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1.如图，$\odot O$中，弦AB，CD相交于点P，若$∠ A=30°$，$∠ APD=70°$，则$∠ B=$
40°
。答案
1.$40°$
解析
【分析】
解题可分两步推导：第一步，利用三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠APD是△APC的外角，结合已知∠A和∠APD的度数，可先求出∠C的度数；第二步，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，∠B与∠C都是弧AD所对的圆周角，因此∠B=∠C，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD = ∠A + ∠C，
已知∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C = ∠APD - ∠A = 70° - 30° = 40°，
又
∵∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠B = ∠C = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
三角形外角性质、同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，核心是结合三角形外角性质和圆周角的相关推论求解，解题时要准确识别同弧对应的圆周角，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题可分两步推导：第一步，利用三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠APD是△APC的外角，结合已知∠A和∠APD的度数，可先求出∠C的度数；第二步，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，∠B与∠C都是弧AD所对的圆周角，因此∠B=∠C，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD = ∠A + ∠C，
已知∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C = ∠APD - ∠A = 70° - 30° = 40°，
又
∵∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠B = ∠C = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
三角形外角性质、同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，核心是结合三角形外角性质和圆周角的相关推论求解，解题时要准确识别同弧对应的圆周角，计算难度低。
【难度系数】
0.8
2. 如图，两灯塔A，B间的距离恰好为暗礁所在的圆的半径，要使船S不驶入暗礁区，则航行中应保持∠S （
A.大于$60°$
B.大于$30°$
C.小于$60°$
D.小于$30°$
D
）A.大于$60°$
B.大于$30°$
C.小于$60°$
D.小于$30°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为几何问题：要使船不驶入暗礁区，即船S在暗礁圆的外侧。首先设暗礁圆的圆心为O，连接OA、OB，由AB等于半径可知△OAB是等边三角形，可得圆心角∠AOB=60°，再根据圆周角定理求出弧AB所对的圆周角为30°，最后根据同弧所对的圆外角小于圆周角的性质，即可判断∠S的取值范围。
【解析】
设暗礁所在圆的圆心为O，连接OA、OB。
∵AB等于圆的半径，
∴OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角等于圆心角的一半，因此弧AB所对的圆周角度数为$\frac{1}{2} × 60°=30°$。
根据圆相关角的性质：同弧所对的圆外角小于圆周角，圆内角大于圆周角。
当船S在圆外时不会驶入暗礁区，此时∠S是弧AB所对的圆外角，因此∠S＜30°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，圆外角性质
【点评】
本题将几何知识和实际航行场景结合，解题的关键是找到船刚好在暗礁区边界时的临界角度，熟练运用圆周角定理和等边三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际问题转化为几何问题：要使船不驶入暗礁区，即船S在暗礁圆的外侧。首先设暗礁圆的圆心为O，连接OA、OB，由AB等于半径可知△OAB是等边三角形，可得圆心角∠AOB=60°，再根据圆周角定理求出弧AB所对的圆周角为30°，最后根据同弧所对的圆外角小于圆周角的性质，即可判断∠S的取值范围。
【解析】
设暗礁所在圆的圆心为O，连接OA、OB。
∵AB等于圆的半径，
∴OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角等于圆心角的一半，因此弧AB所对的圆周角度数为$\frac{1}{2} × 60°=30°$。
根据圆相关角的性质：同弧所对的圆外角小于圆周角，圆内角大于圆周角。
当船S在圆外时不会驶入暗礁区，此时∠S是弧AB所对的圆外角，因此∠S＜30°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，圆外角性质
【点评】
本题将几何知识和实际航行场景结合，解题的关键是找到船刚好在暗礁区边界时的临界角度，熟练运用圆周角定理和等边三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于$E$，$∠ ACD=30°$，$AE=2\mathrm{cm}$. 求$DB$长.
答案
3.$DB=4\sqrt{3}\mathrm{cm}$
解析
【分析】
要求DB的长度，我们可以按以下思路推导：首先由AB是直径且CD⊥AB，根据垂径定理可得CE=DE，同时得到两个直角三角形Rt△ACE和Rt△BDE；再根据同弧所对的圆周角相等，推出∠ABD=∠ACD=30°；先在Rt△ACE中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出CE的长，也就得到了DE的长；最后在Rt△BDE中再次利用30°直角三角形的性质即可求出DB的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E
∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°（垂径定理）
∵∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角
∴∠ABD=∠ACD=30°
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AE=2cm
∴AC=2AE=4cm（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）
由勾股定理得：$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
∴DE=CE=$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
在Rt△BDE中，∠DBE=30°，∠DEB=90°
∴$DE=\frac{1}{2}BD$
∴$BD=2DE=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$DB=4\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题的关键是熟练运用圆的相关性质找到角的等量关系，结合直角三角形的性质计算线段长度，是对核心基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
要求DB的长度，我们可以按以下思路推导：首先由AB是直径且CD⊥AB，根据垂径定理可得CE=DE，同时得到两个直角三角形Rt△ACE和Rt△BDE；再根据同弧所对的圆周角相等，推出∠ABD=∠ACD=30°；先在Rt△ACE中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出CE的长，也就得到了DE的长；最后在Rt△BDE中再次利用30°直角三角形的性质即可求出DB的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E
∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°（垂径定理）
∵∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角
∴∠ABD=∠ACD=30°
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AE=2cm
∴AC=2AE=4cm（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）
由勾股定理得：$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
∴DE=CE=$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
在Rt△BDE中，∠DBE=30°，∠DEB=90°
∴$DE=\frac{1}{2}BD$
∴$BD=2DE=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$DB=4\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题的关键是熟练运用圆的相关性质找到角的等量关系，结合直角三角形的性质计算线段长度，是对核心基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
4. 如图，$\odot O$的直径$AE=10\mathrm{cm}$，$∠ B=∠ EAC$. 求$AC$的长.
答案
4.$AC=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先观察到AE是圆的直径，根据直径的性质可构造直角三角形；再利用同弧所对的圆周角相等，结合已知的角相等关系，推导得到直角三角形为等腰直角三角形；最后利用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
解：连接EC，
∵AE是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACE=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ B$与$∠ AEC$都是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ B=∠ AEC$（同弧所对的圆周角相等），
又
∵$∠ B=∠ EAC$，
∴$∠ AEC=∠ EAC$，
∴$△ ACE$为等腰直角三角形，即$AC=EC$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE=10\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC^2 + EC^2 = AE^2$，
代入$AC=EC$、$AE=10$，得$2AC^2=100$，
解得$AC=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$AC=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题的核心是利用直径构造直角三角形，再通过圆周角的性质完成角的等量代换，进而判断三角形的形状求解，解题时要熟练掌握圆周角相关定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AE是圆的直径，根据直径的性质可构造直角三角形；再利用同弧所对的圆周角相等，结合已知的角相等关系，推导得到直角三角形为等腰直角三角形；最后利用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
解：连接EC，
∵AE是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACE=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ B$与$∠ AEC$都是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ B=∠ AEC$（同弧所对的圆周角相等），
又
∵$∠ B=∠ EAC$，
∴$∠ AEC=∠ EAC$，
∴$△ ACE$为等腰直角三角形，即$AC=EC$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE=10\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC^2 + EC^2 = AE^2$，
代入$AC=EC$、$AE=10$，得$2AC^2=100$，
解得$AC=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$AC=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题的核心是利用直径构造直角三角形，再通过圆周角的性质完成角的等量代换，进而判断三角形的形状求解，解题时要熟练掌握圆周角相关定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
