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6.如图，沿弦AB折叠扇形纸片AOB，圆心O恰好在$\overset{\frown}{AB}$上的点C处，若$AB=4\sqrt{3}$，则四边形OACB的面积为
$8\sqrt{3}$
。答案
6.$8\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质分析边与边的关系：折叠后AB为对称轴，因此AB垂直平分OC，且OA=AC、OB=BC；又OA、OB、OC都是扇形的半径，故OA=OB=OC=AC=BC，可判定四边形OACB是菱形，其面积等于两条对角线乘积的一半。接下来结合垂径定理得到AB的一半长度，再在直角三角形中用勾股定理求出半径（即OC的长度），最后代入菱形面积公式计算即可。
【解析】
设AB与OC交于点D。
1. 根据折叠的性质可知：AB垂直平分OC，因此$OD=DC=\frac{1}{2}OC$，且$AB⊥ OC$。
2. 由垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 设扇形OAB的半径为r，则$OA=OC=r$，$OD=\frac{1}{2}r$。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入数据：$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(2\sqrt{3})^2$
整理得：$r^2=\frac{1}{4}r^2+12$，解得$r^2=16$，即$r=4$（半径为正），所以$OC=4$。
4. 由折叠性质和半径相等可知$OA=AC=CB=BO=r$，因此四边形OACB是菱形。
菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}× 对角线乘积$，代入两条对角线$AB=4\sqrt{3}$、$OC=4$得：
$S_{四边形OACB}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质；垂径定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，核心是利用折叠的对称性和圆的半径相等的性质，推导出四边形的形状，再结合垂径定理和勾股定理求出未知线段长度，解题时要注意几何性质的灵活转化。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合折叠的性质分析边与边的关系：折叠后AB为对称轴，因此AB垂直平分OC，且OA=AC、OB=BC；又OA、OB、OC都是扇形的半径，故OA=OB=OC=AC=BC，可判定四边形OACB是菱形，其面积等于两条对角线乘积的一半。接下来结合垂径定理得到AB的一半长度，再在直角三角形中用勾股定理求出半径（即OC的长度），最后代入菱形面积公式计算即可。
【解析】
设AB与OC交于点D。
1. 根据折叠的性质可知：AB垂直平分OC，因此$OD=DC=\frac{1}{2}OC$，且$AB⊥ OC$。
2. 由垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 设扇形OAB的半径为r，则$OA=OC=r$，$OD=\frac{1}{2}r$。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入数据：$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(2\sqrt{3})^2$
整理得：$r^2=\frac{1}{4}r^2+12$，解得$r^2=16$，即$r=4$（半径为正），所以$OC=4$。
4. 由折叠性质和半径相等可知$OA=AC=CB=BO=r$，因此四边形OACB是菱形。
菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}× 对角线乘积$，代入两条对角线$AB=4\sqrt{3}$、$OC=4$得：
$S_{四边形OACB}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质；垂径定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，核心是利用折叠的对称性和圆的半径相等的性质，推导出四边形的形状，再结合垂径定理和勾股定理求出未知线段长度，解题时要注意几何性质的灵活转化。
【难度系数】
0.6
▲7. 如图，在$\odot O$内有折线OABC，点B在$\odot O$上，其中$OA=8$，$AB=12$，$∠ A=∠ B=60°$，则$BC=$
20
。答案
7.20
解析
【分析】
观察到∠A和∠B均为60°，可先延长AO交BC于点D，构造等边△ABD，求出等边三角形的边长后得到OD的长度；再过点O作OE⊥BC于E，根据垂径定理可知BC=2BE，最后结合含30°角的直角三角形的性质求出DE的长度，算出BE即可得到BC的长。
【解析】
延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E。
1. 求等边△ABD的边长及OD的长度
∵ ∠A=∠B=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，
∴ OD=AD - OA=12 - 8=4。
2. 结合垂径定理求BC的长度
∵ OE⊥BC，根据垂径定理可得BC=2BE，
在Rt△ODE中，∠ODE=60°，则∠DOE=30°，
∴ DE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴ BE=BD - DE=12 - 2=10，
∴ BC=2BE=2×10=20。
【答案】
20
【知识点】
等边三角形的判定与性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用题，解题关键是合理构造辅助线，将未知线段转化为可求的线段，结合垂径定理建立等量关系求解。
【难度系数】
0.6
观察到∠A和∠B均为60°，可先延长AO交BC于点D，构造等边△ABD，求出等边三角形的边长后得到OD的长度；再过点O作OE⊥BC于E，根据垂径定理可知BC=2BE，最后结合含30°角的直角三角形的性质求出DE的长度，算出BE即可得到BC的长。
【解析】
延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E。
1. 求等边△ABD的边长及OD的长度
∵ ∠A=∠B=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，
∴ OD=AD - OA=12 - 8=4。
2. 结合垂径定理求BC的长度
∵ OE⊥BC，根据垂径定理可得BC=2BE，
在Rt△ODE中，∠ODE=60°，则∠DOE=30°，
∴ DE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴ BE=BD - DE=12 - 2=10，
∴ BC=2BE=2×10=20。
【答案】
20
【知识点】
等边三角形的判定与性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用题，解题关键是合理构造辅助线，将未知线段转化为可求的线段，结合垂径定理建立等量关系求解。
【难度系数】
0.6
▲8.如图,在$\odot O$中,弦$EF//$弦$CD$(不是直径),直径$AB$分别交$CD,EF$于点$M,N$,且$A$是$\overset{\frown}{EF}$的中点.求证:$M$是弦$CD$的中点. 
答案
8. $\because AB$是$\odot O$的直径,A是$\overset{\frown}{EF}$的中点,$\therefore AB⊥EF$,$\because EF// CD$,$\therefore AB⊥CD$,$\therefore CM=MD$,即$M$是弦$CD$的中点
解析
【分析】
要证明M是弦CD的中点，可结合垂径定理，只需证直径AB垂直于CD即可。第一步，由已知AB是直径、A是$\overset{\frown}{EF}$的中点，根据垂径定理的推论可得AB垂直于EF；第二步，利用EF平行CD的条件，可推得AB垂直于CD；第三步，根据垂径定理，垂直于非直径弦的直径平分弦，即可得到M是CD的中点。
【解析】
证明：
$\because AB$是$\odot O$的直径，$A$是$\overset{\frown}{EF}$的中点，
$\therefore AB⊥ EF$，
$\because EF// CD$，
$\therefore AB⊥ CD$，
$\therefore CM=MD$，即$M$是弦$CD$的中点。
【答案】
$M$是弦$CD$的中点
【知识点】
垂径定理及其推论、平行线的性质
【点评】
本题属于基础的圆类几何证明题，核心考查垂径定理的应用，解题关键是通过弧中点与直径的关系得到垂直关系，再结合平行线的性质完成推导，解题时需注意垂径定理适用于非直径弦的前提条件。
【难度系数】
0.8
要证明M是弦CD的中点，可结合垂径定理，只需证直径AB垂直于CD即可。第一步，由已知AB是直径、A是$\overset{\frown}{EF}$的中点，根据垂径定理的推论可得AB垂直于EF；第二步，利用EF平行CD的条件，可推得AB垂直于CD；第三步，根据垂径定理，垂直于非直径弦的直径平分弦，即可得到M是CD的中点。
【解析】
证明：
$\because AB$是$\odot O$的直径，$A$是$\overset{\frown}{EF}$的中点，
$\therefore AB⊥ EF$，
$\because EF// CD$，
$\therefore AB⊥ CD$，
$\therefore CM=MD$，即$M$是弦$CD$的中点。
【答案】
$M$是弦$CD$的中点
【知识点】
垂径定理及其推论、平行线的性质
【点评】
本题属于基础的圆类几何证明题，核心考查垂径定理的应用，解题关键是通过弧中点与直径的关系得到垂直关系，再结合平行线的性质完成推导，解题时需注意垂径定理适用于非直径弦的前提条件。
【难度系数】
0.8
▲9.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度$AB=60$米，拱高$PD=18$米.
(1)求圆弧所在的圆的半径.
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米，即$PE=4$米时，是否要采取紧急措施？
(1)求圆弧所在的圆的半径.
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米，即$PE=4$米时，是否要采取紧急措施？
答案
9.(1)连结OA,由题意得$AD=\frac{1}{2}AB=30$(米),$OD=(r-18)$米,在$\mathrm{Rt}△ ADO$中,由勾股定理得$r^2=30^2+(r-18)^2$,解得$r=34$(米)
(2)连结$OA'$,$\because OE=OP-PE=30$米,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ A'EO$中,由勾股定理得$A'E^2=A'O^2-OE^2$,即$A'E^2=34^2-30^2$,解得$A'E=16$(米).
$\therefore A'B'=32$(米).$\because A'B'=32＞30$,$\therefore$不需要采取紧急措施
(2)连结$OA'$,$\because OE=OP-PE=30$米,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ A'EO$中,由勾股定理得$A'E^2=A'O^2-OE^2$,即$A'E^2=34^2-30^2$,解得$A'E=16$(米).
$\therefore A'B'=32$(米).$\because A'B'=32＞30$,$\therefore$不需要采取紧急措施
解析
【分析】
(1) 本题是圆弧形拱桥求半径的问题，结合垂径定理可知拱高PD所在直线垂直平分跨度AB，连接半径OA后可得到Rt△ADO，设圆的半径为r，用含r的代数式表示出OD的长度，再根据勾股定理列方程即可求出半径。
(2) 要判断是否需要采取紧急措施，需先求出PE=4米时水面的跨度，再和30米比较大小：先计算此时圆心到水面的距离OE，连接OA'构造Rt△A'EO，利用勾股定理求出半跨度A'E，乘2得到水面总跨度，若总跨度大于30米则无需采取紧急措施，反之则需要。
【解析】
(1) 连结OA，设圆弧所在圆的半径为r米。
由垂径定理得，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30$（米），
圆心O到弦AB的距离$OD=OP-PD=(r-18)$米，
在$\mathrm{Rt}△ADO$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=30^2+(r-18)^2$，
展开化简解得：$r=34$。
(2) 连结$OA'$，
$\because PE=4$米，$\therefore OE=OP-PE=34-4=30$（米），
在$\mathrm{Rt}△A'EO$中，由勾股定理得：$A'E^2=A'O^2-OE^2$，
代入得：$A'E^2=34^2-30^2=256$，
解得：$A'E=16$（米），
$\therefore$此时水面跨度$A'B'=2A'E=2×16=32$（米），
$\because 32＞30$，$\therefore$不需要采取紧急措施。
【答案】
(1) 圆弧所在的圆的半径为34米；
(2) 不需要采取紧急措施。
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是将实际问题转化为几何问题，通过构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理进行计算，考察学生的模型构建能力和计算能力，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是圆弧形拱桥求半径的问题，结合垂径定理可知拱高PD所在直线垂直平分跨度AB，连接半径OA后可得到Rt△ADO，设圆的半径为r，用含r的代数式表示出OD的长度，再根据勾股定理列方程即可求出半径。
(2) 要判断是否需要采取紧急措施，需先求出PE=4米时水面的跨度，再和30米比较大小：先计算此时圆心到水面的距离OE，连接OA'构造Rt△A'EO，利用勾股定理求出半跨度A'E，乘2得到水面总跨度，若总跨度大于30米则无需采取紧急措施，反之则需要。
【解析】
(1) 连结OA，设圆弧所在圆的半径为r米。
由垂径定理得，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30$（米），
圆心O到弦AB的距离$OD=OP-PD=(r-18)$米，
在$\mathrm{Rt}△ADO$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=30^2+(r-18)^2$，
展开化简解得：$r=34$。
(2) 连结$OA'$，
$\because PE=4$米，$\therefore OE=OP-PE=34-4=30$（米），
在$\mathrm{Rt}△A'EO$中，由勾股定理得：$A'E^2=A'O^2-OE^2$，
代入得：$A'E^2=34^2-30^2=256$，
解得：$A'E=16$（米），
$\therefore$此时水面跨度$A'B'=2A'E=2×16=32$（米），
$\because 32＞30$，$\therefore$不需要采取紧急措施。
【答案】
(1) 圆弧所在的圆的半径为34米；
(2) 不需要采取紧急措施。
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是将实际问题转化为几何问题，通过构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理进行计算，考察学生的模型构建能力和计算能力，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
