10.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$. 以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长，交BC于点D，连接MP，NP.
(1)求证$∠ CAD=∠ BAD$；
(2)若$AB=8$，$CD=3$，求$△ ABD$的面积.

10.(1)略 (2)12

【分析】
(1) 要证明∠CAD=∠BAD，可通过证明两个角所在的三角形全等实现。根据尺规作图的特征，可得AM=AN、MP=NP，结合公共边AP，利用SSS判定△AMP≌△ANP，根据全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 由(1)可知AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，点D到AB的距离等于CD的长度，再代入三角形面积公式即可求出△ABD的面积。
【解析】
(1) 证明：由尺规作图的操作步骤可得：$AM=AN$，$MP=NP$，
在$△ AMP$和$△ ANP$中：
$\begin{cases}AM=AN \\MP=NP \\AP=AP \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ AMP ≌ △ ANP \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ MAP=∠ NAP$，即$∠ CAD=∠ BAD$。
(2) 解：过点$D$作$DE ⊥ AB$，垂足为$E$。
$\because ∠ C=90°$，$\therefore DC ⊥ AC$，
又$\because AD$平分$∠ BAC$，$DC ⊥ AC$，$DE ⊥ AB$，
$\therefore DE=CD=3$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
SSS证全等，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合角平分线的尺规作图，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是从作图步骤中提取相等的线段，熟练运用相关定理求解。
【难度系数】
0.7

11.数学活动课上,在学习了角平分线的尺规作图后,嘉嘉受此问题启发,利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法.如图,请仔细阅读并完成相应任务.
作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;②再以点O为圆心,大于OC长为半径画弧,交OA于点E,交OB于点F;③连接CF,DE交于点P;④作射线OP,则射线OP即为$∠ AOB$的平分线.
任务:
(1)由尺规作图可直接得到的相等线段有$OC=OD$和;
(2)由(1)中的条件,可证$△ OCF ≌ △ ODE$,依据是(填判定方法),
(3)如果把(2)中的$△ OCF ≌ △ ODE$作为条件,求证$OP$平分$∠ AOB$.

11.(1)$OE=OF$ (2)SAS(或边角边) (3)略

【分析】
(1) 根据尺规作图的步骤，第②步是以点O为圆心、相同长度为半径画弧交OA于E、交OB于F，根据同圆半径相等即可直接得到相等线段；
(2) 要判定△OCF≌△ODE，已知OC=OD，∠COF是两个三角形的公共角，结合(1)得到的OE=OF，刚好符合两边及其夹角对应相等的全等判定条件；
(3) 要证明OP平分∠AOB，只需证明∠POA=∠POB，可先由△OCF≌△ODE得到对应角相等，结合线段差得到CE=DF，证明△CPE≌△DPF得到PE=PF，再通过SSS证明△OPE≌△OPF，即可得到对应角相等，推出OP是角平分线。
【解析】
(1) 由作法②可知，OE和OF是同圆的两条半径，因此$OE=OF$；
(2) 在$△ OCF$和$△ ODE$中：
$\{\begin{array}{l} OC=OD\\ ∠ COF=∠ DOE(\mathrm{公共角})\\ OF=OE\end{array} $
因此$△ OCF ≌ △ ODE$的判定依据是SAS（边角边）；
(3) 证明：
$\because △ OCF ≌ △ ODE$，
$\therefore ∠ OFC=∠ OED$，
$\because OE=OF, OC=OD$，
$\therefore OE-OC=OF-OD$，即$CE=DF$，
在$△ CPE$和$△ DPF$中：
$\{\begin{array}{l} ∠ CEP=∠ DFP\\ ∠ CPE=∠ DPF(\mathrm{对顶角相等})\\ CE=DF\end{array} $
$\therefore △ CPE ≌ △ DPF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore PE=PF$，
在$△ OPE$和$△ OPF$中：
$\{\begin{array}{l} OE=OF\\ PE=PF\\ OP=OP(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ OPE ≌ △ OPF(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ POE=∠ POF$，即$OP$平分$∠ AOB$。
【答案】
(1) $OE=OF$
(2) SAS（或边角边）
(3) 证明见解析
【知识点】
尺规作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题将尺规作图与全等三角形的知识结合考查，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，结合已知条件逐步推导对应边、对应角相等，最终证明角平分线，属于几何基础应用题。
【难度系数】
0.7