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8. 定义:四个顶点都是格点的矩形为格点矩形。如图1-3-15,A,B为5×5的正方形网格中的两个格点,以A,B为顶点的格点矩形中,面积最大是多少?
答案
8. 解:如答图 1-3-6,以 A,B 为顶点的格点矩形可以是以下四种情况：
其面积分别为 8,10,10,6,因此面积最大是 10。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先明确格点矩形的定义是四个顶点均为格点的矩形，A、B为固定的两个顶点，因此需分类讨论A、B在矩形中的位置：①A、B是矩形的相邻顶点（即AB为矩形的边）；②A、B是矩形的相对顶点（即AB为矩形的对角线）。接下来结合矩形的性质，找出所有符合要求的格点矩形，分别计算各矩形的面积，最后比较得到最大面积即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
我们分两类构造所有以A、B为顶点的格点矩形：
1. 当AB为矩形的边时：
过A、B分别作AB的垂线，在格点上找到另外两个顶点构成矩形，可得到面积为8、面积为6的矩形。
2. 当AB为矩形的对角线时：
根据矩形对角线相等且互相平分的性质，寻找另外两个格点，使得四个点的对角线互相平分且相等，可得到两个面积为10的矩形。
将所有符合条件的矩形面积进行比较：6＜8＜10，因此最大面积为10。
所有可能的格点矩形如下：
【答案】
如答图 1-3-6,以 A,B 为顶点的格点矩形可以是以下四种情况：
其面积分别为 8,10,10,6,因此面积最大是 10。
【知识点】
格点矩形的判定；矩形的性质；面积计算
【点评】
本题需要结合分类讨论思想，考虑AB作为矩形的边和对角线两种情况，再通过作图、计算面积得到最大值，能有效提升学生的图形构造能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先明确格点矩形的定义是四个顶点均为格点的矩形，A、B为固定的两个顶点，因此需分类讨论A、B在矩形中的位置：①A、B是矩形的相邻顶点（即AB为矩形的边）；②A、B是矩形的相对顶点（即AB为矩形的对角线）。接下来结合矩形的性质，找出所有符合要求的格点矩形，分别计算各矩形的面积，最后比较得到最大面积即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
我们分两类构造所有以A、B为顶点的格点矩形：
1. 当AB为矩形的边时：
过A、B分别作AB的垂线，在格点上找到另外两个顶点构成矩形，可得到面积为8、面积为6的矩形。
2. 当AB为矩形的对角线时：
根据矩形对角线相等且互相平分的性质，寻找另外两个格点，使得四个点的对角线互相平分且相等，可得到两个面积为10的矩形。
将所有符合条件的矩形面积进行比较：6＜8＜10，因此最大面积为10。
所有可能的格点矩形如下：
【答案】
如答图 1-3-6,以 A,B 为顶点的格点矩形可以是以下四种情况：
其面积分别为 8,10,10,6,因此面积最大是 10。
【知识点】
格点矩形的判定；矩形的性质；面积计算
【点评】
本题需要结合分类讨论思想，考虑AB作为矩形的边和对角线两种情况，再通过作图、计算面积得到最大值，能有效提升学生的图形构造能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
二、拓展性作业
9. 如图 1-3-16,在$△ ABC$中,点 O 是边 AC 上一个动点,过点 O 作直线 $EF // BC$ 分别交$∠ ACB,∠ ACD$的平分线于点 E,F。
(1)若 $CE=4,CF=3$,求 OC 的长。
(2)连接 AE,AF,当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形?请说明理由。
9. 如图 1-3-16,在$△ ABC$中,点 O 是边 AC 上一个动点,过点 O 作直线 $EF // BC$ 分别交$∠ ACB,∠ ACD$的平分线于点 E,F。
(1)若 $CE=4,CF=3$,求 OC 的长。
(2)连接 AE,AF,当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形?请说明理由。
答案
9. 解:(1)$\because EF$ 交$∠ ACB$ 的平分线于点 E,交$∠ ACD$ 的平分线于点 F,$\therefore ∠ OCE=∠ BCE,∠ OCF=∠ DCF$。
$\because EF// BC,\therefore ∠ OEC=∠ BCE,∠ OFC=∠ DCF$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OCE,∠ OFC=∠ OCF$，
$\therefore OE=OC,OF=OC,\therefore OE=OF$。
$\because ∠ OCE+∠ BCE+∠ OCF+∠ DCF=180°$，
$\therefore ∠ ECF=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,由勾股定理得,$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=5$，
$\therefore OC=OE=\frac{1}{2}EF=2.5$。
(2)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形。理由如下：
$\because O$ 为 AC 的中点,$\therefore AO=CO$。
由(1)可知,$EO=FO$，
$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形。
又$\because ∠ ECF=90°,\therefore$ 平行四边形 AECF 是矩形。
$\because EF// BC,\therefore ∠ OEC=∠ BCE,∠ OFC=∠ DCF$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OCE,∠ OFC=∠ OCF$，
$\therefore OE=OC,OF=OC,\therefore OE=OF$。
$\because ∠ OCE+∠ BCE+∠ OCF+∠ DCF=180°$，
$\therefore ∠ ECF=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,由勾股定理得,$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=5$，
$\therefore OC=OE=\frac{1}{2}EF=2.5$。
(2)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形。理由如下：
$\because O$ 为 AC 的中点,$\therefore AO=CO$。
由(1)可知,$EO=FO$，
$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形。
又$\because ∠ ECF=90°,\therefore$ 平行四边形 AECF 是矩形。
解析
【分析】
(1) 求解OC长度时，先结合已知的角平分线和平行线条件，利用平行线的性质和等角对等边推导得OE=OC、OF=OC，可知OC为EF的一半；再根据内角、外角平分线的夹角为90°，判断△ECF为直角三角形，用勾股定理求出EF长度，即可得到OC的长。
(2) 判定四边形AECF为矩形，需结合矩形判定定理：有一个直角的平行四边形是矩形。已知∠ECF=90°，因此只需先证四边形AECF是平行四边形即可；平行四边形可通过对角线互相平分证明，即当O为AC中点时，AO=CO，结合(1)的结论EO=FO，即可证得平行四边形，进而得到矩形。
【解析】
(1)
∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF。
∵EF//BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF。
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=∠OCE+∠OCF=90°。
在$\mathrm{Rt}△CEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$OC=\frac{1}{2}EF=2.5$。
(2) 当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：
∵O为AC的中点，
∴AO=CO。
由(1)可知EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形。
又
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形。
【答案】
(1) OC的长为2.5；
(2) 当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；矩形的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形、勾股定理与矩形判定的相关知识，解题时需要熟练掌握基础几何性质与判定定理，结合已知条件逐步推导边角关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 求解OC长度时，先结合已知的角平分线和平行线条件，利用平行线的性质和等角对等边推导得OE=OC、OF=OC，可知OC为EF的一半；再根据内角、外角平分线的夹角为90°，判断△ECF为直角三角形，用勾股定理求出EF长度，即可得到OC的长。
(2) 判定四边形AECF为矩形，需结合矩形判定定理：有一个直角的平行四边形是矩形。已知∠ECF=90°，因此只需先证四边形AECF是平行四边形即可；平行四边形可通过对角线互相平分证明，即当O为AC中点时，AO=CO，结合(1)的结论EO=FO，即可证得平行四边形，进而得到矩形。
【解析】
(1)
∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF。
∵EF//BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF。
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=∠OCE+∠OCF=90°。
在$\mathrm{Rt}△CEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$OC=\frac{1}{2}EF=2.5$。
(2) 当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：
∵O为AC的中点，
∴AO=CO。
由(1)可知EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形。
又
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形。
【答案】
(1) OC的长为2.5；
(2) 当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；矩形的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形、勾股定理与矩形判定的相关知识，解题时需要熟练掌握基础几何性质与判定定理，结合已知条件逐步推导边角关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
10. 如图1-3-17，ON为∠AOB内的一条射线，点P在边OA上，PH⊥OB于点H，交ON于点Q，PM//OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR//OB交MD于点R，连接PR交QM于点S。
(1)求证：四边形PQRM为矩形；
(2)若 $OP = \frac{1}{2} PR$，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由。
(1)求证：四边形PQRM为矩形；
(2)若 $OP = \frac{1}{2} PR$，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由。
答案
10. (1)证明:$\because PH⊥ OB,MD⊥ OB,\therefore PH// MD$。
$\because PM// OB,QR// OB,\therefore PM// QR$。
$\therefore$ 四边形 PQRM 是平行四边形。
$\because PH⊥ OB,\therefore ∠ PHO=90°$。
$\because PM// OB,\therefore ∠ MPQ=∠ PHO=90°$，
$\therefore$ 四边形 PQRM 为矩形。
(2)解:$∠ AOB=3∠ BON$。理由如下：
$\because$ 四边形 PQRM 为矩形，
$\therefore PS=SR=SQ=\frac{1}{2}PR,\therefore ∠ SQR=∠ SRQ$。
又$\because OP=\frac{1}{2}PR$，
$\therefore OP=PS,\therefore ∠ POS=∠ PSO$。
$\because QR// OB,\therefore ∠ SQR=∠ BON$。
在$△ SQR$ 中,$∠ PSO=∠ SQR+∠ SRQ=2∠ SQR=2∠ BON$，
$\therefore ∠ POS=2∠ BON$，
$\therefore ∠ AOB=∠ POS+∠ BON=2∠ BON+∠ BON=3∠ BON$,即$∠ AOB=3∠ BON$。
$\because PM// OB,QR// OB,\therefore PM// QR$。
$\therefore$ 四边形 PQRM 是平行四边形。
$\because PH⊥ OB,\therefore ∠ PHO=90°$。
$\because PM// OB,\therefore ∠ MPQ=∠ PHO=90°$，
$\therefore$ 四边形 PQRM 为矩形。
(2)解:$∠ AOB=3∠ BON$。理由如下：
$\because$ 四边形 PQRM 为矩形，
$\therefore PS=SR=SQ=\frac{1}{2}PR,\therefore ∠ SQR=∠ SRQ$。
又$\because OP=\frac{1}{2}PR$，
$\therefore OP=PS,\therefore ∠ POS=∠ PSO$。
$\because QR// OB,\therefore ∠ SQR=∠ BON$。
在$△ SQR$ 中,$∠ PSO=∠ SQR+∠ SRQ=2∠ SQR=2∠ BON$，
$\therefore ∠ POS=2∠ BON$，
$\therefore ∠ AOB=∠ POS+∠ BON=2∠ BON+∠ BON=3∠ BON$,即$∠ AOB=3∠ BON$。
解析
【分析】
(1)要证明四边形PQRM是矩形，需先证它是平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先根据垂直于同一直线的两直线平行证得PH//MD，再根据平行于同一直线的两直线平行证得PM//QR，即可判定为平行四边形；再结合PH⊥OB、PM//OB推出平行四边形的一个内角为直角，即可判定为矩形。
(2)探究角的数量关系时，先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合已知OP=½PR推导出OP=PS，得到等腰三角形对应角相等；再结合平行线的性质、三角形外角的性质，逐步推导角的倍数关系即可。
【解析】
(1)证明：
$\because PH⊥ OB,MD⊥ OB$，
$\therefore PH// MD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because PM// OB,QR// OB$，
$\therefore PM// QR$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore$ 四边形PQRM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
$\because PH⊥ OB,\therefore ∠ PHO=90°$，
$\because PM// OB,\therefore ∠ MPQ=∠ PHO=90°$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore$ 平行四边形PQRM为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2)解：$∠ AOB=3∠ BON$，理由如下：
$\because$ 四边形PQRM为矩形，
$\therefore$ 矩形对角线相等且互相平分，即$PS=SR=SQ=\frac{1}{2}PR$，
$\therefore ∠ SQR=∠ SRQ$（等边对等角）。
又$\because OP=\frac{1}{2}PR$，
$\therefore OP=PS$，
$\therefore ∠ POS=∠ PSO$（等边对等角）。
$\because QR// OB$，
$\therefore ∠ SQR=∠ BON$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ SQR$中，$∠ PSO$是$△ SQR$的外角，
$\therefore ∠ PSO=∠ SQR+∠ SRQ=2∠ SQR=2∠ BON$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠ POS=2∠ BON$，
$\therefore ∠ AOB=∠ POS+∠ BON=2∠ BON+∠ BON=3∠ BON$，即$∠ AOB=3∠ BON$。
【答案】
(1) 四边形PQRM为矩形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠ AOB=3∠ BON}$
【知识点】
矩形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将特殊四边形的判定、性质与角的等量转换相结合，解题的核心是熟练掌握矩形的相关定理，灵活运用平行线、等腰三角形、三角形外角的性质完成角的推导。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形PQRM是矩形，需先证它是平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先根据垂直于同一直线的两直线平行证得PH//MD，再根据平行于同一直线的两直线平行证得PM//QR，即可判定为平行四边形；再结合PH⊥OB、PM//OB推出平行四边形的一个内角为直角，即可判定为矩形。
(2)探究角的数量关系时，先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合已知OP=½PR推导出OP=PS，得到等腰三角形对应角相等；再结合平行线的性质、三角形外角的性质，逐步推导角的倍数关系即可。
【解析】
(1)证明：
$\because PH⊥ OB,MD⊥ OB$，
$\therefore PH// MD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because PM// OB,QR// OB$，
$\therefore PM// QR$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore$ 四边形PQRM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
$\because PH⊥ OB,\therefore ∠ PHO=90°$，
$\because PM// OB,\therefore ∠ MPQ=∠ PHO=90°$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore$ 平行四边形PQRM为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2)解：$∠ AOB=3∠ BON$，理由如下：
$\because$ 四边形PQRM为矩形，
$\therefore$ 矩形对角线相等且互相平分，即$PS=SR=SQ=\frac{1}{2}PR$，
$\therefore ∠ SQR=∠ SRQ$（等边对等角）。
又$\because OP=\frac{1}{2}PR$，
$\therefore OP=PS$，
$\therefore ∠ POS=∠ PSO$（等边对等角）。
$\because QR// OB$，
$\therefore ∠ SQR=∠ BON$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ SQR$中，$∠ PSO$是$△ SQR$的外角，
$\therefore ∠ PSO=∠ SQR+∠ SRQ=2∠ SQR=2∠ BON$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠ POS=2∠ BON$，
$\therefore ∠ AOB=∠ POS+∠ BON=2∠ BON+∠ BON=3∠ BON$，即$∠ AOB=3∠ BON$。
【答案】
(1) 四边形PQRM为矩形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠ AOB=3∠ BON}$
【知识点】
矩形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将特殊四边形的判定、性质与角的等量转换相结合，解题的核心是熟练掌握矩形的相关定理，灵活运用平行线、等腰三角形、三角形外角的性质完成角的推导。
【难度系数】
0.7
