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1. 下列判断正确的是 （
A.平分弦的直线垂直于弦
B.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的弧
D.平分弦的直径也平分弦所对的两条弧
C
）A.平分弦的直线垂直于弦
B.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的弧
D.平分弦的直径也平分弦所对的两条弧
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道垂径定理及推论的概念辨析题，解题核心是准确掌握相关定理的适用前提：首先回忆垂径定理及其推论内容，明确①涉及“平分弦”的结论，若未说明弦不是直径，需考虑弦为直径的特殊情况；②平分弧、平分弦的相关结论，只有当直线过圆心时才可能成立。接下来逐个验证选项，排除不符合定理要求的错误选项即可。
【解析】
我们结合垂径定理及推论逐一分析选项：
A. 平分弦的直线垂直于弦：若被平分的弦是直径，任意过圆心的直线都能平分这条直径，但不一定与弦垂直；即使弦不是直径，仅过弦中点的直线也不一定垂直于弦，故A错误。
B. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦：只有过圆心且平分弧的直线才会平分弧所对的弦，若直线仅过弧中点但不过圆心，无法平分对应弦，故B错误。
C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的弧：根据圆的性质，弦的垂直平分线一定经过圆心，这条直线既过圆心又垂直于弦，由垂径定理可知，它必然平分弦所对的两条弧，故C正确。
D. 平分弦的直径也平分弦所对的两条弧：该结论的前提是“被平分的弦不是直径”，若弦本身是直径，任意两条直径都互相平分，但不一定互相垂直，因此无法平分对方所对的弧，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及其推论、弦的垂直平分线性质
【点评】
本题主要考查对垂径定理及推论的理解，易错点是容易忽略“平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧”这一推论中“被平分的弦不是直径”的前提，以及相关结论成立需满足直线过圆心的要求，做题时要注意核对每个结论的适用条件。
【难度系数】
0.7
这是一道垂径定理及推论的概念辨析题，解题核心是准确掌握相关定理的适用前提：首先回忆垂径定理及其推论内容，明确①涉及“平分弦”的结论，若未说明弦不是直径，需考虑弦为直径的特殊情况；②平分弧、平分弦的相关结论，只有当直线过圆心时才可能成立。接下来逐个验证选项，排除不符合定理要求的错误选项即可。
【解析】
我们结合垂径定理及推论逐一分析选项：
A. 平分弦的直线垂直于弦：若被平分的弦是直径，任意过圆心的直线都能平分这条直径，但不一定与弦垂直；即使弦不是直径，仅过弦中点的直线也不一定垂直于弦，故A错误。
B. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦：只有过圆心且平分弧的直线才会平分弧所对的弦，若直线仅过弧中点但不过圆心，无法平分对应弦，故B错误。
C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的弧：根据圆的性质，弦的垂直平分线一定经过圆心，这条直线既过圆心又垂直于弦，由垂径定理可知，它必然平分弦所对的两条弧，故C正确。
D. 平分弦的直径也平分弦所对的两条弧：该结论的前提是“被平分的弦不是直径”，若弦本身是直径，任意两条直径都互相平分，但不一定互相垂直，因此无法平分对方所对的弧，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及其推论、弦的垂直平分线性质
【点评】
本题主要考查对垂径定理及推论的理解，易错点是容易忽略“平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧”这一推论中“被平分的弦不是直径”的前提，以及相关结论成立需满足直线过圆心的要求，做题时要注意核对每个结论的适用条件。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦(非直径),AB与CD交于点M,M为CD中点,下列四个结论:①$AB⊥ CD$;②$AC=AD$;③$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,④$∠ C=∠ D$中成立的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先回忆垂径定理及其推论的相关知识，结合题干已知条件：AB是直径、CD是非直径的弦、M是CD中点，先根据垂径定理推论判断AB与CD的位置关系，再以此为基础，结合垂直平分线性质、弧与弦的对应关系、等腰三角形性质逐一验证4个结论是否成立。
【解析】
1. 验证结论①：根据垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于该弦。已知AB是直径，CD为非直径弦且M是CD中点，因此可得$AB⊥CD$，①成立。
2. 验证结论②：由$AB⊥CD$且M是CD中点，可知AB是线段CD的垂直平分线，点A在AB上，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得$AC=AD$，②成立。
3. 验证结论③：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，已知$AB⊥CD$且AB是直径，因此AB平分CD所对的弧，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，③成立。
4. 验证结论④：由$AC=AD$可知$△ ACD$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠C=∠D$，④成立。
综上，4个结论都成立。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及推论，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理及其推论的应用，结合了等腰三角形的简单性质，只要熟练掌握垂径定理的相关内容，就能顺利推导所有结论。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆垂径定理及其推论的相关知识，结合题干已知条件：AB是直径、CD是非直径的弦、M是CD中点，先根据垂径定理推论判断AB与CD的位置关系，再以此为基础，结合垂直平分线性质、弧与弦的对应关系、等腰三角形性质逐一验证4个结论是否成立。
【解析】
1. 验证结论①：根据垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于该弦。已知AB是直径，CD为非直径弦且M是CD中点，因此可得$AB⊥CD$，①成立。
2. 验证结论②：由$AB⊥CD$且M是CD中点，可知AB是线段CD的垂直平分线，点A在AB上，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得$AC=AD$，②成立。
3. 验证结论③：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，已知$AB⊥CD$且AB是直径，因此AB平分CD所对的弧，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，③成立。
4. 验证结论④：由$AC=AD$可知$△ ACD$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠C=∠D$，④成立。
综上，4个结论都成立。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及推论，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理及其推论的应用，结合了等腰三角形的简单性质，只要熟练掌握垂径定理的相关内容，就能顺利推导所有结论。
【难度系数】
0.8
3.如图，$\odot O$的直径$CD$与弦$AB$（不是直径）交于点$M$，添加条件
$CD⊥AB$
（写出一个即可），就可得到$D$是弧$AB$的中点。答案
3.$CD⊥AB$ 答案不唯一
解析
【分析】
要得到D是弧AB的中点，即直径CD平分弧AB，结合垂径定理及其推论分析：已知CD是⊙O的直径，且AB是非直径的弦，若直径满足垂直于弦AB，或者平分弦AB，就能推出直径平分弦所对的弧，因此只需添加满足上述要求的条件即可。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知CD是⊙O的直径，若添加条件$CD⊥AB$，则直径CD平分弦AB所对的劣弧和优弧，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，即D是弧AB的中点。
（也可添加$AM=BM$，根据垂径定理推论：平分非直径弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧，同样可推出D是弧AB的中点，答案不唯一）
【答案】
$CD⊥AB$（答案不唯一）
【知识点】
垂径定理；弦弧关系
【点评】
本题是开放型基础题，主要考查对垂径定理及其推论的理解和应用，熟练掌握定理内容即可快速作答，解题时注意题干中AB不是直径的限定，避免出现逻辑漏洞。
【难度系数】
0.85
要得到D是弧AB的中点，即直径CD平分弧AB，结合垂径定理及其推论分析：已知CD是⊙O的直径，且AB是非直径的弦，若直径满足垂直于弦AB，或者平分弦AB，就能推出直径平分弦所对的弧，因此只需添加满足上述要求的条件即可。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知CD是⊙O的直径，若添加条件$CD⊥AB$，则直径CD平分弦AB所对的劣弧和优弧，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，即D是弧AB的中点。
（也可添加$AM=BM$，根据垂径定理推论：平分非直径弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧，同样可推出D是弧AB的中点，答案不唯一）
【答案】
$CD⊥AB$（答案不唯一）
【知识点】
垂径定理；弦弧关系
【点评】
本题是开放型基础题，主要考查对垂径定理及其推论的理解和应用，熟练掌握定理内容即可快速作答，解题时注意题干中AB不是直径的限定，避免出现逻辑漏洞。
【难度系数】
0.85
4.如图，弦CD垂直于$\odot O$的直径AB，垂足为H，且$CD=2\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{3}$，则AB的长为
3
。答案
4.3
解析
【分析】
遇到弦垂直于直径的情况，首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可先求出CD的一半DH的长度。接着在直角三角形BHD中，已知BD和DH的长度，用勾股定理算出BH的长。之后设圆的半径为r，用r表示出OH的长度，在直角三角形OHD中再次利用勾股定理列方程，解出半径r后就能得到直径AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，
根据垂径定理，得 $DH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
在$Rt△ BHD$中，$∠ BHD=90°$，$BD=\sqrt{3}$，$DH=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{BD^2-DH^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3-2}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OH=OB-BH=r-1$，
在$Rt△ OHD$中，$∠ OHD=90°$，由勾股定理得：
$OD^2=OH^2+DH^2$，
即 $r^2=(r-1)^2+(\sqrt{2})^2$，
展开得：$r^2=r^2-2r+1+2$，
化简得：$2r=3$，
∴直径$AB=2r=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题的关键是结合垂径定理得到相等线段，再通过设半径为未知量，利用直角三角形的勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
遇到弦垂直于直径的情况，首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可先求出CD的一半DH的长度。接着在直角三角形BHD中，已知BD和DH的长度，用勾股定理算出BH的长。之后设圆的半径为r，用r表示出OH的长度，在直角三角形OHD中再次利用勾股定理列方程，解出半径r后就能得到直径AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，
根据垂径定理，得 $DH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
在$Rt△ BHD$中，$∠ BHD=90°$，$BD=\sqrt{3}$，$DH=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{BD^2-DH^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3-2}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OH=OB-BH=r-1$，
在$Rt△ OHD$中，$∠ OHD=90°$，由勾股定理得：
$OD^2=OH^2+DH^2$，
即 $r^2=(r-1)^2+(\sqrt{2})^2$，
展开得：$r^2=r^2-2r+1+2$，
化简得：$2r=3$，
∴直径$AB=2r=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题的关键是结合垂径定理得到相等线段，再通过设半径为未知量，利用直角三角形的勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5.如图，$\odot O$的直径$AB$平分弦$CD$，$CD=10\mathrm{cm}$，$AP:PB=1:5$.求$\odot O$的半径. 
答案
5.$r=3\sqrt{5}\mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先根据直径平分非直径弦的性质，结合垂径定理可得AB垂直于CD，同时可以求出弦CD一半的长度；2. 已知AP和PB的比例关系，我们可以设未知数表示两条线段的长度，进而表示出圆的半径以及线段OP的长度；3. 连接半径OC后得到直角三角形OPC，利用勾股定理列方程求解未知数，即可得到圆的半径。
【解析】
连接OC，
∵ ⊙O的直径AB平分弦CD（CD不是直径），
根据垂径定理可得：$AB⊥ CD$，$CP=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
设$AP=x\mathrm{cm}$，由$AP:PB=1:5$得$PB=5x\mathrm{cm}$，
∴ 直径$AB=AP+PB=6x\mathrm{cm}$，则⊙O的半径$OC=OA=\frac{1}{2}AB=3x\mathrm{cm}$，
∴ $OP=OA-AP=3x-x=2x\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，由勾股定理得：$OC^2=OP^2+CP^2$，
代入得：$(3x)^2=(2x)^2+5^2$，
整理得：$9x^2=4x^2+25$，即$5x^2=25$，
解得$x=\sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根），
∴ ⊙O的半径$r=3x=3\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
【答案】
$r=3\sqrt{5}\mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，比例线段计算
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合线段比例设元后用勾股定理建立方程求解，掌握方程思想在圆相关计算中的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先根据直径平分非直径弦的性质，结合垂径定理可得AB垂直于CD，同时可以求出弦CD一半的长度；2. 已知AP和PB的比例关系，我们可以设未知数表示两条线段的长度，进而表示出圆的半径以及线段OP的长度；3. 连接半径OC后得到直角三角形OPC，利用勾股定理列方程求解未知数，即可得到圆的半径。
【解析】
连接OC，
∵ ⊙O的直径AB平分弦CD（CD不是直径），
根据垂径定理可得：$AB⊥ CD$，$CP=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
设$AP=x\mathrm{cm}$，由$AP:PB=1:5$得$PB=5x\mathrm{cm}$，
∴ 直径$AB=AP+PB=6x\mathrm{cm}$，则⊙O的半径$OC=OA=\frac{1}{2}AB=3x\mathrm{cm}$，
∴ $OP=OA-AP=3x-x=2x\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，由勾股定理得：$OC^2=OP^2+CP^2$，
代入得：$(3x)^2=(2x)^2+5^2$，
整理得：$9x^2=4x^2+25$，即$5x^2=25$，
解得$x=\sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根），
∴ ⊙O的半径$r=3x=3\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
【答案】
$r=3\sqrt{5}\mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，比例线段计算
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合线段比例设元后用勾股定理建立方程求解，掌握方程思想在圆相关计算中的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
