.

3. 如图，$∠ APD=90°,AP=PB=BC=CD$,则下列结论成立的是（）


A.$△ PAB∽△ PCA$
B.$△ PAB∽△ PDA$
C.$△ ABC∽△ DBA$
D.$△ ABC∽△ DCA$

3. C 解析:∠APD=90°,∠PAB≠∠PCA,∠PBA≠∠PAC,无法判定△PAB与△PCA相似,故A错误;同理,无法判定△PAB与△PDA,△ABC与△DCA相似,故B,D错误;
∵∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,
∴AB=$\sqrt{2}$PA,AC=$\sqrt{5}$PA,AD=$\sqrt{10}$PA,BD=2PA,
∴$\frac{AB}{DB}=\frac{\sqrt{2}PA}{2PA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{BC}{BA}=\frac{AP}{\sqrt{2}AP}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{AC}{DA}=\frac{\sqrt{5}PA}{\sqrt{10}PA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}=\frac{AC}{DA}$,
∴△ABC∽△DBA,故C正确.故选C.

4. 如图,已知在△ABC与△ADE中, $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$, ∠BAD=20°, ∠DAE=60°,则∠DAC的大小为.

4. 40° 解析:
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE=60°.又
∵∠BAD=20°,
∴∠DAC=40°.故答案为40°.

5. 已知等腰$△ ABC$的两边长分别是4和9,等腰$△ DEF$的腰长为6,则当$△ DEF$的底边长为时,等腰$△ ABC$和等腰$△ DEF$相似.

5. $\frac{8}{3}$ 解析:如图,
∵ 等腰△ABC 的两边长分别是4 和 9,4+4＜9,
∴ 等腰△ABC 的腰 AB 和 AC 的长为 9,底边长为 4.
∵ 等腰△DEF 的腰 DE 和 DF 的长为 6,
∴ 当$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$时,△ABC∽△DEF,即$\frac{9}{6}=\frac{4}{EF}$,
∴$EF=\frac{8}{3}$,
∴ 等腰△DEF 的腰长为 6,底边长为$\frac{8}{3}$时,等腰△ABC 和等腰△DEF 相似.

6. 如图,已知$AB // A'B'$,$\frac{B'C'}{BC}=\frac{OB'}{OB}$,$\frac{A'C'}{AC}=\frac{OA'}{OA}$,求证:$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.

6.
∵ AB // A' B',
∴ △OA' B' ∽ △OAB,
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OA'}{OA}$.
∵$\frac{B'C'}{BC}=\frac{OB'}{OB}$,$\frac{A'C'}{AC}=\frac{OA'}{OA}$,
∴$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}$,
∴ △ABC∽△A'B'C'.

7. 一个铝质三角形框架三条边长分别为24 cm，30 cm，36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm，45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（）

A.0种
B.1种
C.2种
D.3种

7. B 解析:
∵ 两根铝材的长分别为 27 cm,45 cm,若 45 cm 为一边时,则另两边的和为 27 cm,27＜45,不能构成三角形,
∴ 必须以 27 cm 的铝材为一边,截开 45 cm 的铝材.设另外两边长分别为 x cm,y cm,则①若 27 cm 与 24 cm 相对应,即$\frac{27}{24}=\frac{x}{30}=\frac{y}{36}$,解得 x=33.75,y=40.5.
∵ x+y=33.75+40.5=74.25＞45,故不成立;②若 27 cm 与 36 cm 相对应,即$\frac{27}{36}=\frac{x}{30}=\frac{y}{24}$,解得 x=22.5,y=18,
∵ x+y=22.5+18=40.5＜45,故成立;③若 27 cm 与 30 cm 相对应,即$\frac{27}{30}=\frac{x}{36}=\frac{y}{24}$,解得 x=32.4,y=21.6,x+y=32.4+21.6=54＞45,故不成立,
∴ 只有一种截法.故选 B.

8. 新考法 定义:我们知道,凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这个凸四边形叫作“自相似四边形”.如图,点A,B,C是正方形网格中的格点,在网格中确定格点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是“自相似四边形”,符合条件的格点D有 ()


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

8. D 解析:如图①,由$\frac{AB}{D_1A}=\frac{AC}{D_1C}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,得△ABC∽△D₁AC,故D₁为所求点;如图②,由$\frac{AB}{D_2A}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{D_2B}=\sqrt{2}$,得△ABC∽△D₂AB,故D₂为所求点;如图③,由$\frac{BC}{AB}=\frac{CD_3}{BD_3}=\frac{BD_3}{AD_3}=\sqrt{2}$,得△BCD₃∽△ABD₃,故D₃为所求点;如图④,由$\frac{AB}{D_4C}=\frac{BC}{CA}=\frac{AC}{D_4A}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,得△ABC∽△D₄CA,故D₄为所求点;如图⑤,由$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD_5}=\frac{AC}{BD_5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,得△ABC∽△BCD₅,故D₅为所求点,
∴ 符合条件的格点 D 有 5 个.故选 D.