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1. 两个数相加,若和为负数,则这两个数(
A.必定都为负数
B.总是一正一负
C.可以都是正数
D.至少有一个是负数
D
)。A.必定都为负数
B.总是一正一负
C.可以都是正数
D.至少有一个是负数
答案
1.D
解析
【分析】
解题时可先结合有理数加法法则，列举出和为负数的所有加数组合，再通过举反例逐一排除错误选项；也可通过反证法推导：若两个数都不是负数（即均为正数或0），则和一定是非负数，不可能为负数，反向推导即可得到正确结论。
【解析】
我们先梳理和为负数的几种加数情况：
1. 两个负数相加，和为负数，例：$(-2)+(-3)=-5$；
2. 一正一负相加，若负数的绝对值大于正数的绝对值，和为负数，例：$(-5)+2=-3$；
3. 负数和0相加，和为负数，例：$(-4)+0=-4$。
逐一分析选项：
A. 必定都为负数：反例$(-5)+2=-3$是一正一负相加和为负，错误，排除；
B. 总是一正一负：反例$(-2)+(-3)=-5$是两个负数相加和为负，错误，排除；
C. 可以都是正数：两个正数相加和一定为正数，不可能是负数，错误，排除；
D. 至少有一个是负数：若两个数都不是负数，和必然≥0，不可能为负，因此和为负时至少有一个负数，正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数的加法法则
【点评】
本题需要结合有理数加法的不同情况分类讨论，注意不要遗漏加数为0的情况，用举反例排除错误选项是这类概念题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
解题时可先结合有理数加法法则，列举出和为负数的所有加数组合，再通过举反例逐一排除错误选项；也可通过反证法推导：若两个数都不是负数（即均为正数或0），则和一定是非负数，不可能为负数，反向推导即可得到正确结论。
【解析】
我们先梳理和为负数的几种加数情况：
1. 两个负数相加，和为负数，例：$(-2)+(-3)=-5$；
2. 一正一负相加，若负数的绝对值大于正数的绝对值，和为负数，例：$(-5)+2=-3$；
3. 负数和0相加，和为负数，例：$(-4)+0=-4$。
逐一分析选项：
A. 必定都为负数：反例$(-5)+2=-3$是一正一负相加和为负，错误，排除；
B. 总是一正一负：反例$(-2)+(-3)=-5$是两个负数相加和为负，错误，排除；
C. 可以都是正数：两个正数相加和一定为正数，不可能是负数，错误，排除；
D. 至少有一个是负数：若两个数都不是负数，和必然≥0，不可能为负，因此和为负时至少有一个负数，正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数的加法法则
【点评】
本题需要结合有理数加法的不同情况分类讨论，注意不要遗漏加数为0的情况，用举反例排除错误选项是这类概念题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
2. 如果$△ + 2020 = 0$，那么$△$表示的数是
-2 020
。答案
2.-2 020
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：一是利用加法运算各部分的关系，加法中一个加数等于和减去另一个加数，已知和为0，其中一个加数是2020，代入计算即可求出△的值；二是利用相反数的性质，互为相反数的两个数相加和为0，由此可直接判断△是2020的相反数。
【解析】
方法一：根据加法各部分的关系：一个加数=和-另一个加数，可得
$△ = 0 - 2020 = -2020$
方法二：因为互为相反数的两个数相加和为0，2020的相反数是$-2020$，因此$△ = -2020$。
【答案】
$-2020$
【知识点】
相反数的性质、有理数减法运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查有理数的基础运算及相反数的相关概念，掌握核心概念和运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.95
解题可以从两个思路入手：一是利用加法运算各部分的关系，加法中一个加数等于和减去另一个加数，已知和为0，其中一个加数是2020，代入计算即可求出△的值；二是利用相反数的性质，互为相反数的两个数相加和为0，由此可直接判断△是2020的相反数。
【解析】
方法一：根据加法各部分的关系：一个加数=和-另一个加数，可得
$△ = 0 - 2020 = -2020$
方法二：因为互为相反数的两个数相加和为0，2020的相反数是$-2020$，因此$△ = -2020$。
【答案】
$-2020$
【知识点】
相反数的性质、有理数减法运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查有理数的基础运算及相反数的相关概念，掌握核心概念和运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.95
3. 中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法。图2-2-1①表示的是计算－4＋3＝－1的过程。按照这种方法图2-2-1②表示的算式是
-2+4=2
。答案
3.-2+4=2
解析
【分析】
首先从已知的图①的计算过程总结运算规则：观察图①计算$-4+3=-1$的过程，可得出虚线算筹表示负数，每根虚线代表$-1$，实线算筹表示正数，每根实线代表$+1$；计算时1根虚线和1根实线相互抵消（即$+1$与$-1$相加得0），最终剩余的算筹对应的数就是运算结果。接下来将规则应用到图②：先数出图②中虚线、实线算筹的数量，得到两个加数，再看抵消后剩余的算筹得到结果，即可写出对应的算式。
【解析】
解：由图①计算$-4+3=-1$的过程，可明确运算规则：
1. 每根虚线算筹代表$-1$，每根实线算筹代表$+1$；
2. 运算时1根虚线和1根实线可相互抵消（和为0），剩余算筹对应的数为最终结果。
观察图②：
虚线算筹共2根，对应加数为$-2$；实线算筹共4根，对应加数为$+4$；
2根虚线和2根实线抵消后，剩余$4-2=2$根实线，对应结果为$+2$；
因此图②表示的算式为$-2+4=2$。
【答案】
$-2+4=2$
【知识点】
正负数的意义、有理数加法运算
【点评】
本题结合中国古代“正负术”的数学文化考查有理数的加法运算，需要先从示例中归纳运算规则，再迁移规则解决新问题，既考查了对有理数加法的理解，也锻炼了规则归纳与应用的能力。
【难度系数】
0.7
首先从已知的图①的计算过程总结运算规则：观察图①计算$-4+3=-1$的过程，可得出虚线算筹表示负数，每根虚线代表$-1$，实线算筹表示正数，每根实线代表$+1$；计算时1根虚线和1根实线相互抵消（即$+1$与$-1$相加得0），最终剩余的算筹对应的数就是运算结果。接下来将规则应用到图②：先数出图②中虚线、实线算筹的数量，得到两个加数，再看抵消后剩余的算筹得到结果，即可写出对应的算式。
【解析】
解：由图①计算$-4+3=-1$的过程，可明确运算规则：
1. 每根虚线算筹代表$-1$，每根实线算筹代表$+1$；
2. 运算时1根虚线和1根实线可相互抵消（和为0），剩余算筹对应的数为最终结果。
观察图②：
虚线算筹共2根，对应加数为$-2$；实线算筹共4根，对应加数为$+4$；
2根虚线和2根实线抵消后，剩余$4-2=2$根实线，对应结果为$+2$；
因此图②表示的算式为$-2+4=2$。
【答案】
$-2+4=2$
【知识点】
正负数的意义、有理数加法运算
【点评】
本题结合中国古代“正负术”的数学文化考查有理数的加法运算，需要先从示例中归纳运算规则，再迁移规则解决新问题，既考查了对有理数加法的理解，也锻炼了规则归纳与应用的能力。
【难度系数】
0.7
4. 若x的相反数是2，|y|=5，则x+y的值为
3或－7
。答案
4.3或－7
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，根据相反数的定义求出x的值；第二步，根据绝对值的性质求出y的所有可能取值，注意绝对值为正数的数有正负两个，不能漏解；第三步，将x的值分别和y的两个取值相加，计算出x+y的所有结果。
【解析】
1. 求x的值：
因为x的相反数是2，根据相反数的定义，可得x = -2。
2. 求y的可能值：
因为|y|=5，根据绝对值的性质，绝对值等于5的数有两个，分别是5和-5，即y=5或y=-5。
3. 分情况计算x+y：
① 当y=5时，x+y = -2 + 5 = 3；
② 当y=-5时，x+y = -2 + (-5) = -7。
综上，x+y的值为3或-7。
【答案】
3或－7
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；有理数加法运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题，重点考查对相反数、绝对值概念的理解，解题时需要注意绝对值对应的数存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：第一步，根据相反数的定义求出x的值；第二步，根据绝对值的性质求出y的所有可能取值，注意绝对值为正数的数有正负两个，不能漏解；第三步，将x的值分别和y的两个取值相加，计算出x+y的所有结果。
【解析】
1. 求x的值：
因为x的相反数是2，根据相反数的定义，可得x = -2。
2. 求y的可能值：
因为|y|=5，根据绝对值的性质，绝对值等于5的数有两个，分别是5和-5，即y=5或y=-5。
3. 分情况计算x+y：
① 当y=5时，x+y = -2 + 5 = 3；
② 当y=-5时，x+y = -2 + (-5) = -7。
综上，x+y的值为3或-7。
【答案】
3或－7
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；有理数加法运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题，重点考查对相反数、绝对值概念的理解，解题时需要注意绝对值对应的数存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5. 设$[x]$表示不超过$x$的最大整数,如:$[1.99]=1,[-1.02]=-2$,则$[-1.8]+[3.2]=$
1
。答案
5.1
解析
【分析】
首先明确题目中新定义的取整符号$[x]$的含义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数。解题时分两步完成：第一步分别计算$[-1.8]$和$[3.2]$的取值，第二步对两个取值做有理数加法运算即可得到结果。注意计算负数的取整时，要找比该负数更小的最大整数，避免误将$[-1.8]$算成$-1$。
【解析】
根据取整符号的定义：
1. 求$[-1.8]$：不超过$-1.8$的最大整数是$-2$，因此$[-1.8]=-2$；
2. 求$[3.2]$：不超过$3.2$的最大整数是$3$，因此$[3.2]=3$；
3. 计算和：$[-1.8]+[3.2]=-2+3=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，有理数加减运算
【点评】
本题核心是准确理解新定义的取整规则，重点注意负数取整的判断，结合基础的有理数加减运算即可求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先明确题目中新定义的取整符号$[x]$的含义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数。解题时分两步完成：第一步分别计算$[-1.8]$和$[3.2]$的取值，第二步对两个取值做有理数加法运算即可得到结果。注意计算负数的取整时，要找比该负数更小的最大整数，避免误将$[-1.8]$算成$-1$。
【解析】
根据取整符号的定义：
1. 求$[-1.8]$：不超过$-1.8$的最大整数是$-2$，因此$[-1.8]=-2$；
2. 求$[3.2]$：不超过$3.2$的最大整数是$3$，因此$[3.2]=3$；
3. 计算和：$[-1.8]+[3.2]=-2+3=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，有理数加减运算
【点评】
本题核心是准确理解新定义的取整规则，重点注意负数取整的判断，结合基础的有理数加减运算即可求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6. 计算：
(1)$(-11)+0$；
(2)$(-6)+(-7)$；
(3)$51+(-25)$；
(4)$(-12)+5$；
(5)$(-1.1)+(-2.9)$；
(6)$(-\frac{4}{5})+\frac{2}{3}$。
(1)$(-11)+0$；
(2)$(-6)+(-7)$；
(3)$51+(-25)$；
(4)$(-12)+5$；
(5)$(-1.1)+(-2.9)$；
(6)$(-\frac{4}{5})+\frac{2}{3}$。
答案
6. 解:(1)$(-11)+0=-11$；
(2)$(-6)+(-7)=-(6+7)=-13$；
(3)$51+(-25)=+(51-25)=26$；
(4)$(-12)+5=-(12-5)=-7$；
(5)$(-1.1)+(-2.9)=-(1.1+2.9)=-4$；
(6)$(-\frac{4}{5})+\frac{2}{3}=(-\frac{12}{15})+\frac{10}{15}=-(\frac{12}{15}-\frac{10}{15})=-\frac{2}{15}$。
(2)$(-6)+(-7)=-(6+7)=-13$；
(3)$51+(-25)=+(51-25)=26$；
(4)$(-12)+5=-(12-5)=-7$；
(5)$(-1.1)+(-2.9)=-(1.1+2.9)=-4$；
(6)$(-\frac{4}{5})+\frac{2}{3}=(-\frac{12}{15})+\frac{10}{15}=-(\frac{12}{15}-\frac{10}{15})=-\frac{2}{15}$。
解析
【分析】
这道题考查有理数的加法运算，解题时先判断每道小题对应的加法类型，再选用对应的法则计算：①任何数与0相加仍得这个数；②同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加；③异号两数相加，先比较两个数的绝对值大小，取绝对值更大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；异分母分数相加时要先通分化为同分母分数再计算。
【解析】
(1) 根据“一个数与0相加仍得这个数”，可得：$(-11)+0=-11$；
(2) 属于同号两数相加，取负号，再把绝对值相加：$(-6)+(-7)=-(6+7)=-13$；
(3) 属于异号两数相加，51的绝对值更大，取正号，用较大绝对值减较小绝对值：$51+(-25)=+(51-25)=26$；
(4) 属于异号两数相加，-12的绝对值更大，取负号，用较大绝对值减较小绝对值：$(-12)+5=-(12-5)=-7$；
(5) 属于同号两数相加，取负号，再把绝对值相加：$(-1.1)+(-2.9)=-(1.1+2.9)=-4$；
(6) 属于异号异分母分数相加，先通分转化为同分母分数，再按异号加法规则计算：$(-\frac{4}{5})+\frac{2}{3}=(-\frac{12}{15})+\frac{10}{15}=-(\frac{12}{15}-\frac{10}{15})=-\frac{2}{15}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-11}$；(2) $\boldsymbol{-13}$；(3) $\boldsymbol{26}$；(4) $\boldsymbol{-7}$；(5) $\boldsymbol{-4}$；(6) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{15}}$
【知识点】
有理数加法法则，异分母分数通分
【点评】
本题是有理数加法的基础训练题，覆盖了有理数加法的所有常见类型，能有效帮助学习者熟练掌握有理数加法的运算规则，是后续学习有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
这道题考查有理数的加法运算，解题时先判断每道小题对应的加法类型，再选用对应的法则计算：①任何数与0相加仍得这个数；②同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加；③异号两数相加，先比较两个数的绝对值大小，取绝对值更大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；异分母分数相加时要先通分化为同分母分数再计算。
【解析】
(1) 根据“一个数与0相加仍得这个数”，可得：$(-11)+0=-11$；
(2) 属于同号两数相加，取负号，再把绝对值相加：$(-6)+(-7)=-(6+7)=-13$；
(3) 属于异号两数相加，51的绝对值更大，取正号，用较大绝对值减较小绝对值：$51+(-25)=+(51-25)=26$；
(4) 属于异号两数相加，-12的绝对值更大，取负号，用较大绝对值减较小绝对值：$(-12)+5=-(12-5)=-7$；
(5) 属于同号两数相加，取负号，再把绝对值相加：$(-1.1)+(-2.9)=-(1.1+2.9)=-4$；
(6) 属于异号异分母分数相加，先通分转化为同分母分数，再按异号加法规则计算：$(-\frac{4}{5})+\frac{2}{3}=(-\frac{12}{15})+\frac{10}{15}=-(\frac{12}{15}-\frac{10}{15})=-\frac{2}{15}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-11}$；(2) $\boldsymbol{-13}$；(3) $\boldsymbol{26}$；(4) $\boldsymbol{-7}$；(5) $\boldsymbol{-4}$；(6) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{15}}$
【知识点】
有理数加法法则，异分母分数通分
【点评】
本题是有理数加法的基础训练题，覆盖了有理数加法的所有常见类型，能有效帮助学习者熟练掌握有理数加法的运算规则，是后续学习有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
7. 小明在一条南北走向的街道上，先向南走了30 m，然后又向北走了50 m，你能确定他现在位于原出发位置的哪个方向吗？与原出发位置相距多少米？
答案
7. 解:小明先向南走了30 m,实际是向北走了－30 m,然后又向北走了50 m,所以他现在位于原出发位置的北边,与原出发位置相距$50+(-30)=20(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
南北是具有相反意义的方向，我们可以先规定正方向，通常选向北为正方向，那么向南就对应负方向，这样就能把两次行走的路程用正负数表示出来，再通过有理数加法运算，根据结果的正负判断所在方向，结果的绝对值就是和原出发位置的距离。
【解析】
我们规定向北为正方向，那么向南走30m就相当于向北走了-30m，已知随后又向北走了50m，将两次的路程相加可得到最终相对原位置的位置：
$50+(-30)=20(\mathrm{m})$
计算结果为正，说明在原出发位置的北侧，结果的绝对值20就是和原位置的距离。
【答案】
现在位于原出发位置的北边，与原出发位置相距20米。
【知识点】
相反意义的量；有理数的加法运算
【点评】
本题是有理数运算在实际生活中的基础应用，解题核心是先将相反方向的运动转化为带正负符号的数值，再通过加法运算得到最终位置，方法明确，属于易掌握的题型。
【难度系数】
0.8
南北是具有相反意义的方向，我们可以先规定正方向，通常选向北为正方向，那么向南就对应负方向，这样就能把两次行走的路程用正负数表示出来，再通过有理数加法运算，根据结果的正负判断所在方向，结果的绝对值就是和原出发位置的距离。
【解析】
我们规定向北为正方向，那么向南走30m就相当于向北走了-30m，已知随后又向北走了50m，将两次的路程相加可得到最终相对原位置的位置：
$50+(-30)=20(\mathrm{m})$
计算结果为正，说明在原出发位置的北侧，结果的绝对值20就是和原位置的距离。
【答案】
现在位于原出发位置的北边，与原出发位置相距20米。
【知识点】
相反意义的量；有理数的加法运算
【点评】
本题是有理数运算在实际生活中的基础应用，解题核心是先将相反方向的运动转化为带正负符号的数值，再通过加法运算得到最终位置，方法明确，属于易掌握的题型。
【难度系数】
0.8
