10. 实数$a,n,m,b$满足$a＜n＜m＜b$,这四个数在数轴上对应的点分别为A,N,M,B().若$AM^2=BM· AB$,$BN^2=AN· AB$,则称$m$为$a,b$的“大黄金数”,$n$为$a,b$的“小黄金数”.当$b-a=2$时,$m-n=$.

10. $2\sqrt{5}-4$ 解析:由题意得AB=b-a=2,设AM=x,则BM=2-x,
∴ $x^2=2(2-x)$,解得$x_1=-1+\sqrt{5}$,$x_2=-1-\sqrt{5}$(舍去),则AM=BN=$\sqrt{5}-1$,
∴ MN=m-n=AM+BN-2=2×($\sqrt{5}-1$)-2=$2\sqrt{5}-4$.

11. 如图,点P是线段AB的黄金分割点(PB＞AP),将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PC,延长CP到点D,使PD=AB.连接AD,BC,试比较△PCB与△PAD的面积的大小,并说明理由.

11. △PCB与△PAD的面积相等.理由:
∵ 线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PC,
∴ PC=PB,∠CPB=90°,
∴ $S_{△PCB}=\frac{1}{2}PB·PC=\frac{1}{2}PB^2$.
∵ $S_{△PAD}=\frac{1}{2}AP·PD$,PD=AB,
∴ $S_{△PAD}=\frac{1}{2}AP·AB$.
∵ 点P是线段AB的黄金分割点,
∴ PB:AB=AP:PB,即$PB^2=AP·AB$,
∴ $S_{△PCB}=S_{△PAD}$.

12. 折纸与证明——用纸折出黄金分割点.
第一步:如图①,先将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF;
第二步:如图②,将AB边折到BF上,得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG＞GD).

12. 如图,连接GF,设正方形ABCD的边长为1,则CF=DF=$\frac{1}{2}$.在Rt△BCF中,$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,则A'F=BF-BA'=$\frac{\sqrt{5}}{2}-1$.设AG=A'G=x,则GD=1-x.在Rt△A'GF和Rt△DGF中,有A'F²+A'G²=DF²+DG²,即$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+x^2=(\frac{1}{2})^2+(1-x)^2$,解得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,即点G是线段AD的黄金分割点(AG＞GD).

13. 如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR. 图中有很多顶角为$36°$的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. 若$AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$MN=$.

13. $\sqrt{5}-2$ 解析:设MN=x.由题意可知DE=CD=AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ ∠EDM=∠ECD=36°,∠END=∠EDN=72°,
∴ DE=EN.同理CD=CM,
∴ EM=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}-x$,EC=EN+CM-MN=$\sqrt{5}-1-x$.
∵ ∠DEM=∠CED,∠EDM=∠ECD,
∴ △DEM∽△CED,
∴ $\frac{DE}{CE}=\frac{EM}{ED}$,
∴ $DE^2=EM·EC$,
∴ $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2}-x)·(\sqrt{5}-1-x)$,整理得$x^2-\frac{3}{2}(\sqrt{5}-1)x+\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}=0$,
∴ $[x-\frac{3}{4}(\sqrt{5}-1)]^2=\frac{5}{16}(\sqrt{5}-1)^2$,
∴ $x=\sqrt{5}-2$或$x=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)$(不合题意,舍去),
∴ MN=$\sqrt{5}-2$.

14. 如图,在$△ ABC$中,点 D 在边 AB 上,且 $DB=DC=AC$,已知$∠ ACE=108°,BC=2$.
(1)求$∠ B$的度数.
(2)我们把有一个内角等于$36°$的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由.
②求 AD 的长.
③在直线 AB 或线段 BC 上是否存在点 P(点 A,B 除外),使$△ PDC$是黄金三角形?若存在,在图中画出点 P,简要说明画出点 P 的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.

14. (1)
∵ BD=DC=AC,
∴ ∠B=∠DCB,∠CDA=∠A.设∠B=x,则∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x.又
∵ ∠ACE=108°,
∴ ∠B+∠A=108°,
∴ x+2x=108°,解得x=36°,
∴ ∠B=36°.
(2) ①有三个:△BCD,△ACD,△ABC.选△BCD,理由:
∵ DB=DC,∠B=36°,
∴ △BCD是黄金三角形.或选△ACD,理由:由(1)易得∠CDA=∠A=72°,
∵ CD=CA,∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°,
∴ △ACD是黄金三角形.或选△ABC,理由:
∵ ∠ACE=108°,
∴ ∠ACB=72°.又
∵ ∠A=72°,
∴ ∠A=∠ACB,
∴ BA=BC.
∵ ∠B=36°,
∴ △ABC是黄金三角形.
②
∵ △ABC是黄金三角形,
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ BC=2,
∴ AC=$\sqrt{5}-1$.
∵ BA=BC=2,BD=AC=$\sqrt{5}-1$,
∴ AD=BA-BD=2-($\sqrt{5}-1$)=$3-\sqrt{5}$.
③存在,有三个符合条件的点$P_1,P_2,P_3$.如图.ⅰ.以CD为底边的黄金三角形:作CD的垂直平分线分别交直线AB,线段BC于点$P_1,P_2$.ⅱ.以CD为腰的黄金三角形:以点C为圆心,CD长为半径作弧与线段BC的交点为点$P_3$.