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1. 将$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边和直角边都扩大到原来的$n$倍，那么锐角$A$的正弦、余弦与正切值
（
A.都扩大到原来的$n$倍
B.都缩小到原来的$\dfrac{1}{n}$
C.没有变化
D.只有$\tan A$发生变化
（
C
）A.都扩大到原来的$n$倍
B.都缩小到原来的$\dfrac{1}{n}$
C.没有变化
D.只有$\tan A$发生变化
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角三角函数的定义：锐角的正弦、余弦、正切分别是直角三角形中该锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比。当三角形各边都扩大n倍时，我们可以通过计算扩大后对应边的比值，或者结合相似三角形的性质判断锐角A的大小是否变化，进而判断三角函数值的变化。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$、邻边为$b$、斜边为$c$，则：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
将各边扩大到原来的$n$倍后，$∠ A$的对边变为$na$、邻边变为$nb$、斜边变为$nc$，此时：
新的$\sin A'=\frac{na}{nc}=\frac{a}{c}=\sin A$
新的$\cos A'=\frac{nb}{nc}=\frac{b}{c}=\cos A$
新的$\tan A'=\frac{na}{nb}=\frac{a}{b}=\tan A$
因此锐角$A$的正弦、余弦与正切值都没有变化，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.锐角三角函数的定义 2.相似三角形的性质
【点评】
这道题是基础概念考查题，核心是理解锐角三角函数值的本质是边的比值，仅与锐角的大小有关，与直角三角形的边长缩放无关，掌握定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆锐角三角函数的定义：锐角的正弦、余弦、正切分别是直角三角形中该锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比。当三角形各边都扩大n倍时，我们可以通过计算扩大后对应边的比值，或者结合相似三角形的性质判断锐角A的大小是否变化，进而判断三角函数值的变化。
【解析】
设原$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$、邻边为$b$、斜边为$c$，则：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
将各边扩大到原来的$n$倍后，$∠ A$的对边变为$na$、邻边变为$nb$、斜边变为$nc$，此时：
新的$\sin A'=\frac{na}{nc}=\frac{a}{c}=\sin A$
新的$\cos A'=\frac{nb}{nc}=\frac{b}{c}=\cos A$
新的$\tan A'=\frac{na}{nb}=\frac{a}{b}=\tan A$
因此锐角$A$的正弦、余弦与正切值都没有变化，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.锐角三角函数的定义 2.相似三角形的性质
【点评】
这道题是基础概念考查题，核心是理解锐角三角函数值的本质是边的比值，仅与锐角的大小有关，与直角三角形的边长缩放无关，掌握定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，$a$、$b$、$c$分别是$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边，若$a^2 + b^2 = c^2$，则下列结论错误的是 （
A.$c · \sin A = a$
B.$c · \cos B = b$
C.$b · \tan A = a$
D.$a · \tan B = b$
B
）A.$c · \sin A = a$
B.$c · \cos B = b$
C.$b · \tan A = a$
D.$a · \tan B = b$
答案
2.B
解析
【分析】
首先根据已知条件$a^2 + b^2 = c^2$，结合勾股定理的逆定理可判断$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，接下来回忆锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，将每个选项中的三角函数用对应边的比值代入化简，再和等号右边的式子对比，即可找出错误的结论。
【解析】
解：$\because a^2 + b^2 = c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，斜边为$c$。
我们逐个分析选项：
A. $\because \sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{a}{c}$，
$\therefore c·\sin A = c·\frac{a}{c} = a$，该选项结论正确，不符合题意；
B. $\because \cos B = \frac{∠ B的邻边}{斜边} = \frac{a}{c}$，
$\therefore c·\cos B = c·\frac{a}{c} = a ≠ b$，该选项结论错误，符合题意；
C. $\because \tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{a}{b}$，
$\therefore b·\tan A = b·\frac{a}{b} = a$，该选项结论正确，不符合题意；
D. $\because \tan B = \frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边} = \frac{b}{a}$，
$\therefore a·\tan B = a·\frac{b}{a} = b$，该选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，解题时首先需要通过勾股定理的逆定理确定三角形为直角三角形且明确直角的位置，再结合锐角三角函数的边比关系逐一验证选项即可，重点考查对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件$a^2 + b^2 = c^2$，结合勾股定理的逆定理可判断$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，接下来回忆锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，将每个选项中的三角函数用对应边的比值代入化简，再和等号右边的式子对比，即可找出错误的结论。
【解析】
解：$\because a^2 + b^2 = c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，斜边为$c$。
我们逐个分析选项：
A. $\because \sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{a}{c}$，
$\therefore c·\sin A = c·\frac{a}{c} = a$，该选项结论正确，不符合题意；
B. $\because \cos B = \frac{∠ B的邻边}{斜边} = \frac{a}{c}$，
$\therefore c·\cos B = c·\frac{a}{c} = a ≠ b$，该选项结论错误，符合题意；
C. $\because \tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{a}{b}$，
$\therefore b·\tan A = b·\frac{a}{b} = a$，该选项结论正确，不符合题意；
D. $\because \tan B = \frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边} = \frac{b}{a}$，
$\therefore a·\tan B = a·\frac{b}{a} = b$，该选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，解题时首先需要通过勾股定理的逆定理确定三角形为直角三角形且明确直角的位置，再结合锐角三角函数的边比关系逐一验证选项即可，重点考查对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
3.计算：$\tan 54° · \tan 36° = \underline{\hspace{5em}}.$
答案
3.1
解析
【分析】
首先观察两个锐角的度数，可发现54°与36°的和为90°，即两角互余，因此可以先利用互余两角的三角函数转换关系，将其中一个正切转换为余切，再结合同角的正切与余切互为倒数的性质即可求出结果。
【解析】
解：
∵ $54° + 36° = 90°$
∴ $36° = 90° - 54°$
根据互余角的三角函数性质可得：$\tan36°=\tan(90°-54°)=\cot54°$
∴ 原式 = $\tan54° · \cot54°$
又
∵ 同角的正切和余切互为倒数，即$\tanα · \cotα = 1$
∴ $\tan54° · \cot54° = 1$
【答案】
1
【知识点】
1.互余角的三角函数性质 2.正切与余切的倒数关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，核心考查互余锐角的三角函数转换关系，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先观察两个锐角的度数，可发现54°与36°的和为90°，即两角互余，因此可以先利用互余两角的三角函数转换关系，将其中一个正切转换为余切，再结合同角的正切与余切互为倒数的性质即可求出结果。
【解析】
解：
∵ $54° + 36° = 90°$
∴ $36° = 90° - 54°$
根据互余角的三角函数性质可得：$\tan36°=\tan(90°-54°)=\cot54°$
∴ 原式 = $\tan54° · \cot54°$
又
∵ 同角的正切和余切互为倒数，即$\tanα · \cotα = 1$
∴ $\tan54° · \cot54° = 1$
【答案】
1
【知识点】
1.互余角的三角函数性质 2.正切与余切的倒数关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，核心考查互余锐角的三角函数转换关系，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP.若BC=18，AB=4，$\tan C=\frac{1}{2}$，则DP的长是
$2\sqrt{5}$
.答案
4.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先观察已知的垂直条件：AP⊥DP、CD⊥DP，可推出AP//CD，进而得到∠APB=∠C，将已知的tanC值转化到Rt△ABP中，计算出BP的长度，再得到PC的长度；最后在Rt△PDC中，结合tanC的边的比例关系，利用勾股定理即可求出DP的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，
∴∠B=∠APD=∠D=90°，
∴AP//CD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠APB=∠C。
∵tanC=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠APB=tanC=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABP中，tan∠APB=$\frac{AB}{BP}$，AB=4，
∴$\frac{4}{BP}$=$\frac{1}{2}$，解得BP=8。
∵BC=18，
∴PC=BC-BP=18-8=10。
在Rt△PDC中，tanC=$\frac{DP}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
设DP=x，则CD=2x，
由勾股定理得：$DP^2+CD^2=PC^2$，
即$x^2+(2x)^2=10^2$，
$5x^2=100$，$x^2=20$，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即DP=$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
平行线的判定与性质，锐角的正切，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数与几何计算的综合题，解题关键是通过平行关系实现等角转换，将已知正切值对应到合适的直角三角形中计算线段长，再结合勾股定理求解，考查了几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察已知的垂直条件：AP⊥DP、CD⊥DP，可推出AP//CD，进而得到∠APB=∠C，将已知的tanC值转化到Rt△ABP中，计算出BP的长度，再得到PC的长度；最后在Rt△PDC中，结合tanC的边的比例关系，利用勾股定理即可求出DP的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，
∴∠B=∠APD=∠D=90°，
∴AP//CD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠APB=∠C。
∵tanC=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠APB=tanC=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABP中，tan∠APB=$\frac{AB}{BP}$，AB=4，
∴$\frac{4}{BP}$=$\frac{1}{2}$，解得BP=8。
∵BC=18，
∴PC=BC-BP=18-8=10。
在Rt△PDC中，tanC=$\frac{DP}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
设DP=x，则CD=2x，
由勾股定理得：$DP^2+CD^2=PC^2$，
即$x^2+(2x)^2=10^2$，
$5x^2=100$，$x^2=20$，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即DP=$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
平行线的判定与性质，锐角的正切，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数与几何计算的综合题，解题关键是通过平行关系实现等角转换，将已知正切值对应到合适的直角三角形中计算线段长，再结合勾股定理求解，考查了几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为 AB 的中点,DE⊥AB 交 AC 于点 E,连接 BE.已知 BE=5,$\sin∠CBE=\frac{2}{5}$.
(1)求 BC 的长;
(2)求 tan A 的值.
(1)求 BC 的长;
(2)求 tan A 的值.
答案
5.解:(1)在 Rt△BCE 中，
$\because \sin∠ CBE=\frac{CE}{BE}=\frac{2}{5},BE=5,\therefore CE=2$,
则 $BC=\sqrt{BE^2-CE^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$.
(2)$\because D$ 为 $AB$ 的中点,且 $DE⊥ AB$,
$\therefore AE=BE=5,\therefore AC=AE+EC=5+2=7$,
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.
$\because \sin∠ CBE=\frac{CE}{BE}=\frac{2}{5},BE=5,\therefore CE=2$,
则 $BC=\sqrt{BE^2-CE^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$.
(2)$\because D$ 为 $AB$ 的中点,且 $DE⊥ AB$,
$\therefore AE=BE=5,\therefore AC=AE+EC=5+2=7$,
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.
解析
【分析】
（1）要求BC的长，观察可知BC在Rt△BCE中，已知BE的长度和$\sin∠CBE$的值，可先根据正弦的定义求出CE的长度，再利用勾股定理计算BC即可。
（2）要求$\tan A$的值，需先得到Rt△ABC中BC和AC的长度，BC已在第一问求出，根据“D是AB中点且$DE⊥AB$”可知DE是AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得$AE=BE$，进而求出AC的总长度，最后根据正切的定义计算$\tan A$即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ BCE$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义：$\sin∠ CBE=\frac{CE}{BE}$，
已知$\sin∠ CBE=\frac{2}{5}$，$BE=5$，代入得$\frac{CE}{5}=\frac{2}{5}$，解得$CE=2$。
由勾股定理可得：$BC=\sqrt{BE^2-CE^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$。
(2) $\because D$为$AB$的中点，且$DE⊥ AB$，
$\therefore DE$是线段$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得$AE=BE=5$，
$\therefore AC=AE+EC=5+2=7$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：$\tan A=\frac{BC}{AC}$，
代入BC和AC的长度，得$\tan A=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
【答案】
(1) $\sqrt{21}$；(2) $\frac{\sqrt{21}}{7}$
【知识点】
锐角三角函数定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形性质和锐角三角函数结合考查，解题的突破口是识别出DE是AB的垂直平分线，从而得到AE与BE的等量关系，只要熟练掌握相关基础概念和性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要求BC的长，观察可知BC在Rt△BCE中，已知BE的长度和$\sin∠CBE$的值，可先根据正弦的定义求出CE的长度，再利用勾股定理计算BC即可。
（2）要求$\tan A$的值，需先得到Rt△ABC中BC和AC的长度，BC已在第一问求出，根据“D是AB中点且$DE⊥AB$”可知DE是AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得$AE=BE$，进而求出AC的总长度，最后根据正切的定义计算$\tan A$即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ BCE$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义：$\sin∠ CBE=\frac{CE}{BE}$，
已知$\sin∠ CBE=\frac{2}{5}$，$BE=5$，代入得$\frac{CE}{5}=\frac{2}{5}$，解得$CE=2$。
由勾股定理可得：$BC=\sqrt{BE^2-CE^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$。
(2) $\because D$为$AB$的中点，且$DE⊥ AB$，
$\therefore DE$是线段$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得$AE=BE=5$，
$\therefore AC=AE+EC=5+2=7$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：$\tan A=\frac{BC}{AC}$，
代入BC和AC的长度，得$\tan A=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
【答案】
(1) $\sqrt{21}$；(2) $\frac{\sqrt{21}}{7}$
【知识点】
锐角三角函数定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形性质和锐角三角函数结合考查，解题的突破口是识别出DE是AB的垂直平分线，从而得到AE与BE的等量关系，只要熟练掌握相关基础概念和性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. 如果一个矩形的面积是 40,两条对角线夹角的正切值是$\frac{4}{3}$,那么它的一条对角线的长是
10
.答案
6.10
解析
【分析】
拿到这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线将矩形分成4个等腰三角形；接下来要把矩形面积、对角线夹角的正切值、对角线长三个量关联起来，已知正切值，计算面积需要用到夹角的正弦值，由tanθ=4/3（θ为对角线夹的锐角），可推出sinθ=4/5；最后通过面积建立等量关系，列方程即可求出对角线长。
【解析】
设矩形的对角线长为d，两条对角线所夹的锐角为θ。
1. 根据矩形的性质：矩形的两条对角线相等，故两条对角线长度均为d。
2. 已知tanθ=4/3，且θ为锐角，构造直角三角形可得对边为4、邻边为3、斜边为√(3²+4²)=5，因此sinθ=4/5。
3. 对于对角线长为d₁、d₂，夹角为θ的四边形，面积公式为$S=\frac{1}{2}d_1d_2\sinθ$。矩形中$d_1=d_2=d$，已知$S=40$，代入得：
$\begin{aligned}40&=\frac{1}{2} × d × d × \frac{4}{5}\\40&=\frac{2}{5}d^2\\d^2&=100\end{aligned}$
因为线段长度为正数，所以$d=10$。
【答案】
10
【知识点】
矩形的性质，锐角三角函数，面积计算
【点评】
本题是几何与三角函数的综合基础题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，能将对角线夹角的正切值转化为计算面积所需的正弦值，进而建立等量关系求解，考察学生的知识整合应用能力。
【难度系数】
0.65
拿到这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线将矩形分成4个等腰三角形；接下来要把矩形面积、对角线夹角的正切值、对角线长三个量关联起来，已知正切值，计算面积需要用到夹角的正弦值，由tanθ=4/3（θ为对角线夹的锐角），可推出sinθ=4/5；最后通过面积建立等量关系，列方程即可求出对角线长。
【解析】
设矩形的对角线长为d，两条对角线所夹的锐角为θ。
1. 根据矩形的性质：矩形的两条对角线相等，故两条对角线长度均为d。
2. 已知tanθ=4/3，且θ为锐角，构造直角三角形可得对边为4、邻边为3、斜边为√(3²+4²)=5，因此sinθ=4/5。
3. 对于对角线长为d₁、d₂，夹角为θ的四边形，面积公式为$S=\frac{1}{2}d_1d_2\sinθ$。矩形中$d_1=d_2=d$，已知$S=40$，代入得：
$\begin{aligned}40&=\frac{1}{2} × d × d × \frac{4}{5}\\40&=\frac{2}{5}d^2\\d^2&=100\end{aligned}$
因为线段长度为正数，所以$d=10$。
【答案】
10
【知识点】
矩形的性质，锐角三角函数，面积计算
【点评】
本题是几何与三角函数的综合基础题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，能将对角线夹角的正切值转化为计算面积所需的正弦值，进而建立等量关系求解，考察学生的知识整合应用能力。
【难度系数】
0.65
7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,D 为 AC 边上一动点,且 $\tan∠ ABD=\frac{1}{2}$,则 BD 的长为
$\frac{24\sqrt{5}}{11}$
.答案
7.$\frac{24\sqrt{5}}{11}$
解析
【分析】
要求BD的长度，已知∠ABD的正切值，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，将正切值转化为直角边的比例关系。首先过点D作DE⊥AB于E，此时△BDE为直角三角形，结合tan∠ABD=1/2可得到DE与BE的数量关系；再由DE⊥AB、∠ABC=90°可得DE//BC，进而推出△ADE∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例列方程求出DE的长度，最后在Rt△BDE中用勾股定理计算BD即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ ∠ABC=90°，即BC⊥AB，
∴ DE//BC，
∴ △ADE∽△ACB。
设DE=x，
在Rt△BDE中，$\tan∠ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴ BE=2DE=2x。
∵ AB=6，
∴ AE=AB-BE=6-2x。
由△ADE∽△ACB，得$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
代入AB=6，BC=8，得：
$\frac{6-2x}{6}=\frac{x}{8}$，
交叉相乘得：$8(6-2x)=6x$，
整理得：$48-16x=6x$，
解得：$x=\frac{24}{11}$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
将$x=\frac{24}{11}$代入得：$BD=\frac{24\sqrt{5}}{11}$。
【答案】
$\frac{24\sqrt{5}}{11}$
【知识点】
锐角正切的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于三角函数与三角形相似的综合题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形和相似三角形，将已知的三角函数值转化为线段比例关系，再结合相似性质求解线段长度，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求BD的长度，已知∠ABD的正切值，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，将正切值转化为直角边的比例关系。首先过点D作DE⊥AB于E，此时△BDE为直角三角形，结合tan∠ABD=1/2可得到DE与BE的数量关系；再由DE⊥AB、∠ABC=90°可得DE//BC，进而推出△ADE∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例列方程求出DE的长度，最后在Rt△BDE中用勾股定理计算BD即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ ∠ABC=90°，即BC⊥AB，
∴ DE//BC，
∴ △ADE∽△ACB。
设DE=x，
在Rt△BDE中，$\tan∠ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴ BE=2DE=2x。
∵ AB=6，
∴ AE=AB-BE=6-2x。
由△ADE∽△ACB，得$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
代入AB=6，BC=8，得：
$\frac{6-2x}{6}=\frac{x}{8}$，
交叉相乘得：$8(6-2x)=6x$，
整理得：$48-16x=6x$，
解得：$x=\frac{24}{11}$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
将$x=\frac{24}{11}$代入得：$BD=\frac{24\sqrt{5}}{11}$。
【答案】
$\frac{24\sqrt{5}}{11}$
【知识点】
锐角正切的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于三角函数与三角形相似的综合题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形和相似三角形，将已知的三角函数值转化为线段比例关系，再结合相似性质求解线段长度，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
8如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(1,0)$、$B(0,-3)$，点$C$在$x$轴上，且点$C$在点$A$右侧，连接$AB$、$BC$。若$\tan∠ ABC=\dfrac{1}{3}$，则点$C$的坐标为
$(\dfrac{9}{4},0)$
。答案
8.$(\frac{9}{4},0)$ 解析:$\because$ 点 $A(1,0)$,点 $B(0,-3)$,
$\therefore OA=1,OB=3,\therefore \tan∠ OBA=\frac{1}{3}$.
$\because \tan∠ ABC=\frac{1}{3}$,
$\therefore ∠ ABO=∠ ABC$.
过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$ 于 $D$,如图
.$\because AO⊥ BO,AD⊥ BC,BA$ 是 $∠ OBC$ 的平分线,$\therefore AD=AO=1$.
$\because \frac{S_{△ ABO}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}OA· OB}{\frac{1}{2}AC· OB}=\frac{\frac{1}{2}OB· OA}{\frac{1}{2}BC· AD}$,
$\therefore \frac{AC}{OA}=\frac{CB}{OB}$.
设 $C(m,0)$,则 $AC=m-1,BC=\sqrt{3^2+m^2}$,
$\therefore \frac{m-1}{1}=\frac{\sqrt{3^2+m^2}}{3}$,解得 $m=\frac{9}{4}$ 或 $m=0$(舍去),
$\therefore C(\frac{9}{4},0)$.
解析
【分析】
解题时首先根据已知点A、B的坐标求出线段OA、OB的长度，计算出∠OBA的正切值，发现它和题目给出的∠ABC的正切值相等，可得BA是∠OBC的角平分线；接下来利用角平分线的性质，过A作AD⊥BC，得到AD=AO=1；再通过△ABO和△ABC的面积的两种不同表示方法建立比例关系，设出点C的坐标，将对应线段用含坐标参数的式子表示后代入比例，解方程后舍去不符合题意的解，即可得到点C的坐标。
【解析】
已知点$A(1,0)$、$B(0,-3)$，可得$OA=1$，$OB=3$。
在$Rt△ OAB$中，$\tan∠ OBA=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$。
$\because \tan∠ ABC=\frac{1}{3}$，$\therefore ∠ ABO=∠ ABC$，即$BA$平分$∠ OBC$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于$D$，如图，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$AD=AO=1$。
分别用两种方式表示$△ ABO$和$△ ABC$的面积比：
$\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}· OA· OB}{\frac{1}{2}· AC· OB}=\frac{OA}{AC}$，
同时$\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}· OB· OA}{\frac{1}{2}· BC· AD}=\frac{OB· OA}{BC· AD}$，
联立可得$\frac{AC}{OA}=\frac{BC}{OB}$。
设点$C$的坐标为$(m,0)$，$\because$点$C$在点$A$右侧，$\therefore m＞1$，则$AC=m-1$，$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+m^2}$。
代入比例式得：$\frac{m-1}{1}=\frac{\sqrt{m^2+9}}{3}$，
两边平方得：$9(m-1)^2=m^2+9$，
展开整理得：$8m^2-18m=0$，
解得$m=\frac{9}{4}$或$m=0$，$\because m＞1$，故舍去$m=0$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(\frac{9}{4},0)$。
【答案】
$(\frac{9}{4},0)$
【知识点】
1.锐角正切的定义
2.角平分线的性质
3.坐标与图形性质
【点评】
本题将平面直角坐标系与锐角三角函数、角平分线性质结合考查，解题的关键是通过正切值相等推导得到角平分线，再借助面积法建立等量关系列方程求解，能够有效锻炼学生的几何综合应用与方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知点A、B的坐标求出线段OA、OB的长度，计算出∠OBA的正切值，发现它和题目给出的∠ABC的正切值相等，可得BA是∠OBC的角平分线；接下来利用角平分线的性质，过A作AD⊥BC，得到AD=AO=1；再通过△ABO和△ABC的面积的两种不同表示方法建立比例关系，设出点C的坐标，将对应线段用含坐标参数的式子表示后代入比例，解方程后舍去不符合题意的解，即可得到点C的坐标。
【解析】
已知点$A(1,0)$、$B(0,-3)$，可得$OA=1$，$OB=3$。
在$Rt△ OAB$中，$\tan∠ OBA=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$。
$\because \tan∠ ABC=\frac{1}{3}$，$\therefore ∠ ABO=∠ ABC$，即$BA$平分$∠ OBC$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于$D$，如图
，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$AD=AO=1$。分别用两种方式表示$△ ABO$和$△ ABC$的面积比：
$\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}· OA· OB}{\frac{1}{2}· AC· OB}=\frac{OA}{AC}$，
同时$\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}· OB· OA}{\frac{1}{2}· BC· AD}=\frac{OB· OA}{BC· AD}$，
联立可得$\frac{AC}{OA}=\frac{BC}{OB}$。
设点$C$的坐标为$(m,0)$，$\because$点$C$在点$A$右侧，$\therefore m＞1$，则$AC=m-1$，$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+m^2}$。
代入比例式得：$\frac{m-1}{1}=\frac{\sqrt{m^2+9}}{3}$，
两边平方得：$9(m-1)^2=m^2+9$，
展开整理得：$8m^2-18m=0$，
解得$m=\frac{9}{4}$或$m=0$，$\because m＞1$，故舍去$m=0$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(\frac{9}{4},0)$。
【答案】
$(\frac{9}{4},0)$
【知识点】
1.锐角正切的定义
2.角平分线的性质
3.坐标与图形性质
【点评】
本题将平面直角坐标系与锐角三角函数、角平分线性质结合考查，解题的关键是通过正切值相等推导得到角平分线，再借助面积法建立等量关系列方程求解，能够有效锻炼学生的几何综合应用与方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
