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8. 如图1-3-7，一根长2.5 m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的长为0.7 m，设木棍的中点为P。若木棍A端沿墙下滑，则B端沿地面向右滑行。
(1)如果木棍的A端沿墙下滑0.4 m，那么木棍的B端沿地面向右滑行多少米？
(2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由。
图1-3-7
(1)如果木棍的A端沿墙下滑0.4 m，那么木棍的B端沿地面向右滑行多少米？
(2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由。
图1-3-7
答案
8. 解:(1)如答图 1-3-1,设下滑之后的木棍为 CD。
在Rt△ABO中,$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=2.4$,
∴OC=AO-AC=2,
由题意可知,CD=AB=2.5,
∴在Rt△CDO中,$OD=\sqrt{CD^2-CO^2}=1.5$,
∴BD=OD-OB=0.8。
∴木棍的 B 端沿地面向右滑行 0.8 m。
(2)不变。
理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,因为斜边 AB 的长不变,所以斜边上的中线 OP 的长也不变。
解析
【分析】
(1) 解题时先明确木棍长度始终不变的隐含条件，第一步在初始Rt△ABO中，已知斜边AB和直角边OB，利用勾股定理求出AO的长度；A端下滑0.4m后得到新的直角边OC，此时木棍CD与AB长度相等，再在新的Rt△CDO中用勾股定理求出OD的长度，最后用OD减去原OB的长度即可得到B端滑行的距离。
(2) 判断点P到O的距离变化时，结合P是斜边中点的条件，联想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由于滑动过程中斜边AB长度不变，因此OP长度也不会改变。
【解析】
(1) 设下滑之后的木棍为CD，如答图1-3-1所示：
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{2.5^2-0.7^2}=2.4\ \mathrm{m}$
已知A端下滑距离$AC=0.4\ \mathrm{m}$，因此$OC=AO-AC=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$
木棍滑动过程长度不变，故$CD=AB=2.5\ \mathrm{m}$
在Rt△CDO中，由勾股定理可得：
$OD=\sqrt{CD^2-CO^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=1.5\ \mathrm{m}$
则B端向右滑行的距离为$BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$
(2) 点P到点O的距离不变。
理由：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，木棍滑动过程中斜边AB的长度始终不变，因此斜边上的中线OP的长度也保持不变。
【答案】
8. 解:(1)如答图 1-3-1,设下滑之后的木棍为 CD。
在Rt△ABO中,$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=2.4$,
∴OC=AO-AC=2,
由题意可知,CD=AB=2.5,
∴在Rt△CDO中,$OD=\sqrt{CD^2-CO^2}=1.5$,
∴BD=OD-OB=0.8。
∴木棍的 B 端沿地面向右滑行 0.8 m。
(2)不变。
理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,因为斜边 AB 的长不变,所以斜边上的中线 OP 的长也不变。
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是抓住木棍长度不变的隐含条件，既考查了勾股定理的计算应用，也考查了对直角三角形斜边中线性质的理解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先明确木棍长度始终不变的隐含条件，第一步在初始Rt△ABO中，已知斜边AB和直角边OB，利用勾股定理求出AO的长度；A端下滑0.4m后得到新的直角边OC，此时木棍CD与AB长度相等，再在新的Rt△CDO中用勾股定理求出OD的长度，最后用OD减去原OB的长度即可得到B端滑行的距离。
(2) 判断点P到O的距离变化时，结合P是斜边中点的条件，联想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由于滑动过程中斜边AB长度不变，因此OP长度也不会改变。
【解析】
(1) 设下滑之后的木棍为CD，如答图1-3-1所示：
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{2.5^2-0.7^2}=2.4\ \mathrm{m}$
已知A端下滑距离$AC=0.4\ \mathrm{m}$，因此$OC=AO-AC=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$
木棍滑动过程长度不变，故$CD=AB=2.5\ \mathrm{m}$
在Rt△CDO中，由勾股定理可得：
$OD=\sqrt{CD^2-CO^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=1.5\ \mathrm{m}$
则B端向右滑行的距离为$BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$
(2) 点P到点O的距离不变。
理由：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，木棍滑动过程中斜边AB的长度始终不变，因此斜边上的中线OP的长度也保持不变。
【答案】
8. 解:(1)如答图 1-3-1,设下滑之后的木棍为 CD。
在Rt△ABO中,$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=2.4$,
∴OC=AO-AC=2,
由题意可知,CD=AB=2.5,
∴在Rt△CDO中,$OD=\sqrt{CD^2-CO^2}=1.5$,
∴BD=OD-OB=0.8。
∴木棍的 B 端沿地面向右滑行 0.8 m。
(2)不变。
理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,因为斜边 AB 的长不变,所以斜边上的中线 OP 的长也不变。
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是抓住木棍长度不变的隐含条件，既考查了勾股定理的计算应用，也考查了对直角三角形斜边中线性质的理解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图1-3-8,在矩形ABCD中,E是CD边上的一点,将BC边沿着BE折叠,点C的对应点F恰好落在AD边上。
(1)请在图中用尺规作出折痕BE,保留作图痕迹,不写作法；
(2)若BC=5,AB=3,求折痕BE的长。
(1)请在图中用尺规作出折痕BE,保留作图痕迹,不写作法；
(2)若BC=5,AB=3,求折痕BE的长。
答案
9. 解:(1)如答图 1-3-2,BE 为所求的折痕。
(2)如答图 1-3-3,连接 EF,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=∠C=∠D=90°,AD=BC=5,CD=AB=3。
由折叠可知,BF=BC=5,EF=EC。
在Rt△ABF中,$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=4$,
∴DF=AD-AF=1。
设EF=EC=x,则DE=3-x,
在Rt△DEF中,$DF^2+DE^2=EF^2$,
即$1^2+(3-x)^2=x^2$,解得$x=\frac{5}{3}$,$\therefore EC=\frac{5}{3}$。
在Rt△BCE中,$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\frac{5\sqrt{10}}{3}$。
解析
【分析】
（1）作图思路：根据折叠的性质，点C折叠后的对应点F满足BF=BC，且BE是∠FBC的角平分线。先以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点F；再作∠FBC的角平分线，交CD边于点E，即可得到折痕BE。
（2）计算思路：首先利用矩形的性质得到各边长度和直角内角，结合折叠性质得BF=BC、EF=EC；先在Rt△ABF中用勾股定理求AF，进而得DF的长度；再设EC为x，用含x的式子表示DE，在Rt△DEF中用勾股定理列方程求出EC的长；最后在Rt△BCE中用勾股定理计算BE的长度。
【解析】
(1) 作图结果如答图1-3-2所示，BE即为所求折痕。
(2) 连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，AD=BC=5，CD=AB=3。
由折叠的性质可得：BF=BC=5，EF=EC。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴DF=AD-AF=5-4=1。
设EF=EC=x，则DE=CD-EC=3-x，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：$DF^2+DE^2=EF^2$，
代入得：$1^2+(3-x)^2=x^2$，
展开化简得：$10-6x=0$，解得$x=\frac{5}{3}$，即$EC=\frac{5}{3}$。
在Rt△BCE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{5^2+(\frac{5}{3})^2}=\frac{5\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1) 如答图1-3-2，BE为所求折痕。
(2) 折痕BE的长为$\frac{5\sqrt{10}}{3}$。
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图与几何计算，重点考查折叠问题中不变量的应用，解题时需灵活运用勾股定理，结合方程思想求解未知线段长度，是几何综合类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
（1）作图思路：根据折叠的性质，点C折叠后的对应点F满足BF=BC，且BE是∠FBC的角平分线。先以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点F；再作∠FBC的角平分线，交CD边于点E，即可得到折痕BE。
（2）计算思路：首先利用矩形的性质得到各边长度和直角内角，结合折叠性质得BF=BC、EF=EC；先在Rt△ABF中用勾股定理求AF，进而得DF的长度；再设EC为x，用含x的式子表示DE，在Rt△DEF中用勾股定理列方程求出EC的长；最后在Rt△BCE中用勾股定理计算BE的长度。
【解析】
(1) 作图结果如答图1-3-2所示，BE即为所求折痕。
(2) 连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，AD=BC=5，CD=AB=3。
由折叠的性质可得：BF=BC=5，EF=EC。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴DF=AD-AF=5-4=1。
设EF=EC=x，则DE=CD-EC=3-x，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：$DF^2+DE^2=EF^2$，
代入得：$1^2+(3-x)^2=x^2$，
展开化简得：$10-6x=0$，解得$x=\frac{5}{3}$，即$EC=\frac{5}{3}$。
在Rt△BCE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{5^2+(\frac{5}{3})^2}=\frac{5\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1) 如答图1-3-2，BE为所求折痕。
(2) 折痕BE的长为$\frac{5\sqrt{10}}{3}$。
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图与几何计算，重点考查折叠问题中不变量的应用，解题时需灵活运用勾股定理，结合方程思想求解未知线段长度，是几何综合类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
10. 如图1-3-9①，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F。
(1)求证：$OE=OF$。
(2)如图1-3-9②，如果E，F分别是AD，BC的中点，$AB=5$，$BC=12$。在对角线AC上是否存在点P，使$∠ EPF=90°$？如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由。
(1)求证：$OE=OF$。
(2)如图1-3-9②，如果E，F分别是AD，BC的中点，$AB=5$，$BC=12$。在对角线AC上是否存在点P，使$∠ EPF=90°$？如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由。
答案
10.(1)证明:
∵矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,
∴AO=CO,AD//BC,
∴∠EAC=∠FCO。
在△AOE 和△COF 中,$\begin{cases} ∠EAO=∠FCO, \\ AO=CO, \\ ∠AOE=∠COF, \end{cases}$
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF。
(2)解:如答图 1-3-4,存在点 P'和 P''两种情况。
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,AD//BC。
∵E,F 分别是 AD,BC 的中点,
∴$AE=\frac{1}{2}AD$,$BF=\frac{1}{2}BC$,
∴AE=BF。
∵AE//BF,
∴四边形 ABFE 是平行四边形,
∴EF=AB=5。
由(1)可知,OE=OF,AO=CO。
∵∠EPF=90°,$\therefore OP=\frac{1}{2}EF=2.5$。
在Rt△ABC中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$,
∴$AO=CO=\frac{1}{2}AC=6.5$,
∴$AP'=AO-OP'=4$,$AP''=AO+OP''=9$,
∴AP 的长为 4 或 9。
解析
【分析】
(1) 要证OE=OF，可通过证明△AOE≌△COF得到。首先利用矩形的性质可得AO=CO、AD//BC，进而得到∠EAO=∠FCO，结合对顶角∠AOE=∠COF，即可用ASA判定两三角形全等，推出对应边相等。
(2) 要判断AC上是否存在点P使∠EPF=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知满足条件的点P在以EF为直径、O为圆心的圆上，只需确定该圆与AC的交点即可。先求出EF长度得到圆的半径，再用勾股定理求出AC长，得到AO的长度，分点P在AO段、OC段两种情况计算AP的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAC=∠FCO。
在△AOE和△COF中，
$\begin{cases} ∠EAO=∠FCO, \\ AO=CO, \\ ∠AOE=∠COF, \end{cases}$
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF。
(2) 解：存在符合条件的点P，分两种情况：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，
∴AE=BF。
∵AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5。
由(1)可知OE=OF，即O是EF的中点，
∵∠EPF=90°，
∴$OP=\frac{1}{2}EF=2.5$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∴$AO=CO=\frac{1}{2}AC=6.5$，
当点P在线段AO上时，$AP'=AO-OP'=6.5-2.5=4$；
当点P在线段OC上时，$AP''=AO+OP''=6.5+2.5=9$。
【答案】
(1) 证明成立，OE=OF；
(2) 存在，AP的长为4或9。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题第一问是基础几何证明，侧重考查矩形性质和全等三角形的应用；第二问为动点存在性问题，解题的核心是结合直角三角形的性质确定点P的轨迹，解答时要注意分类讨论两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 要证OE=OF，可通过证明△AOE≌△COF得到。首先利用矩形的性质可得AO=CO、AD//BC，进而得到∠EAO=∠FCO，结合对顶角∠AOE=∠COF，即可用ASA判定两三角形全等，推出对应边相等。
(2) 要判断AC上是否存在点P使∠EPF=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知满足条件的点P在以EF为直径、O为圆心的圆上，只需确定该圆与AC的交点即可。先求出EF长度得到圆的半径，再用勾股定理求出AC长，得到AO的长度，分点P在AO段、OC段两种情况计算AP的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAC=∠FCO。
在△AOE和△COF中，
$\begin{cases} ∠EAO=∠FCO, \\ AO=CO, \\ ∠AOE=∠COF, \end{cases}$
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF。
(2) 解：存在符合条件的点P，分两种情况：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，
∴AE=BF。
∵AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5。
由(1)可知OE=OF，即O是EF的中点，
∵∠EPF=90°，
∴$OP=\frac{1}{2}EF=2.5$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∴$AO=CO=\frac{1}{2}AC=6.5$，
当点P在线段AO上时，$AP'=AO-OP'=6.5-2.5=4$；
当点P在线段OC上时，$AP''=AO+OP''=6.5+2.5=9$。
【答案】
(1) 证明成立，OE=OF；
(2) 存在，AP的长为4或9。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题第一问是基础几何证明，侧重考查矩形性质和全等三角形的应用；第二问为动点存在性问题，解题的核心是结合直角三角形的性质确定点P的轨迹，解答时要注意分类讨论两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
