一、选择题(每小题5分,共30分)
1. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）

A.中线
B.角平分线
C.高
D.以上都不对

1.A

【分析】
解题时可从三角形面积公式入手，要将三角形面积分成相等的两部分，需得到两个面积相等的小三角形，根据“等底同高的三角形面积相等”的规律，逐一分析各选项的线段性质即可得出答案。
【解析】
三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为这条底对应的高）。
选项A：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，它会将对边分为两条长度相等的线段，以这两条等长线段为底的两个小三角形，高均为原三角形该顶点到对边的高，属于等底同高，因此两个小三角形面积相等，即中线可以将三角形面积分成相等的两部分。
选项B：角平分线仅平分三角形的内角，无法保证将对边分为等长的两段，两个小三角形的底不一定相等，面积不一定相等，仅特殊三角形的顶角平分线可平分面积，不具有普遍性。
选项C：三角形的高仅保证垂直于对边，普通三角形的高无法平分对边，两个小三角形底不相等，面积也不相等，仅特殊三角形底边上的高可平分面积，不具有普遍性。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形性质相关的基础考题，核心考查等底同高的三角形面积相等的规律，只要熟练掌握三角形中线、角平分线、高的定义和性质，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9

2. 下列命题中，属于真命题的是 （）

A.所有的定理都是真命题
B.任何数都有平方根
C.同旁内角相等，两直线平行
D.无理数与数轴上的点一一对应

2.A

【分析】
首先明确题目要求是选出真命题，真命题是表述完全正确的命题。解题时需逐一对应每个选项涉及的数学知识点，结合所学的概念、定理判断表述是否正确，最终确定符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：定理是经过严格推理论证得到的正确命题，因此所有的定理都是真命题，该表述正确。
B选项：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数不存在平方根，因此该表述错误，是假命题。
C选项：平行线的判定定理为“同旁内角互补，两直线平行”，并非同旁内角相等就可判定两直线平行，因此该表述错误，是假命题。
D选项：实数（包含有理数和无理数）与数轴上的点一一对应，仅无理数无法和数轴上的点形成一一对应关系，因此该表述错误，是假命题。
综上，只有A是真命题。
【答案】
A
【知识点】
命题与定理；平方根的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对核心数学概念、定理的掌握程度，学习过程中要注意区分易混淆的知识点，准确记忆相关定义、定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3.若三角形的两边长分别为3和5，则其周长C的取值范围是 （）

A.$6＜C＜15$
B.$6＜C＜16$
C.$11＜C＜13$
D.$10＜C＜16$

3.D

【分析】
要确定三角形周长的取值范围，首先需明确三角形周长等于三边长度之和，已知两边长，因此先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合已知两边的和推导周长的范围即可。具体步骤：①设第三边长为x，利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式求x的范围；②根据周长公式C=3+5+x，代入x的范围推导C的取值范围。
【解析】
设该三角形的第三边长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$5-3 ＜ x ＜ 5+3$
即$2 ＜ x ＜ 8$
三角形周长$C = 3 + 5 + x = 8 + x$
将$2 ＜ x ＜ 8$代入周长公式：
左边：$8+2 ＜ C$，即$C＞10$
右边：$C ＜ 8+8$，即$C＜16$
因此周长的取值范围是$10 ＜ C ＜ 16$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是先确定未知边的取值范围，再推导周长的范围，需要注意三角形的第三边不能等于已知两边的和或差，因此取值范围为开区间。
【难度系数】
0.8

4.如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，且ED//AB，则∠α与∠β的数量关系是（）

A.∠α=∠β
B.∠α+∠β=90°
C.∠α+∠β＞90°
D.∠α+∠β＜90°

4.B

【分析】
解题时先从已知条件入手：①AD是△ABC的高，可得AD⊥BC，△ABD是直角三角形，直角三角形两个锐角互余，因此能得到∠α与∠B的和为90°；②ED//AB，根据平行线同位角相等的性质，可得∠β与∠B相等，最后通过等量代换就能推出∠α和∠β的数量关系。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠α + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵ED//AB，
∴∠β = ∠B（两直线平行，同位角相等）。
将∠B替换为∠β，可得∠α + ∠β = 90°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何推导题，核心是结合已知条件找角的等量关系，解题的关键是利用平行线的性质实现角的转化，再结合直角三角形的性质推导结论。
【难度系数】
0.8

5.如图，$∠ x$的两条边被一直线所截，用含$α$和$β$的式子表示$∠ x$为（）

A.$α - β$
B.$β - α$
C.$180° - α + β$
D.$180° - α - β$

5.B

【分析】
解题时先利用对顶角相等的性质，将∠α转化为三角形的一个内角，再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，建立三个角之间的等量关系，通过移项即可求出∠x的表达式。
【解析】
根据对顶角相等的性质，∠α的对顶角与∠α大小相等，该角是图中三角形的一个内角；
观察图形可知∠β是这个三角形的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ β = ∠ α + ∠ x$
移项得：$∠ x = β - α$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等，三角形外角性质
【点评】
本题是基础几何题，解题的核心是准确识别角的位置关系，结合学过的角的性质建立等式即可求解，是对基础几何性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

6.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=20°$，沿$BE$将此三角形折叠，又沿$BA'$再一次折叠，点$C$落在$BE$上的$C'$处，此时$∠ C'DB=74°$，则原三角形的$∠ C$的度数为（）

A.$27°$
B.$59°$
C.$69°$
D.$79°$

6.D

【分析】
解题时首先利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，可知两次折叠后∠ABC被分为3个相等的角，设其中1份为x，即可表示出∠ABC=3x，同时折叠后∠C与∠BC'D相等。再分别在△ABC和△C'DB中利用三角形内角和为180°列关系式，联立两个关系式即可求解出∠C的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：$∠ ABE=∠ A'BE=∠ CBD$，$∠ BC'D=∠ C$。
设$∠ ABE=x$，则$∠ ABC=3x$。
在$△ ABC$中，$∠ A=20°$，由三角形内角和为$180°$得：
$20°+3x+∠ C=180°$，整理得$3x+∠ C=160°$ ①
在$△ C'DB$中，$∠ C'DB=74°$，由三角形内角和为$180°$得：
$74°+x+∠ C=180°$，整理得$x+∠ C=106°$ ②
用①$-$②得：$2x=54°$，解得$x=27°$。
将$x=27°$代入②得：$∠ C=106°-27°=79°$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是折叠性质与三角形内角和的综合应用题，解题核心是通过折叠找到相等的角，结合方程思想求解，能较好地考查学生的几何分析能力。
【难度系数】
0.65

二、填空题(每小题5分,共30分)
7. 写出命题“如果一个三角形有一个外角是直角,那么这个三角形是直角三角形”的逆命题

.

7. 如果一个三角形是直角三角形,那么它有一个外角是直角

【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先回忆逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换位置得到的命题。首先观察原命题是“如果……那么……”的标准形式，“如果”后面的内容是题设，“那么”后面的内容是结论，我们只需要先拆分出原命题的题设和结论，再把二者互换位置，整理成通顺的语句即可。
【解析】
1. 拆分原命题的结构：原命题“如果一个三角形有一个外角是直角，那么这个三角形是直角三角形”中，题设为“一个三角形有一个外角是直角”，结论为“这个三角形是直角三角形”。
2. 互换题设和结论的位置，调整语句通顺，即可得到逆命题。
【答案】
如果一个三角形是直角三角形,那么它有一个外角是直角
【知识点】
逆命题的概念；命题的构成
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握逆命题的改写规则，只要能准确区分原命题的题设和结论，就能轻松完成解答。
【难度系数】
0.9

8.一个承重架的结构示意图如图所示，如果∠1=150°，那么∠2=。

第8题图 第11题图

8.60°

【分析】
首先观察图形可知，该承重架为直角三角形结构，∠1是这个直角三角形的外角，要求∠2的度数。我们可以利用三角形外角的性质解题：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，已知∠1的度数和直角为90°，直接代入计算即可得到∠2的度数；也可以先利用平角定义求出三角形中与∠1相邻的内角度数，再结合直角三角形两锐角互余计算∠2。
【解析】
解：根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
由图可得，∠1是该直角三角形的外角，与∠1不相邻的两个内角分别为90°的直角和∠2，因此有：
$∠1 = 90° + ∠2$
已知$∠1=150°$，代入得：
$∠2 = ∠1 - 90° = 150° - 90° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形外角性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题关键是结合图形准确判断各角之间的数量关系，熟练运用三角形相关的角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85

9.在$△ ABC$中，$∠ A=\dfrac{1}{2}∠ B=\dfrac{1}{3}∠ C$，则$∠ B=$度.

9.60

【分析】
本题是三角形内角计算的基础题型，解题思路如下：首先根据题目给出的三个内角的数量关系，将三个角用同一个未知数表示，再利用三角形内角和为180°的定理建立方程，解方程求出未知数后代入即可得到∠B的度数。
【解析】
解：设$∠ A = x$，
$\because ∠ A=\dfrac{1}{2}∠ B$，$\therefore ∠ B=2x$，
$\because ∠ A=\dfrac{1}{3}∠ C$，$\therefore ∠ C=3x$，
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
代入得：$x+2x+3x=180°$
合并同类项得：$6x=180°$
解得：$x=30°$
$\therefore ∠ B=2x=2×30°=60°$
【答案】
60
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.列方程解几何计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规基础题，侧重考查三角形内角和定理的应用，以及利用角度间的比例关系设未知量求解的能力，解题的关键是准确用同一个未知量表示出三个内角的度数。
【难度系数】
0.8

10.三个不同的数$3,1-a,1-2a$在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则$a$的取值范围为。

10.$-3＜a＜-2$

【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据数轴上从左到右的数依次增大的性质，列出关于a的不等式，得到a的初步取值范围；第二步，结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，由于已经确定三个数的大小顺序，只需验证较小两个数的和大于最大数即可，最后综合两类条件的结果，取交集得到a的最终取值范围。
【解析】
1. 根据数轴上数的大小规律，三个数从左到右依次排列即从小到大排序为$3 ＜ 1 - a ＜ 1 - 2a$：
解不等式$3 ＜ 1 - a$：
移项得$a ＜ 1 - 3$，即$a ＜ -2$；
解不等式$1 - a ＜ 1 - 2a$：
移项得$-a + 2a ＜ 1 - 1$，即$a ＜ 0$；
结合两个不等式结果，初步得到$a ＜ -2$。
2. 根据三角形三边关系，较小两边之和大于最大边（较大边加任意较小边必然大于另一较小边，无需额外验证）：
列不等式$3 + (1 - a) ＞ 1 - 2a$
化简左边得$4 - a ＞ 1 - 2a$
移项得$2a - a ＞ 1 - 4$，即$a ＞ -3$。
3. 综合两类条件取交集，得$-3 ＜ a ＜ -2$。
【答案】
$-3 ＜ a ＜ -2$
【知识点】
数轴的性质；三角形三边关系；一元一次不等式组解法
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的核心是先利用数轴排序明确三个数的大小关系，再通过三角形三边关系列不等式，能有效考查学生对基础性质的综合应用能力，计算时注意不等式移项的符号变化规则。
【难度系数】
0.6

11. 如图，在$△ ABC$中，$BO$，$CO$分别平分$∠ ABC$，$∠ ACB$. 若$∠ BOC = 110°$，则$∠ A =$.

11.$40°$

【分析】
解题思路如下：第一步，先在△BOC中利用三角形内角和定理，求出∠OBC与∠OCB的度数和；第二步，结合BO、CO是角平分线的性质，推导得到∠ABC与∠ACB的度数和；第三步，在△ABC中再次利用三角形内角和定理，即可算出∠A的度数。
【解析】
在△BOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ OBC + ∠ OCB = 180° - ∠ BOC = 180° - 110° = 70°$
∵BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$
∴$∠ ABC = 2∠ OBC$，$∠ ACB = 2∠ OCB$
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ OBC + ∠ OCB) = 2×70° = 140°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 140° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心是灵活运用三角形内角和与角平分线的性质，通过中间量“两个底角一半的和”建立已知角和未知角的联系，是角度计算类题目的常见考法。
【难度系数】
0.8

12. 若 AD 为 $△ ABC$ 的高，$∠ BAD = 30°$，$∠ CAD = 40°$，则$∠ BAC=$。

12.$70°或10°$

【分析】
AD是△ABC的高，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（钝角三角形的高），因此需要分两种情况讨论：①高AD在△ABC内部时，∠BAC是∠BAD和∠CAD的和；②高AD在△ABC外部时，∠BAC是∠CAD和∠BAD的差，分别计算即可得到所有可能的结果。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC内部时：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD
代入角度得：∠BAC = 30° + 40° = 70°
2. 当高AD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形）：
∠BAC = ∠CAD - ∠BAD
代入角度得：∠BAC = 40° - 30° = 10°
综上，∠BAC的度数为70°或10°。
【答案】
70°或10°
【知识点】
三角形高的性质；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是只考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高在外部的情形，解题时要全面考虑三角形高的位置多样性，避免漏解。
【难度系数】
0.6

三、解答题(共40分)
13.(9分)指出下列命题的条件与结论，并判断它们的真假，如果是假命题，请举一个反例.
(1)垂线段最短；
(2)同旁内角互补；
(3)两条直线相交，只有一个交点.

13. (1)解:条件:连接直线外一点与直线上各点的线段,结论:其中垂线段最短,它是真命题. (2)条件:两条直线被第三条直线所截,结论:所得同旁内角互补,它是假命题.反例:如图,△ABC可看作是直线AC,BC被直线AB所截,而所得同旁内角∠A与∠B之和小于180°. (3)条件:两条直线相交,结论:它们只有一个交点,它是真命题.

【分析】
解决这类问题首先要明确命题的构成：所有命题都可拆分为条件和结论两部分，我们可以通过将命题转化为“如果……，那么……”的形式来区分两部分：“如果”后面的已知事项是条件，“那么”后面由已知事项推出的事项是结论。判断命题真假时，符合所学公理、定理、客观事实的是真命题；只要存在一个情况满足条件但不满足结论，该命题就是假命题，此时只需举出一个符合要求的反例即可，接下来对三个命题逐一分析即可。
【解析】
(1) 将命题改写为“如果连接直线外一点与直线上的各点得到若干线段，那么这些线段中垂线段最短”，可得：
条件：连接直线外一点与直线上各点的线段；
结论：这些线段中垂线段最短；
该内容是几何中的基本事实，属于真命题。
(2) 将命题改写为“如果两个角是两条直线被第三条直线所截得到的同旁内角，那么这两个角互补”，可得：
条件：两条直线被第三条直线所截；
结论：得到的同旁内角互补；
只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，因此该命题是假命题；
反例：如图，△ABC可看作直线AC、BC被直线AB所截，得到的同旁内角∠A和∠B的和小于180°，不满足互补的结论。
(3) 将命题改写为“如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点”，可得：
条件：两条直线相交；
结论：它们只有一个交点；
该内容是平面内相交线的基本性质，属于真命题。
【答案】
13. (1)解:条件:连接直线外一点与直线上各点的线段,结论:其中垂线段最短,它是真命题. (2)条件:两条直线被第三条直线所截,结论:所得同旁内角互补,它是假命题.反例:如图,△ABC可看作是直线AC,BC被直线AB所截,而所得同旁内角∠A与∠B之和小于180°. (3)条件:两条直线相交,结论:它们只有一个交点,它是真命题.
【知识点】
命题的组成、真假命题判断、几何基本性质
【点评】
本题属于命题相关的基础考查题，核心是掌握命题条件和结论的拆分方法，明确真命题需要符合客观几何事实，假命题只需举出一个反例即可判定，有助于巩固对基础几何概念和命题定义的理解。
【难度系数】
0.8