10. 如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点A(4,3)，一次函数的图象与y轴交于点B，且OB=5，则这两个函数的表达式为。

10.$y=\frac{3}{4}x$ 和 $y=2x-5$

【分析】
解题时我们可以分两步分别求解两个函数的表达式：第一步先求正比例函数，正比例函数过原点和点A(4,3)，用待定系数法设解析式代入A点坐标即可求出系数；第二步求一次函数，先结合图象判断B点在y轴负半轴，由OB=5得到B点坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式求解系数即可。
【解析】
1. 求正比例函数的表达式：
设正比例函数的解析式为$ y = k_1x $（$ k_1 ≠ 0 $），
∵函数图象经过点$ A(4,3) $，
将$ x=4,y=3 $代入解析式得：$ 3 = 4k_1 $，
解得$ k_1 = \frac{3}{4} $，
∴正比例函数的表达式为$ y = \frac{3}{4}x $。
2. 求一次函数的表达式：
由图象可知，一次函数与y轴的交点B在y轴负半轴，
∵$ OB=5 $，
∴点B的坐标为$ (0,-5) $，
设一次函数的解析式为$ y = k_2x + b $（$ k_2 ≠ 0 $），
∵函数图象经过点$ A(4,3) $和$ B(0,-5) $，
将$ B(0,-5) $代入解析式得：$ b = -5 $，
将$ A(4,3) $和$ b=-5 $代入解析式得：$ 3 = 4k_2 - 5 $，
解得$ k_2 = 2 $，
∴一次函数的表达式为$ y = 2x - 5 $。
【答案】
$ y=\frac{3}{4}x $ 和 $ y=2x-5 $
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 正比例函数性质
3. 一次函数图象性质
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，易错点是容易忽略B点在y轴负半轴的特征，误将B点坐标写为(0,5)导致计算错误，解题时要注意结合图象判断点的坐标符号。
【难度系数】
0.7

11.如图,在平面直角坐标系中,过点$C(0,6)$的直线$AC$与直线$OA$相交于点$A(4,2)$,动点$M$在直线$AC$上,且三角形$OMC$的面积是三角形$OAC$的面积的$\frac{1}{4}$,则点$M$的坐标为.

11.$(1,5)$或$(-1,7)$

【分析】
首先用待定系数法求出直线AC的解析式。观察△OMC和△OAC可知，两个三角形有公共底边OC，因此面积比等于对应高的比，也就是点M、点A到y轴的距离（横坐标的绝对值）之比，由此先求出点M的横坐标，再代入直线AC解析式求出纵坐标，注意横坐标存在正负两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 求直线AC的解析式
设直线AC的表达式为$y=kx+b$，
将$C(0,6)$代入得$b=6$，
再将$A(4,2)$代入$y=kx+6$，得$2=4k+6$，解得$k=-1$，
因此直线AC的解析式为$\boldsymbol{y=-x+6}$。
2. 根据面积关系求点M的横坐标
△OAC和△OMC的公共底边$OC=6$，以OC为底时，三角形的高为对应点横坐标的绝对值。
已知$S_{△ OMC}=\frac{1}{4}S_{△ OAC}$，因此点M横坐标的绝对值是点A横坐标的$\frac{1}{4}$，
点A横坐标为4，故$|x_M|=4×\frac{1}{4}=1$，即$x_M=1$或$x_M=-1$。
3. 求点M的纵坐标
将$x=1$代入$y=-x+6$，得$y=5$，对应点为$(1,5)$；
将$x=-1$代入$y=-x+6$，得$y=7$，对应点为$(-1,7)$。
【答案】
$(1,5)$或$(-1,7)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题的解题关键是利用同底三角形面积比等于高的比简化运算，解题时需注意横坐标的两种取值情况，不要漏解。
【难度系数】
0.7

12.已知直线$l_1:y=kx+b(k≠0)$与直线$l_2:y=ax-3(a＞0)$在第四象限交于点A，若直线$l_1$与$x$轴的交点为$B(-2,0)$。
(1)若点A的坐标为$(1,-2)$，则$k=$；
(2)$k$的取值范围是。

12.(1)$-\frac{2}{3}$ (2)$-\frac{3}{2}＜k＜0$

【分析】
(1) 已知直线$l_1$同时经过点$B(-2,0)$和点$A(1,-2)$，将两个点的坐标代入$l_1$的解析式$y=kx+b$，可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$的值。
(2) 首先把点$B(-2,0)$代入$l_1$的解析式，得到$b$和$k$的数量关系，将$l_1$的解析式改写为仅含参数$k$的形式；再结合交点在第四象限的坐标特征，找到两个边界情况：一是$k≥0$时，$l_1$在$x＞0$的区域$y$值恒为非负，无法和$l_2$在第四象限相交；二是$l_1$经过$l_2$与$y$轴的交点$(0,-3)$时，交点在$y$轴上不属于第四象限，计算出该边界对应的$k$值，即可确定$k$的取值范围。
【解析】
(1) 将$B(-2,0)$、$A(1,-2)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases} -2k + b = 0 \\ k + b = -2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，得：$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
(2) 将$B(-2,0)$代入$y=kx+b$，得$-2k + b = 0$，即$b=2k$，因此$l_1$的解析式为$y=kx+2k$。
直线$l_2:y=ax-3(a＞0)$与$y轴交于点(0,-3)$，当$l_1$经过点$(0,-3)$时，代入$l_1$解析式得$2k=-3$，即$k=-\frac{3}{2}$，此时两直线交点为$(0,-3)$，在$y$轴上，不属于第四象限。
若$k≥0$，当$x＞0$时，$y=kx+2k≥0$，不符合第四象限纵坐标小于0的要求，因此$k＜0$。
若$k＜-\frac{3}{2}$，联立两直线解析式：$kx+2k=ax-3$，整理得$(a-k)x=2k+3$，此时$2k+3＜0$，且$a＞0、-k＞0$，故$a-k＞0$，因此$x=\frac{2k+3}{a-k}＜0$，交点横坐标为负，属于第三象限，不符合要求。
综上，$k$的取值范围是$-\frac{3}{2}＜k＜0$。
【答案】
(1)$-\frac{2}{3}$ (2)$-\frac{3}{2}＜k＜0$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象与性质；一次函数交点问题
【点评】
本题结合一次函数的性质和象限坐标特征考查参数范围的求解，解题时需要注意分析边界情况，避免忽略对边界值的取舍。
【难度系数】
0.65

三、解答题(共40分)
13.(20分)如图,已知直线$y=kx+b$经过点$A(5,0),B(1,4)$.
(1)求直线AB的表达式;(6分)
(2)若直线$y=2x-4$与直线AB相交于点$C(n,2)$,求方程$kx+b=2x-4$的解;(7分)
(3)根据图象,写出关于$x$的不等式组$2x-4≥ kx+b＞0$的解集.(7分)

13.(1)解:将$A(5,0),B(1,4)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}5k+b=0, \\k+b=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1, \\b=5.\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=-x+5$；
(2)把$C(n,2)$代入$y=2x-4$，得$2n-4=2$,解得$n=3$,$\therefore C(3,2)$.由图象可知:方程$kx+b=2x-4$的解是$x=3$；
(3)$3≤ x＜5$.

【分析】
(1) 求直线表达式可采用待定系数法，已知直线过A、B两个点，将两点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，进而得到直线解析式。
(2) 方程kx+b=2x-4的解对应两条直线交点的横坐标，已知交点C的纵坐标，先代入y=2x-4求出交点的横坐标，即为方程的解。
(3) 不等式组的解集可结合图象分析：2x-4≥kx+b对应直线y=2x-4在直线AB上方（含交点）的x的范围，kx+b＞0对应直线AB在x轴上方的x的范围，取两个范围的公共部分即可得到不等式组的解集。
【解析】
(1) 将$A(5,0),B(1,4)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}5k+b=0, \\k+b=4,\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程得$4k=-4$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=4$，解得$b=5$。
$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=-x+5$。
(2) 把$C(n,2)$代入$y=2x-4$，得：
$2n-4=2$
解得$n=3$，即点C坐标为$(3,2)$。
两个一次函数交点的横坐标就是对应方程$kx+b=2x-4$的解，因此方程的解为$x=3$。
(3) 由图象可知：
当$x≥3$时，直线$y=2x-4$在直线$y=-x+5$的上方（含交点），满足$2x-4≥ kx+b$；
当$x＜5$时，直线$y=-x+5$在x轴上方，满足$kx+b＞0$；
取两个范围的公共部分，得不等式组的解集为$3≤ x＜5$。
【答案】
(1) $y=-x+5$；(2) $x=3$；(3) $3≤ x＜5$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程；一次函数与不等式组
【点评】
本题综合考查一次函数相关知识，结合图象分析问题更为直观便捷，体现了数形结合思想的应用，属于基础题型，熟练掌握一次函数与方程、不等式的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7

14.(20分)在体育局的策划下,市体育馆将组织明星篮球赛,为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为x张,购票总价为y元):
方案一:提供8000元购票赞助后,每张票的票价为50元;
方案二:票价按图中的折线OAB所表示的关系确定.
(1)若购买120张票时,按方案一和方案二分别应付的购票款是多少?(6分)
(2)求方案二中y与x的函数表达式;(7分)
(3)至少买多少张票时选择方案一才更合算?(7分)

14.(1)解:按方案一购120张票时,$y=8000+50×120=14000$(元);按方案二购120张票时,由图知$y=13200$(元).
(2)当$0≤ x≤ 100$时,设$y=kx$,则$12000=100k$,$k=120$,$\therefore y=120x$.当$x＞100$时,设$y=k'x+b$,则$\begin{cases}12000=100k'+b, \\13200=120k'+b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k'=60, \\b=6000,\end{cases}$ $\therefore y=60x+6000$.
综上,得$y=\begin{cases}120x(0≤ x≤ 100), \\60x+6000(x＞100).\end{cases}$
(3)由(1)知,购120张票时,按方案一购票不合算.即选择方案一比较合算时,$x$应超过120.设至少购买$x$张票时选择方案一比较合算.则应有$8000+50x＜60x+6000$,解得$x＞200$,$\therefore$ 至少买201张票时选方案一更合算.

【分析】
（1）第一问求解两种方案的购票款：方案一可直接根据“总费用=固定赞助费+单张票价×购票张数”的数量关系，代入x=120计算；方案二的120张票对应费用可直接从函数图像中读取对应y值即可。
（2）第二问求方案二的函数解析式，观察图像可知为分段函数：①当$0≤ x≤100$时，函数是过原点的正比例函数，设$y=kx$，代入点$(100,12000)$即可求出系数；②当$x＞100$时，函数为一次函数，设$y=k'x+b$，代入点$(100,12000)$和$(120,132000)$，解二元一次方程组求出系数即可，最后整理为分段函数形式。
（3）第三问找方案一更合算的购票数量，即方案一总费用小于方案二总费用。首先判断$x≤100$时方案一费用更高，因此只需讨论$x＞100$的情况，列不等式求解后结合票数为正整数的实际意义，确定最小取值即可。
【解析】
(1) 购买120张票时的费用计算：
方案一：$y=8000+50×120=14000$（元）
方案二：由函数图像可得，x=120时对应$y=13200$元。
(2) 求方案二y与x的函数表达式，分两种情况：
① 当$0≤ x≤100$时，设$y=kx(k≠0)$，将$(100,12000)$代入得：
$12000=100k$，解得$k=120$，即$y=120x$。
② 当$x＞100$时，设$y=k'x+b(k'≠0)$，将$(100,12000)$、$(120,13200)$代入得：
$\begin{cases}100k'+b=12000\\120k'+b=13200\end{cases}$
解得$\begin{cases}k'=60\\b=6000\end{cases}$，即$y=60x+6000$。
综上，方案二的函数表达式为$y=\begin{cases}120x&(0≤ x≤100)\\60x+6000&(x＞100)\end{cases}$。
(3) 当$x≤100$时，方案二总费用最高为12000元，方案一固定赞助费8000元加购票款，费用高于方案二，因此方案一更合算时$x＞100$。
设购买x张票时方案一更合算，列不等式：
$8000+50x ＜ 60x+6000$
解得$x＞200$，由于x为正整数，因此x最小取201。
【答案】
(1) 按方案一应付14000元，按方案二应付13200元；
(2) $y=\begin{cases}120x&(0≤ x≤100)\\60x+6000&(x＞100)\end{cases}$；
(3) 至少买201张票时选择方案一更合算。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际购票场景，综合考查了分段函数的分析、解析式求解以及方案优化类问题的处理方法，解题时需注意结合图像信息和实际问题的取值限制分情况讨论，避免忽略自变量实际意义出错。
【难度系数】
0.6