1. 已知$□ ABCD$，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()。

A.$∠ A=∠ B$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AC=BD$
D.$AB⊥ BC$

1.B

【分析】
本题考查平行四边形判定为矩形的相关知识，解题思路为：先回忆矩形的判定定理（有一个内角为直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形），再结合平行四边形固有的邻角互补、对角相等的性质，逐一验证每个选项是否满足矩形的判定条件即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可得：∠A+∠B=180°（邻角互补），∠A=∠C、∠B=∠D（对角相等）。
对各选项逐一分析：
选项A：若∠A=∠B，结合∠A+∠B=180°，可推出∠A=∠B=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意。
选项B：∠A=∠C是平行四边形本身就具备的对角相等的性质，无论该平行四边形是否为矩形都满足，无法推出存在直角或对角线相等，不能判定为矩形，符合题意。
选项C：若AC=BD，即平行四边形对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意。
选项D：若AB⊥BC，则∠B=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对平行四边形固有性质和矩形判定定理的区分与应用，只要熟练掌握相关性质定理即可轻松解答，要注意避免将平行四边形的通用性质当成矩形的特有判定条件。
【难度系数】
0.8

2. 要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟订方案中，正确的方案是()。

A.测量对角线是否互相平分且垂直
B.测量对角线是否互相平分
C.测量对角线是否互相平分且相等
D.测量对角线是否互相垂直

2.C

【分析】
要判断四边形是否为矩形，需结合矩形的判定定理逐步分析：首先明确平行四边形和矩形的判定关联：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的平行四边形是矩形，因此判定普通四边形为矩形，需要同时满足“对角线互相平分（先证为平行四边形）”和“对角线相等（再证平行四边形为矩形）”两个条件，再逐一比对各选项即可。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：对角线互相平分可判定为平行四边形，再结合对角线垂直，判定的是菱形，不是矩形，该选项错误；
选项B：仅对角线互相平分只能判定四边形是平行四边形，无法确认是矩形，该选项错误；
选项C：对角线互相平分可判定为平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定要求，该选项正确；
选项D：仅对角线互相垂直无法判定四边形是矩形，比如普通四边形、菱形的对角线都可能垂直，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
1.矩形的判定
2.平行四边形的判定
3.特殊四边形对角线性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，核心是要区分平行四边形、矩形、菱形的判定条件，尤其是对角线相关的判定特征，避免不同特殊图形的判定规则混淆。
【难度系数】
0.8

3. 如图1-3-10，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE。若AC=10，BD=24，则OE的长为。


图1-3-10
图1-3-11

3.13

【分析】
解题时先从已知的菱形性质入手，菱形对角线互相垂直且平分，可得OC、OD的长度以及∠COD为直角；再根据两组对边分别平行可判定四边形OCED是平行四边形，结合∠COD是直角可证该平行四边形是矩形，由矩形对角线相等可将求OE的长度转化为求菱形的边长CD，最后用勾股定理计算CD长度即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24
∴菱形对角线互相垂直平分，即$OC=\frac{1}{2}AC=5$，$OD=\frac{1}{2}BD=12$，且$∠ COD=90°$
∵$DE// AC$，$CE// BD$
∴四边形OCED是平行四边形
又
∵$∠ COD=90°$
∴平行四边形OCED是矩形
∴矩形对角线相等，即$OE=CD$
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
∴$OE=13$
【答案】
13
【知识点】
菱形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过平行关系和直角条件判定矩形，将未知线段的长度转化为可直接用勾股定理计算的线段长度，对几何图形性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

4. 如图1-3-11，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使$CE=CD$，连接AE交BC于点F，$∠ AFC = n∠ D$。当$n=$时，四边形ABEC是矩形。

4.2

【分析】
解题思路分三步推进：第一步，先利用平行四边形ABCD的性质结合CE=CD，先证四边形ABEC是平行四边形，明确要使它为矩形只需满足矩形的判定条件；第二步，结合矩形对角线的性质推导边的等量关系，进而得到角的等量关系；第三步，利用平行四边形邻角互补的性质和三角形外角的性质，建立∠AFC和∠D的数量关系，即可求出n的值。
【解析】
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，因此AB//CD，AB=CD，且AD//BC，可得∠D + ∠BCD=180°。
2. 由CE=CD，可得AB=CE，又AB//CE（E在DC延长线上，AB//CD），因此四边形ABEC是平行四边形。
3. 若四边形ABEC是矩形，则其对角线互相平分且相等，因此FC=FE，可得∠FCE=∠FEC。
4. 由平角定义得∠BCD + ∠FCE=180°，结合∠D + ∠BCD=180°，可推得∠FCE=∠D。
5. ∠AFC是△EFC的外角，根据三角形外角性质，∠AFC=∠FCE + ∠FEC=2∠FCE=2∠D。
6. 已知∠AFC = n∠D，因此n=2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是平行四边形和矩形性质的综合应用题，解题关键是先确定ABEC为平行四边形，再结合矩形的性质和三角形外角定理建立角的数量关系，能有效考查学生对特殊四边形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

5. 如图1-3-12，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，且$BA=6$，$AC=8$，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作$DM⊥ AB$于点M，$DN⊥ AC$于点N，连接MN，则MN的最小值为。

图1-3-12

5.4.8

【分析】
首先观察图形特征：已知∠BAC=90°，DM⊥AB、DN⊥AC，可推出四边形AMDN有三个内角为直角，由此判定该四边形是矩形；根据矩形对角线相等的性质，可得MN=AD，因此求MN的最小值可转化为求线段AD的最小值。根据点到直线的线段中垂线段最短的性质，当AD⊥BC时AD最短，即等于Rt△ABC斜边BC上的高，最后用勾股定理计算BC的长度，再通过面积法求出斜边上的高即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠AMD=∠AND=∠BAC=90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴MN=AD。
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
根据“垂线段最短”可知，当AD⊥BC时，AD的长度最小。
由三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
代入数值计算得：$AD=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8$，
因此MN的最小值为4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类常见题型，解题的核心是利用矩形的性质将未知线段的最值转化为易求的线段最值，结合垂线段最短的性质和面积法求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.65

6. 如图1-3-13，在$□ ABCD$中，延长BC至点E，使得$CE=BC$，连接AC，AE，DE。若$AB=AE$，求证：四边形ACED是矩形。

6. 证明:$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC,AB=DC$。
$\because CE=BC,\therefore AD=CE$。
又$\because AD// CE$，
$\therefore$ 四边形 ACED 是平行四边形。
$\because AB=DC,AB=AE$，
$\therefore DC=AE,\therefore$ 四边形 ACED 是矩形。

【分析】
要证明四边形ACED是矩形，需按照“先证平行四边形，再证矩形”的思路推导：首先利用平行四边形ABCD的性质，得到AD与BC的平行且相等的关系，结合CE=BC的条件，可推出AD与CE平行且相等，先证得ACED是平行四边形；再结合已知AB=AE，以及平行四边形对边相等的性质，得到平行四边形ACED的对角线AE=DC，最后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定定理完成证明。
【解析】
证明:$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC,AB=DC$。
$\because CE=BC,\therefore AD=CE$。
又$\because AD// CE$，
$\therefore$ 四边形 ACED 是平行四边形。
$\because AB=DC,AB=AE$，
$\therefore DC=AE,\therefore$ 四边形 ACED 是矩形。
【答案】
证明:$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC,AB=DC$。
$\because CE=BC,\therefore AD=CE$。
又$\because AD// CE$，
$\therefore$ 四边形 ACED 是平行四边形。
$\because AB=DC,AB=AE$，
$\therefore DC=AE,\therefore$ 四边形 ACED 是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，逻辑链条清晰，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形的相关判定与性质，按照“先证平行四边形，再补充矩形判定条件”的顺序推导即可。
【难度系数】
0.7

7. 如图1-3-14，将$□ ABCD$的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和F，且使$BE=DF$，连接AE，CE，CF，AF。在不增加新的点和线的情况下，请添加一个条件：，使四边形AECF为矩形，并说明理由。

7. 解:添加的条件是 $AF⊥ CF$(答案不唯一)。理由如下：
如答图 1-3-5,连接 AC,交 BD 于点 O。

在$□ ABCD$ 中,$OA=OC,OB=OD$。
$\because BE=DF,\therefore OB+BE=OD+DF$，
即 $OE=OF$。
$\because OA=OC$，
$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形。
又$\because AF⊥ CF,\therefore$ 四边形 AECF 是矩形。

【分析】
要使四边形AECF为矩形，我们可以按两步思考：第一步先判定四边形AECF是平行四边形，第二步再添加符合矩形判定的条件。首先连接AC交BD于O，利用平行四边形ABCD对角线互相平分的性质，可得OA=OC、OB=OD，结合已知BE=DF，可推出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可证得AECF是平行四边形。接下来根据矩形的判定定理，只需添加“平行四边形有一个内角为直角”或“平行四边形对角线相等”类的条件即可，此处以添加$AF⊥CF$为例讲解。
【解析】
添加的条件是 $AF⊥ CF$(答案不唯一)。理由如下：
如答图 1-3-5,连接 AC,交 BD 于点 O。

在$□ ABCD$ 中,$OA=OC,OB=OD$。
$\because BE=DF,\therefore OB+BE=OD+DF$，
即 $OE=OF$。
$\because OA=OC$，
$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形。
又$\because AF⊥ CF,\therefore$ 四边形 AECF 是矩形。
【答案】
添加的条件是 $AF⊥ CF$(答案不唯一)。理由如下：
如答图 1-3-5,连接 AC,交 BD 于点 O。

在$□ ABCD$ 中,$OA=OC,OB=OD$。
$\because BE=DF,\therefore OB+BE=OD+DF$，
即 $OE=OF$。
$\because OA=OC$，
$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形。
又$\because AF⊥ CF,\therefore$ 四边形 AECF 是矩形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题为开放性几何题，重点考查特殊四边形的判定定理，需要先从已知条件推导得出基础的平行四边形结论，再结合矩形的判定规则添加合理条件，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7