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1. 计算$\dfrac{2x^3 z}{y} ÷ (-3z^2) · 4xy^2$的结果是 （
A.$-\dfrac{x^2}{6y^3 z}$
B.$\dfrac{x^2}{6y^3 z}$
C.$-\dfrac{8x^4 y}{3z}$
D.$\dfrac{8x^4 y}{3z}$
C
）A.$-\dfrac{x^2}{6y^3 z}$
B.$\dfrac{x^2}{6y^3 z}$
C.$-\dfrac{8x^4 y}{3z}$
D.$\dfrac{8x^4 y}{3z}$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查分式的乘除混合运算，解题思路如下：首先，分式乘除混合运算需要先将除法转化为乘法，即除以一个整式等于乘这个整式的倒数；其次先确定结果的符号，式中只有1个负因数，因此结果为负，可直接排除选项B、D；最后分别计算系数的乘积、相同字母的幂的运算，约分后即可得到最终结果。
【解析】
根据分式乘除运算法则，先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2x^3 z}{y} × \dfrac{1}{-3z^2} × 4xy^2\\&= 2×(-\dfrac{1}{3})×4 × \dfrac{x^3 · x · z · y^2}{y · z^2}\\&= -\dfrac{8}{3} × \dfrac{x^4 y}{z}\\&= -\dfrac{8x^4 y}{3z}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算，同底数幂的运算，约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先将除法统一为乘法后再按从左到右的顺序计算，提前确定运算结果的符号，能有效减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式的乘除混合运算，解题思路如下：首先，分式乘除混合运算需要先将除法转化为乘法，即除以一个整式等于乘这个整式的倒数；其次先确定结果的符号，式中只有1个负因数，因此结果为负，可直接排除选项B、D；最后分别计算系数的乘积、相同字母的幂的运算，约分后即可得到最终结果。
【解析】
根据分式乘除运算法则，先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2x^3 z}{y} × \dfrac{1}{-3z^2} × 4xy^2\\&= 2×(-\dfrac{1}{3})×4 × \dfrac{x^3 · x · z · y^2}{y · z^2}\\&= -\dfrac{8}{3} × \dfrac{x^4 y}{z}\\&= -\dfrac{8x^4 y}{3z}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘除混合运算，同底数幂的运算，约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先将除法统一为乘法后再按从左到右的顺序计算，提前确定运算结果的符号，能有效减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
2. 计算$(\dfrac{3a}{a - b})^2$的结果是 （
A.$\dfrac{6a^2}{a^2 - b^2}$
B.$\dfrac{9a^2}{a^2 - b^2}$
C.$\dfrac{6a^2}{(a - b)^2}$
D.$\dfrac{9a^2}{(a - b)^2}$
D
）A.$\dfrac{6a^2}{a^2 - b^2}$
B.$\dfrac{9a^2}{a^2 - b^2}$
C.$\dfrac{6a^2}{(a - b)^2}$
D.$\dfrac{9a^2}{(a - b)^2}$
答案
D
解析
【分析】
本题是分式的乘方运算题，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算规则，即分式乘方需要将分子、分母分别进行乘方运算；其次分子是单项式3a，计算它的平方时要用到积的乘方法则，将系数和字母分别乘方后再相乘；最后注意分母是多项式(a-b)，平方后保留整体平方的形式即可，不要错误套用平方差公式展开成$a^2 - b^2$，也不要误将系数3的平方算成6，就能排除错误选项得到正确结果。
【解析】
根据分式乘方的运算法则$(\dfrac{A}{B})^n=\dfrac{A^n}{B^n}$（$B≠0$，n为正整数），可得：
$(\dfrac{3a}{a - b})^2=\dfrac{(3a)^2}{(a - b)^2}$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$计算分子：
$(3a)^2=3^2· a^2=9a^2$
因此原式计算结果为$\dfrac{9a^2}{(a - b)^2}$。
【答案】
D
【知识点】
分式乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式乘方的计算规则，解题时要注意系数的乘方运算，同时区分完全平方与平方差公式，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
本题是分式的乘方运算题，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算规则，即分式乘方需要将分子、分母分别进行乘方运算；其次分子是单项式3a，计算它的平方时要用到积的乘方法则，将系数和字母分别乘方后再相乘；最后注意分母是多项式(a-b)，平方后保留整体平方的形式即可，不要错误套用平方差公式展开成$a^2 - b^2$，也不要误将系数3的平方算成6，就能排除错误选项得到正确结果。
【解析】
根据分式乘方的运算法则$(\dfrac{A}{B})^n=\dfrac{A^n}{B^n}$（$B≠0$，n为正整数），可得：
$(\dfrac{3a}{a - b})^2=\dfrac{(3a)^2}{(a - b)^2}$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$计算分子：
$(3a)^2=3^2· a^2=9a^2$
因此原式计算结果为$\dfrac{9a^2}{(a - b)^2}$。
【答案】
D
【知识点】
分式乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式乘方的计算规则，解题时要注意系数的乘方运算，同时区分完全平方与平方差公式，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
3. 计算$(\dfrac{3y}{-2x})^2 · (\dfrac{2x}{3y})^3$的结果是（
A.$\dfrac{x}{3y}$
B.$-\dfrac{x}{3y}$
C.$\dfrac{2x}{3y}$
D.$-\dfrac{2x}{3y}$
C
）A.$\dfrac{x}{3y}$
B.$-\dfrac{x}{3y}$
C.$\dfrac{2x}{3y}$
D.$-\dfrac{2x}{3y}$
答案
C
解析
【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题需遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则，分别计算两个分式的乘方，注意负数的偶次幂为正，分子分母需分别乘方；第二步再按照分式乘法法则，将两个乘方结果相乘，最后通过约分化简得到最简结果，也可先观察式子特点，利用乘方的性质先约分再计算，简化运算过程。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$(\dfrac{3y}{-2x})^2=\dfrac{(3y)^2}{(-2x)^2}=\dfrac{9y^2}{4x^2}$，
$(\dfrac{2x}{3y})^3=\dfrac{(2x)^3}{(3y)^3}=\dfrac{8x^3}{27y^3}$，
再计算乘法运算，分子相乘作分子，分母相乘作分母：
原式$=\dfrac{9y^2}{4x^2} · \dfrac{8x^3}{27y^3}$
$=\dfrac{9y^2 · 8x^3}{4x^2 · 27y^3}$
约分可得：
$\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{8}{4}=2$，$\dfrac{x^3}{x^2}=x$，$\dfrac{y^2}{y^3}=\dfrac{1}{y}$，
代入得原式$=\dfrac{2x}{3y}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘方运算、分式的乘法运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查运算顺序和运算法则的掌握情况，计算时注意符号判断和约分的准确性，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于分式的混合运算题，解题需遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则，分别计算两个分式的乘方，注意负数的偶次幂为正，分子分母需分别乘方；第二步再按照分式乘法法则，将两个乘方结果相乘，最后通过约分化简得到最简结果，也可先观察式子特点，利用乘方的性质先约分再计算，简化运算过程。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$(\dfrac{3y}{-2x})^2=\dfrac{(3y)^2}{(-2x)^2}=\dfrac{9y^2}{4x^2}$，
$(\dfrac{2x}{3y})^3=\dfrac{(2x)^3}{(3y)^3}=\dfrac{8x^3}{27y^3}$，
再计算乘法运算，分子相乘作分子，分母相乘作分母：
原式$=\dfrac{9y^2}{4x^2} · \dfrac{8x^3}{27y^3}$
$=\dfrac{9y^2 · 8x^3}{4x^2 · 27y^3}$
约分可得：
$\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{8}{4}=2$，$\dfrac{x^3}{x^2}=x$，$\dfrac{y^2}{y^3}=\dfrac{1}{y}$，
代入得原式$=\dfrac{2x}{3y}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘方运算、分式的乘法运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查运算顺序和运算法则的掌握情况，计算时注意符号判断和约分的准确性，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 计算$(-\dfrac{2x}{y^2})^3 · (\dfrac{2y}{x})^2 ÷ \dfrac{2y}{x}$的结果是（
A.$-\dfrac{8x^3}{y^6}$
B.$\dfrac{8x^3}{y^6}$
C.$-\dfrac{16x^2}{y^5}$
D.$\dfrac{8x^3}{y^5}$
C
）A.$-\dfrac{8x^3}{y^6}$
B.$\dfrac{8x^3}{y^6}$
C.$-\dfrac{16x^2}{y^5}$
D.$\dfrac{8x^3}{y^5}$
答案
C
解析
【分析】
这是分式的乘方、乘除混合运算题，解题需遵循分式混合运算的顺序：第一步先计算分式的乘方，根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，注意负数的奇次幂符号为负；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步把所有分式的系数、相同字母的幂分别合并计算，约分化简后得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：按照运算顺序分步计算：
1. 先计算乘方：
$(-\dfrac{2x}{y^2})^3 = \dfrac{(-2x)^3}{(y^2)^3} = -\dfrac{8x^3}{y^6}$
$(\dfrac{2y}{x})^2 = \dfrac{(2y)^2}{x^2} = \dfrac{4y^2}{x^2}$
2. 将除法转化为乘法：
$÷ \dfrac{2y}{x} = × \dfrac{x}{2y}$
3. 统一进行乘法运算，分别计算系数、x的幂、y的幂：
原式$= -\dfrac{8x^3}{y^6} · \dfrac{4y^2}{x^2} · \dfrac{x}{2y}$
系数部分：$-8 × 4 ÷ 2 = -16$
x的幂部分：$x^3 ÷ x^2 × x = x^{3-2+1} = x^2$
y的幂部分：$y^2 ÷ y^6 ÷ y = y^{2-6-1} = y^{-5} = \dfrac{1}{y^5}$
4. 合并结果得：$-\dfrac{16x^2}{y^5}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除运算，同底数幂运算
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时要先确定运算顺序，计算乘方时注意符号的判断，将除法转化为乘法后再约分，计算同底数幂时要准确运用指数运算规则，避免因粗心算错系数或指数导致失分。
【难度系数】
0.7
这是分式的乘方、乘除混合运算题，解题需遵循分式混合运算的顺序：第一步先计算分式的乘方，根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，注意负数的奇次幂符号为负；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第三步把所有分式的系数、相同字母的幂分别合并计算，约分化简后得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：按照运算顺序分步计算：
1. 先计算乘方：
$(-\dfrac{2x}{y^2})^3 = \dfrac{(-2x)^3}{(y^2)^3} = -\dfrac{8x^3}{y^6}$
$(\dfrac{2y}{x})^2 = \dfrac{(2y)^2}{x^2} = \dfrac{4y^2}{x^2}$
2. 将除法转化为乘法：
$÷ \dfrac{2y}{x} = × \dfrac{x}{2y}$
3. 统一进行乘法运算，分别计算系数、x的幂、y的幂：
原式$= -\dfrac{8x^3}{y^6} · \dfrac{4y^2}{x^2} · \dfrac{x}{2y}$
系数部分：$-8 × 4 ÷ 2 = -16$
x的幂部分：$x^3 ÷ x^2 × x = x^{3-2+1} = x^2$
y的幂部分：$y^2 ÷ y^6 ÷ y = y^{2-6-1} = y^{-5} = \dfrac{1}{y^5}$
4. 合并结果得：$-\dfrac{16x^2}{y^5}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除运算，同底数幂运算
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时要先确定运算顺序，计算乘方时注意符号的判断，将除法转化为乘法后再约分，计算同底数幂时要准确运用指数运算规则，避免因粗心算错系数或指数导致失分。
【难度系数】
0.7
5.计算：$(\dfrac{2x}{3y})^2 · (\dfrac{3y}{4x})^3 ÷ \dfrac{1}{4}xy =$
$\dfrac{3}{4x^2}$
答案
$\dfrac{3}{4x^2}$
解析
【分析】
本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题思路遵循先乘方、再乘除的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则计算两个分式的乘方，第二步将除法运算转化为乘法运算，第三步把所有分子的因式相乘、分母的因式相乘，最后通过约分得到最简分式即可，计算时要注意系数和字母指数的运算规则。
【解析】
解：原式先计算乘方：
$=\dfrac{(2x)^2}{(3y)^2} · \dfrac{(3y)^3}{(4x)^3} · \dfrac{4}{xy}$
$=\dfrac{4x^2}{9y^2} · \dfrac{27y^3}{64x^3} · \dfrac{4}{xy}$
将分子、分母分别相乘：
$=\dfrac{4x^2 · 27y^3 · 4}{9y^2 · 64x^3 · xy}$
约分：常数项$\dfrac{4×27×4}{9×64}=\dfrac{3}{4}$；字母因式中$x$项约分得$\dfrac{1}{x^2}$，$y$项全部约掉，最终得：
$=\dfrac{3}{4x^2}$
【答案】
$\dfrac{3}{4x^2}$
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除运算，约分
【点评】
本题重点考查分式的混合运算，核心是掌握运算顺序和分式的运算法则，计算时需注意乘方运算中分子分母要分别乘方，除法要转化为乘以倒数，约分过程中要准确计算字母的指数，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题思路遵循先乘方、再乘除的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则计算两个分式的乘方，第二步将除法运算转化为乘法运算，第三步把所有分子的因式相乘、分母的因式相乘，最后通过约分得到最简分式即可，计算时要注意系数和字母指数的运算规则。
【解析】
解：原式先计算乘方：
$=\dfrac{(2x)^2}{(3y)^2} · \dfrac{(3y)^3}{(4x)^3} · \dfrac{4}{xy}$
$=\dfrac{4x^2}{9y^2} · \dfrac{27y^3}{64x^3} · \dfrac{4}{xy}$
将分子、分母分别相乘：
$=\dfrac{4x^2 · 27y^3 · 4}{9y^2 · 64x^3 · xy}$
约分：常数项$\dfrac{4×27×4}{9×64}=\dfrac{3}{4}$；字母因式中$x$项约分得$\dfrac{1}{x^2}$，$y$项全部约掉，最终得：
$=\dfrac{3}{4x^2}$
【答案】
$\dfrac{3}{4x^2}$
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除运算，约分
【点评】
本题重点考查分式的混合运算，核心是掌握运算顺序和分式的运算法则，计算时需注意乘方运算中分子分母要分别乘方，除法要转化为乘以倒数，约分过程中要准确计算字母的指数，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
6.计算：$\dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} ÷ \dfrac{m}{m - 1} · (-\dfrac{m + 1}{m - 1})^2 =$
$-\dfrac{m+1}{m-1}$
。答案
$-\dfrac{m+1}{m-1}$
解析
【分析】
分式乘除混合运算要遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序，解题思路如下：1. 先计算乘方运算，注意负数的偶次幂为正；2. 将除法运算转化为乘法运算，除以一个分式等于乘以它的倒数；3. 对各分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解（提公因式、平方差公式）；4. 约掉分子分母的公因式，合并剩余部分得到最简结果，全程要注意符号的处理。
【解析】
解：按照运算顺序逐步化简：
1. 先计算乘方：$(-\dfrac{m + 1}{m - 1})^2 = \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2}$
2. 将除法转化为乘法：$\dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} ÷ \dfrac{m}{m - 1} = \dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} × \dfrac{m - 1}{m}$
3. 对分子分母因式分解：
分子$m - m^2 = -m(m - 1)$，分母$m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)$
4. 代入原式约分：
$\begin{aligned}原式 &= \dfrac{-m(m - 1)}{(m + 1)(m - 1)} × \dfrac{m - 1}{m} × \dfrac{(m + 1)^2}{(m - 1)^2} \\&= \dfrac{-m(m-1) · (m-1) · (m+1)^2}{(m+1)(m-1) · m · (m-1)^2} \\&= -\dfrac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{m+1}{m-1}$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式的约分
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算，运算时要严格遵守运算顺序，先算乘方再算乘除，因式分解是正确约分的基础，解题时要特别注意符号的变化，避免因符号处理失误失分。
【难度系数】
0.7
分式乘除混合运算要遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序，解题思路如下：1. 先计算乘方运算，注意负数的偶次幂为正；2. 将除法运算转化为乘法运算，除以一个分式等于乘以它的倒数；3. 对各分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解（提公因式、平方差公式）；4. 约掉分子分母的公因式，合并剩余部分得到最简结果，全程要注意符号的处理。
【解析】
解：按照运算顺序逐步化简：
1. 先计算乘方：$(-\dfrac{m + 1}{m - 1})^2 = \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2}$
2. 将除法转化为乘法：$\dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} ÷ \dfrac{m}{m - 1} = \dfrac{m - m^2}{m^2 - 1} × \dfrac{m - 1}{m}$
3. 对分子分母因式分解：
分子$m - m^2 = -m(m - 1)$，分母$m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)$
4. 代入原式约分：
$\begin{aligned}原式 &= \dfrac{-m(m - 1)}{(m + 1)(m - 1)} × \dfrac{m - 1}{m} × \dfrac{(m + 1)^2}{(m - 1)^2} \\&= \dfrac{-m(m-1) · (m-1) · (m+1)^2}{(m+1)(m-1) · m · (m-1)^2} \\&= -\dfrac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{m+1}{m-1}$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式的约分
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算，运算时要严格遵守运算顺序，先算乘方再算乘除，因式分解是正确约分的基础，解题时要特别注意符号的变化，避免因符号处理失误失分。
【难度系数】
0.7
7.绿化队原来用漫灌方式浇绿地，$a$天用水$m$ t.现改用喷灌方式，可使同样$m$ t的水量多用5天.漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的
$\dfrac{a+5}{a}$
倍.答案
$\dfrac{a+5}{a}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确数量关系：每天用水量=总用水量÷使用天数，求一个量是另一个量的几倍用除法计算。我们可以先分别算出漫灌、喷灌两种方式的日用水量，再用漫灌的日用水量除以喷灌的日用水量，最后化简分式得到结果。
【解析】
1. 计算漫灌方式的日用水量：
已知漫灌$a$天用水$m$ t，根据日用水量计算公式，可得漫灌每天用水量为$\frac{m}{a}$ t。
2. 计算喷灌方式的日用水量：
同样$m$ t的水，喷灌比漫灌多用5天，即喷灌的使用天数为$(a+5)$天，因此喷灌每天用水量为$\frac{m}{a+5}$ t。
3. 计算倍数：
用漫灌日用水量除以喷灌日用水量，结合分式除法运算法则（除以一个分式等于乘它的倒数）计算：
$\frac{m}{a} ÷ \frac{m}{a+5} = \frac{m}{a} × \frac{a+5}{m} = \frac{a+5}{a}$
【答案】
$\dfrac{a+5}{a}$
【知识点】
列代数式；分式的除法运算；分式化简
【点评】
本题结合实际生活场景考察分式的应用，解题关键是理清总用水量、使用天数、日用水量三者的数量关系，计算时注意区分被除数和除数，不要搞反两种灌溉方式的用量关系，熟练掌握分式除法法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确数量关系：每天用水量=总用水量÷使用天数，求一个量是另一个量的几倍用除法计算。我们可以先分别算出漫灌、喷灌两种方式的日用水量，再用漫灌的日用水量除以喷灌的日用水量，最后化简分式得到结果。
【解析】
1. 计算漫灌方式的日用水量：
已知漫灌$a$天用水$m$ t，根据日用水量计算公式，可得漫灌每天用水量为$\frac{m}{a}$ t。
2. 计算喷灌方式的日用水量：
同样$m$ t的水，喷灌比漫灌多用5天，即喷灌的使用天数为$(a+5)$天，因此喷灌每天用水量为$\frac{m}{a+5}$ t。
3. 计算倍数：
用漫灌日用水量除以喷灌日用水量，结合分式除法运算法则（除以一个分式等于乘它的倒数）计算：
$\frac{m}{a} ÷ \frac{m}{a+5} = \frac{m}{a} × \frac{a+5}{m} = \frac{a+5}{a}$
【答案】
$\dfrac{a+5}{a}$
【知识点】
列代数式；分式的除法运算；分式化简
【点评】
本题结合实际生活场景考察分式的应用，解题关键是理清总用水量、使用天数、日用水量三者的数量关系，计算时注意区分被除数和除数，不要搞反两种灌溉方式的用量关系，熟练掌握分式除法法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
8. 已知$a^2 -5a +1=0$，则$a^2 + \frac{1}{a^2} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
23
解析
【分析】
首先观察已知方程和所求代数式的特征，先判断a的取值：若a=0，代入已知方程左边得1≠0，因此a≠0，可利用分式的基本性质将已知方程两边同时除以a，得到a + 1/a的值；再结合完全平方公式的变形，把所求的$a^2+\frac{1}{a^2}$转化为含$a+\frac{1}{a}$的式子，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because a^2 -5a +1=0$，
若$a=0$，代入方程左边得$0-0+1=1\ne0$，因此$a\ne0$，
将方程两边同时除以$a$，得：
$a -5 + \frac{1}{a}=0$，
移项得：$a+\frac{1}{a}=5$，
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$b=\frac{1}{a}$，可得：
$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+2· a·\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+2$，
移项得：$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，
将$a+\frac{1}{a}=5$代入上式，得：
$a^2+\frac{1}{a^2}=5^2-2=25-2=23$。
【答案】
23
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是先明确a不为0的前提，对已知方程变形得到$a+\frac{1}{a}$的值，再灵活运用完全平方公式的变形求解，需注意公式变形的正确性。
【难度系数】
0.7
首先观察已知方程和所求代数式的特征，先判断a的取值：若a=0，代入已知方程左边得1≠0，因此a≠0，可利用分式的基本性质将已知方程两边同时除以a，得到a + 1/a的值；再结合完全平方公式的变形，把所求的$a^2+\frac{1}{a^2}$转化为含$a+\frac{1}{a}$的式子，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because a^2 -5a +1=0$，
若$a=0$，代入方程左边得$0-0+1=1\ne0$，因此$a\ne0$，
将方程两边同时除以$a$，得：
$a -5 + \frac{1}{a}=0$，
移项得：$a+\frac{1}{a}=5$，
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，令$b=\frac{1}{a}$，可得：
$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+2· a·\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+2$，
移项得：$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，
将$a+\frac{1}{a}=5$代入上式，得：
$a^2+\frac{1}{a^2}=5^2-2=25-2=23$。
【答案】
23
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是先明确a不为0的前提，对已知方程变形得到$a+\frac{1}{a}$的值，再灵活运用完全平方公式的变形求解，需注意公式变形的正确性。
【难度系数】
0.7
9.将$x$ g含糖$10\%$的糖水与$y$ g含糖$30\%$的糖水混合,混合后的糖水含糖（
A.$20\%$
B.$\dfrac{x+y}{2}$
C.$\dfrac{x+3y}{20}$
D.$\dfrac{x+3y}{10x+10y}$
D
）A.$20\%$
B.$\dfrac{x+y}{2}$
C.$\dfrac{x+3y}{20}$
D.$\dfrac{x+3y}{10x+10y}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确混合后糖水的含糖浓度计算逻辑：含糖浓度=总糖的质量÷混合后糖水的总质量。第一步先分别算出两种糖水中所含糖的质量，相加得到总糖质量；第二步计算混合后糖水的总质量，即两种糖水的质量之和；第三步用总糖质量除以总糖水质量，将得到的分式化简后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 计算两种糖水的含糖质量：
x g含糖10%的糖水中，糖的质量为$10\%x = 0.1x$ g；
y g含糖30%的糖水中，糖的质量为$30\%y = 0.3y$ g。
2. 计算混合后总质量：
混合后总糖质量为$0.1x + 0.3y$ g，混合后糖水总质量为$(x + y)$ g。
3. 计算混合后糖水的含糖比例：
$\mathrm{含糖比例}=\frac{\mathrm{总糖质量}}{\mathrm{总糖水质量}}=\frac{0.1x + 0.3y}{x + y}$
将分子分母同时乘10消去小数，可得：
$\frac{0.1x + 0.3y}{x + y}=\frac{(0.1x + 0.3y)×10}{(x + y)×10}=\frac{x + 3y}{10x + 10y}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 浓度问题公式
2. 分式的化简
【点评】
这道题是分式在实际生活问题中的典型应用，解题的核心是牢记浓度的计算公式，准确找到总溶质（糖）和总溶液（糖水）的质量，再对分式进行简单化简即可得到结果，属于基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确混合后糖水的含糖浓度计算逻辑：含糖浓度=总糖的质量÷混合后糖水的总质量。第一步先分别算出两种糖水中所含糖的质量，相加得到总糖质量；第二步计算混合后糖水的总质量，即两种糖水的质量之和；第三步用总糖质量除以总糖水质量，将得到的分式化简后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 计算两种糖水的含糖质量：
x g含糖10%的糖水中，糖的质量为$10\%x = 0.1x$ g；
y g含糖30%的糖水中，糖的质量为$30\%y = 0.3y$ g。
2. 计算混合后总质量：
混合后总糖质量为$0.1x + 0.3y$ g，混合后糖水总质量为$(x + y)$ g。
3. 计算混合后糖水的含糖比例：
$\mathrm{含糖比例}=\frac{\mathrm{总糖质量}}{\mathrm{总糖水质量}}=\frac{0.1x + 0.3y}{x + y}$
将分子分母同时乘10消去小数，可得：
$\frac{0.1x + 0.3y}{x + y}=\frac{(0.1x + 0.3y)×10}{(x + y)×10}=\frac{x + 3y}{10x + 10y}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 浓度问题公式
2. 分式的化简
【点评】
这道题是分式在实际生活问题中的典型应用，解题的核心是牢记浓度的计算公式，准确找到总溶质（糖）和总溶液（糖水）的质量，再对分式进行简单化简即可得到结果，属于基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
