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1. 下列叙述正确的是().
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
C.各角相等的多边形是正多边形
D.轴对称图形是正多边形
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
C.各角相等的多边形是正多边形
D.轴对称图形是正多边形
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要回忆正多边形的定义，明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各角相等”两个核心条件，再逐一分析每个选项，可通过举常见的特殊多边形反例来排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等、各角也相等的多边形，两个条件缺一不可。
选项A：各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形的四条边都相等，但内角不一定全部相等，不属于正四边形，因此A错误；
选项B：表述完全符合正多边形的定义，因此B正确；
选项C：各角相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形的四个内角都是90°，但边长不一定全部相等，不属于正四边形，因此C错误；
选项D：轴对称图形不一定是正多边形，例如等腰三角形是轴对称图形，但不属于正多边形，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.正多边形的判定 2.轴对称图形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记正多边形需要同时满足各边相等、各角相等两个条件，结合熟悉的特殊图形举反例即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆正多边形的定义，明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各角相等”两个核心条件，再逐一分析每个选项，可通过举常见的特殊多边形反例来排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等、各角也相等的多边形，两个条件缺一不可。
选项A：各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形的四条边都相等，但内角不一定全部相等，不属于正四边形，因此A错误；
选项B：表述完全符合正多边形的定义，因此B正确；
选项C：各角相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形的四个内角都是90°，但边长不一定全部相等，不属于正四边形，因此C错误；
选项D：轴对称图形不一定是正多边形，例如等腰三角形是轴对称图形，但不属于正多边形，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.正多边形的判定 2.轴对称图形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记正多边形需要同时满足各边相等、各角相等两个条件，结合熟悉的特殊图形举反例即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则$\frac{AE}{AC}$的值是（）.
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{3}$
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
解决本题可以利用正多边形的外接圆性质简化计算：正八边形的所有顶点共外接圆，每条边对应的中心角相等，先求出AC、AE两条弦对应的圆心角，再结合勾股定理求出两条弦的长度，最后计算比值即可。
【解析】
解：正八边形的外接圆中，每条边对应的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$。
1. 求AC对应的弦长：
弧AC包含弧AB、弧BC两段，对应中心角为$2×45°=90°$。设外接圆半径为$R$，在由圆心、A、C三点组成的等腰直角三角形中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$
2. 求AE对应的弦长：
弧AE包含弧AB、弧BC、弧CD、弧DE四段，对应中心角为$4×45°=180°$，因此AE是外接圆的直径，即$AE=2R$。
3. 计算比值：
$\frac{AE}{AC}=\frac{2R}{\sqrt{2}R}=\sqrt{2}$
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质，圆心角与弦长，勾股定理
【点评】
本题将正多边形的计算转化为外接圆中圆心角和弦长的计算，是正多边形相关题型的常用解题思路，熟练掌握正多边形和外接圆的对应关系能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解决本题可以利用正多边形的外接圆性质简化计算：正八边形的所有顶点共外接圆，每条边对应的中心角相等，先求出AC、AE两条弦对应的圆心角，再结合勾股定理求出两条弦的长度，最后计算比值即可。
【解析】
解：正八边形的外接圆中，每条边对应的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$。
1. 求AC对应的弦长：
弧AC包含弧AB、弧BC两段，对应中心角为$2×45°=90°$。设外接圆半径为$R$，在由圆心、A、C三点组成的等腰直角三角形中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$
2. 求AE对应的弦长：
弧AE包含弧AB、弧BC、弧CD、弧DE四段，对应中心角为$4×45°=180°$，因此AE是外接圆的直径，即$AE=2R$。
3. 计算比值：
$\frac{AE}{AC}=\frac{2R}{\sqrt{2}R}=\sqrt{2}$
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质，圆心角与弦长，勾股定理
【点评】
本题将正多边形的计算转化为外接圆中圆心角和弦长的计算，是正多边形相关题型的常用解题思路，熟练掌握正多边形和外接圆的对应关系能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在正五边形ABCDE中,M,N分别是边AB和BC的中点,AN,EM交于点O.则∠EON的度数是().
A.$90°$
B.$108°$
C.$110°$
D.$120°$
A.$90°$
B.$108°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
B
解析
【分析】
要计算∠EON的度数，可按以下思路推导：①先利用正多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数，同时得到正五边形各边相等、各内角相等的结论；②结合M、N是边的中点的条件，证明△AEM和△BAN全等，得到对应角相等的关系；③利用三角形外角的性质，将∠EON转化为正五边形的内角，即可求出其度数。
【解析】
首先计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ EAB=∠ B=108°$，且正五边形各边相等，故$AE=AB=BC$。
∵M是AB中点，N是BC中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AB$，$BN=\frac{1}{2}BC$，结合$AB=BC$得$AM=BN$。
在$△ AEM$和$△ BAN$中：
$\begin{cases}AE=AB\\∠ EAM=∠ B\\AM=BN\end{cases}$
∴$△ AEM≌△ BAN$（SAS），
∴$∠ AEM=∠ BAN$。
根据三角形外角的性质，$∠ EON$是$△ AEO$的外角，因此：
$∠ EON=∠ OAE+∠ AEM$，
将$∠ AEM=∠ BAN$代入得：
$∠ EON=∠ OAE+∠ BAN=∠ EAB=108°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的正多边形结合全等三角形的几何计算题，解题核心是通过全等实现角的等量代换，把未知角转化为已知的正多边形内角，解题过程需要熟练掌握正多边形内角计算、全等证明及外角性质的应用。
【难度系数】
0.7
要计算∠EON的度数，可按以下思路推导：①先利用正多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数，同时得到正五边形各边相等、各内角相等的结论；②结合M、N是边的中点的条件，证明△AEM和△BAN全等，得到对应角相等的关系；③利用三角形外角的性质，将∠EON转化为正五边形的内角，即可求出其度数。
【解析】
首先计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ EAB=∠ B=108°$，且正五边形各边相等，故$AE=AB=BC$。
∵M是AB中点，N是BC中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AB$，$BN=\frac{1}{2}BC$，结合$AB=BC$得$AM=BN$。
在$△ AEM$和$△ BAN$中：
$\begin{cases}AE=AB\\∠ EAM=∠ B\\AM=BN\end{cases}$
∴$△ AEM≌△ BAN$（SAS），
∴$∠ AEM=∠ BAN$。
根据三角形外角的性质，$∠ EON$是$△ AEO$的外角，因此：
$∠ EON=∠ OAE+∠ AEM$，
将$∠ AEM=∠ BAN$代入得：
$∠ EON=∠ OAE+∠ BAN=∠ EAB=108°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的正多边形结合全等三角形的几何计算题，解题核心是通过全等实现角的等量代换，把未知角转化为已知的正多边形内角，解题过程需要熟练掌握正多边形内角计算、全等证明及外角性质的应用。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图，正方形ABCD为⊙O的内接正方形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB的度数为。
4. 如图，正方形ABCD为⊙O的内接正方形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB的度数为。
答案
$\boldsymbol{45°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此优先考虑连接圆心O和切点A，得到垂直关系；再结合正方形是圆的内接正四边形，求出半径OA与边AB的夹角，最后通过角度的差计算出∠PAB的度数即可。
【解析】
连接OA、OB：
1. 因为PA与⊙O相切于点A，根据切线的性质，可得OA⊥PA，即∠OAP=90°；
2. 因为正方形ABCD是⊙O的内接正方形，所以圆心角∠AOB = 360°÷4 = 90°，又OA=OB（都是⊙O的半径），因此△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB = (180°-90°)÷2 = 45°；
3. 因此∠PAB = ∠OAP - ∠OAB = 90° - 45° = 45°。
【答案】
$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
切线的性质，正多边形与圆，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是合理作出连接圆心和切点的辅助线，结合内接正方形的角度特征即可快速求解，是正多边形与圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此优先考虑连接圆心O和切点A，得到垂直关系；再结合正方形是圆的内接正四边形，求出半径OA与边AB的夹角，最后通过角度的差计算出∠PAB的度数即可。
【解析】
连接OA、OB：
1. 因为PA与⊙O相切于点A，根据切线的性质，可得OA⊥PA，即∠OAP=90°；
2. 因为正方形ABCD是⊙O的内接正方形，所以圆心角∠AOB = 360°÷4 = 90°，又OA=OB（都是⊙O的半径），因此△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB = (180°-90°)÷2 = 45°；
3. 因此∠PAB = ∠OAP - ∠OAB = 90° - 45° = 45°。
【答案】
$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
切线的性质，正多边形与圆，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是合理作出连接圆心和切点的辅助线，结合内接正方形的角度特征即可快速求解，是正多边形与圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$\odot O$是正三角形$ABC$的内切圆，$M$，$N$，$P$分别是边$AC$，$AB$，$BC$与$\odot O$的切点，则$∠ MPN$的度数为。
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
【分析】
要求∠MPN的度数，观察发现∠MPN是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，可先求其所对弧MN对应的圆心角∠MON的度数。结合切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OM⊥AC、ON⊥AB，再利用正三角形内角为60°，通过四边形内角和即可求出∠MON，最后根据圆周角与圆心角的数量关系计算∠MPN即可。
【解析】
解：连接OM、ON，
∵ M、N分别是AC、AB与⊙O的切点，
∴ OM⊥AC，ON⊥AB，即$∠ OMA=∠ ONA=90°$，
∵ △ABC是正三角形，
∴ $∠ BAC=60°$，
在四边形AMON中，内角和为$360°$，
∴ $∠ MON=360°-∠ OMA-∠ ONA-∠ BAC=360°-90°-90°-60°=120°$，
∵ ∠MPN是弧MN所对的圆周角，∠MON是弧MN所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理，$∠ MPN=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，正三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是合理作辅助线构造圆心角，将所求圆周角转化为圆心角进行求解，熟练掌握切线性质、圆周角定理和正三角形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要求∠MPN的度数，观察发现∠MPN是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，可先求其所对弧MN对应的圆心角∠MON的度数。结合切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OM⊥AC、ON⊥AB，再利用正三角形内角为60°，通过四边形内角和即可求出∠MON，最后根据圆周角与圆心角的数量关系计算∠MPN即可。
【解析】
解：连接OM、ON，
∵ M、N分别是AC、AB与⊙O的切点，
∴ OM⊥AC，ON⊥AB，即$∠ OMA=∠ ONA=90°$，
∵ △ABC是正三角形，
∴ $∠ BAC=60°$，
在四边形AMON中，内角和为$360°$，
∴ $∠ MON=360°-∠ OMA-∠ ONA-∠ BAC=360°-90°-90°-60°=120°$，
∵ ∠MPN是弧MN所对的圆周角，∠MON是弧MN所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理，$∠ MPN=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，正三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是合理作辅助线构造圆心角，将所求圆周角转化为圆心角进行求解，熟练掌握切线性质、圆周角定理和正三角形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在正六边形ABCDEF内作正方形ABMN，则∠MBC的度数为.
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
要解决本题，需先分别求出正六边形的内角∠ABC的度数和正方形的内角∠ABM的度数，再结合两角的位置关系作差即可得到∠MBC的度数。首先利用正多边形内角和公式计算正六边形单个内角的度数，再根据正方形的性质得到∠ABM的度数，最后观察角的组成关系，用大角减小角就能求出结果。
【解析】
解：
∵多边形ABCDEF是正六边形
∴正六边形的每个内角的度数为：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ ABC=120°$
∵四边形ABMN是正方形
∴$∠ ABM=90°$
∴$∠ MBC=∠ ABC-∠ ABM=120°-90°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
正多边形内角计算、正方形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟记正多边形内角的计算方法和正方形的内角性质，结合角的和差关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先分别求出正六边形的内角∠ABC的度数和正方形的内角∠ABM的度数，再结合两角的位置关系作差即可得到∠MBC的度数。首先利用正多边形内角和公式计算正六边形单个内角的度数，再根据正方形的性质得到∠ABM的度数，最后观察角的组成关系，用大角减小角就能求出结果。
【解析】
解：
∵多边形ABCDEF是正六边形
∴正六边形的每个内角的度数为：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ ABC=120°$
∵四边形ABMN是正方形
∴$∠ ABM=90°$
∴$∠ MBC=∠ ABC-∠ ABM=120°-90°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
正多边形内角计算、正方形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟记正多边形内角的计算方法和正方形的内角性质，结合角的和差关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
