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9. 在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C。
(1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数。
(2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的点？
(1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数。
(2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的点？
答案
9. 解:(1)如答图 2-1-5，
点 A 表示的数是 4，点 B 表示的数是 6，点 C 表示的数是-4。(2)点 C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了 4 个单位长度到达的点。
解析
【分析】
(1) 要确定数轴上点表示的数，首先明确原点表示数0，数轴上向右移动对应数值增加，向左移动对应数值减少。我们可以根据蚂蚁的移动过程逐步计算A、B、C三点对应的数，再对应数轴标注位置即可。
(2) 数轴上原点左侧的点对应负数，点到原点的距离等于对应数的绝对值，结合C点表示的数即可判断从原点出发的移动方向和长度。
【解析】
(1) 蚂蚁从表示数0的原点出发：
① 向右爬4个单位长度到A点，A点表示的数为：$0+4=4$；
② 从A点再向右爬2个单位长度到B点，B点表示的数为：$4+2=6$；
③ 从B点向左爬10个单位长度到C点，C点表示的数为：$6-10=-4$。
A、B、C三点在数轴上的位置如答图：
(2) 点C表示的数是-4，说明该点在原点左侧，到原点的距离为4个单位长度，因此点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度到达的点。
【答案】
(1) 点A表示的数是4，点B表示的数是6，点C表示的数是-4；
(2) 向左爬了4个单位长度。
【知识点】
数轴的认识，有理数的加减运算，正负数的意义
【点评】
本题结合实际移动场景考查数轴上点的变化规律，解题核心是掌握数轴上“向右移动加、向左移动减”的计算规则，能直观理解数轴上的点和有理数的对应关系。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定数轴上点表示的数，首先明确原点表示数0，数轴上向右移动对应数值增加，向左移动对应数值减少。我们可以根据蚂蚁的移动过程逐步计算A、B、C三点对应的数，再对应数轴标注位置即可。
(2) 数轴上原点左侧的点对应负数，点到原点的距离等于对应数的绝对值，结合C点表示的数即可判断从原点出发的移动方向和长度。
【解析】
(1) 蚂蚁从表示数0的原点出发：
① 向右爬4个单位长度到A点，A点表示的数为：$0+4=4$；
② 从A点再向右爬2个单位长度到B点，B点表示的数为：$4+2=6$；
③ 从B点向左爬10个单位长度到C点，C点表示的数为：$6-10=-4$。
A、B、C三点在数轴上的位置如答图：
(2) 点C表示的数是-4，说明该点在原点左侧，到原点的距离为4个单位长度，因此点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度到达的点。
【答案】
(1)
点A表示的数是4，点B表示的数是6，点C表示的数是-4；(2) 向左爬了4个单位长度。
【知识点】
数轴的认识，有理数的加减运算，正负数的意义
【点评】
本题结合实际移动场景考查数轴上点的变化规律，解题核心是掌握数轴上“向右移动加、向左移动减”的计算规则，能直观理解数轴上的点和有理数的对应关系。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
10. 定义:数轴上有两点 A,B,如果在数轴上存在一点 C,使得线段 AC 的长度与线段 BC 的长度相等,那么我们称点 C 为线段 AB 的“和谐点”。
(1)若数轴上 A,B 两点表示的数分别为2,6,则线段 AB 的“和谐点”表示的数为
(2)数轴上有三点 A,B,C,点 A 表示的数为3,点 C 表示的数为-1,若点 C 为线段 AB 的“和谐点”,则点 B 表示的数为
(3)数轴上点 A 表示的数为2,线段 AB 的长度为8,点 C 为线段 AB 的“和谐点”,求点 C 表示的数。
10. 定义:数轴上有两点 A,B,如果在数轴上存在一点 C,使得线段 AC 的长度与线段 BC 的长度相等,那么我们称点 C 为线段 AB 的“和谐点”。
(1)若数轴上 A,B 两点表示的数分别为2,6,则线段 AB 的“和谐点”表示的数为
4
;(2)数轴上有三点 A,B,C,点 A 表示的数为3,点 C 表示的数为-1,若点 C 为线段 AB 的“和谐点”,则点 B 表示的数为
-5
;(3)数轴上点 A 表示的数为2,线段 AB 的长度为8,点 C 为线段 AB 的“和谐点”,求点 C 表示的数。
答案
10. 解:(1)4 (2)-5
(3)当点 B 在点 A 的右侧时,点 C 表示的数为 2+4=6；
当点 B 在点 A 的左侧时,点 C 表示的数为 2-4=-2。
综上所述,点 C 表示的数为 6 或-2。
(3)当点 B 在点 A 的右侧时,点 C 表示的数为 2+4=6；
当点 B 在点 A 的左侧时,点 C 表示的数为 2-4=-2。
综上所述,点 C 表示的数为 6 或-2。
解析
【分析】首先明确“和谐点”的本质是线段AB的中点，即到A、B两点距离相等的点，数轴上两点的中点对应的数等于两点所对应数的平均数。(1)已知A、B表示的数，直接代入中点公式计算即可；(2)已知A和中点C的数，利用中点公式逆向计算即可求出B对应的数；(3)已知A的数和AB的长度，B的位置有两种可能（在A左侧或右侧），需先分类求出B对应的数，再分别计算中点C对应的数。
【解析】根据题意，“和谐点”C是线段AB的中点，若A表示数a，B表示数b，则C表示的数为$\frac{a+b}{2}$。
(1) 已知A表示2，B表示6，所以和谐点C表示的数为$\frac{2+6}{2}=4$；
(2) 设点B表示的数为x，已知A表示3，C（中点）表示-1，代入中点公式得：$\frac{3+x}{2}=-1$，解得$x=-2×1 -3=-5$；
(3) 已知点A表示的数为2，AB长度为8：
① 当点B在点A右侧时，点B表示的数为$2+8=10$，则和谐点C表示的数为$\frac{2+10}{2}=6$；
② 当点B在点A左侧时，点B表示的数为$2-8=-6$，则和谐点C表示的数为$\frac{2+(-6)}{2}=-2$。
综上，点C表示的数为6或-2。
【答案】(1)4；(2)-5；(3)6或-2
【知识点】数轴中点计算；数轴两点距离；分类讨论
【点评】本题属于新定义题型，解题核心是先将新定义的“和谐点”转化为已学的线段中点概念，再结合数轴的相关性质计算。第三问需注意线段AB的位置未明确，要分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】0.7
【解析】根据题意，“和谐点”C是线段AB的中点，若A表示数a，B表示数b，则C表示的数为$\frac{a+b}{2}$。
(1) 已知A表示2，B表示6，所以和谐点C表示的数为$\frac{2+6}{2}=4$；
(2) 设点B表示的数为x，已知A表示3，C（中点）表示-1，代入中点公式得：$\frac{3+x}{2}=-1$，解得$x=-2×1 -3=-5$；
(3) 已知点A表示的数为2，AB长度为8：
① 当点B在点A右侧时，点B表示的数为$2+8=10$，则和谐点C表示的数为$\frac{2+10}{2}=6$；
② 当点B在点A左侧时，点B表示的数为$2-8=-6$，则和谐点C表示的数为$\frac{2+(-6)}{2}=-2$。
综上，点C表示的数为6或-2。
【答案】(1)4；(2)-5；(3)6或-2
【知识点】数轴中点计算；数轴两点距离；分类讨论
【点评】本题属于新定义题型，解题核心是先将新定义的“和谐点”转化为已学的线段中点概念，再结合数轴的相关性质计算。第三问需注意线段AB的位置未明确，要分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】0.7
11. 阅读理解:数轴上表示有理数的点到原点(有理数0表示的点)的距离,叫作这个有理数的绝对值。例如：$|2|=|2-0|$，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离,从数轴上容易发现,表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度,即$|2|=|2-0|=2$(如图2-1-6①)。同样地,数轴上表示有理数$m$和表示有理数$n$的两个点之间的距离可以用$|m-n|$来表示。例如:数轴上表示$-3$的点到表示2的点的距离用$|-3-2|$表示,从数轴上容易发现,表示$-3$的点到表示2的点的距离是5个单位长度,即$|-3-2|=5$(如图2-1-6②)。
以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法。请你根据以上学到的方法完成下列任务。
【任务一】请根据以上阅读计算:
若点A表示$-2$,点B表示1,则A,B两点的距离是
【任务二】根据绝对值的意义求字母的值:
若$|x-3|=4$,求$x$所表示的有理数。根据绝对值的意义,“$|x-3|=4$”指数轴上表示$x$的点到表示3的点的距离是4个单位长度,$x$表示的有理数是
【任务三】设点P在数轴上表示的有理数是$x$,借助数轴(如图2-1-7)探索:
$|x-4|+|x+1|$的最小值是
以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法。请你根据以上学到的方法完成下列任务。
【任务一】请根据以上阅读计算:
若点A表示$-2$,点B表示1,则A,B两点的距离是
3
。【任务二】根据绝对值的意义求字母的值:
若$|x-3|=4$,求$x$所表示的有理数。根据绝对值的意义,“$|x-3|=4$”指数轴上表示$x$的点到表示3的点的距离是4个单位长度,$x$表示的有理数是
7或-1
。【任务三】设点P在数轴上表示的有理数是$x$,借助数轴(如图2-1-7)探索:
$|x-4|+|x+1|$的最小值是
5
。答案
11.【任务一】 3 【任务二】 7 或-1 【任务三】 5
解析
【分析】
本题围绕绝对值的几何意义展开，解题核心是理解“|m-n|表示数轴上表示m、n的两点间的距离”：
1. 任务一直接套用材料给出的两点距离公式计算即可；
2. 任务二已知两点距离求未知点，需考虑未知点在已知点左侧、右侧两种情况，避免漏解；
3. 任务三求两个距离之和的最小值，结合数轴分析可知，当动点x落在两个定点之间时，距离和恰好等于两个定点的距离，此时和最小。
【解析】
【任务一】
根据数轴上两点距离公式，点A（-2）和点B（1）的距离为：$\left|-2-1\right|=\left|-3\right|=3$。
【任务二】
$\left|x-3\right|=4$表示数轴上x对应的点到3对应的点的距离为4：
若x在3的右侧，则$x=3+4=7$；
若x在3的左侧，则$x=3-4=-1$；
因此x表示的有理数是7或-1。
【任务三】
$\left|x-4\right|$表示数轴上x对应的点到4对应的点的距离，$\left|x+1\right|=\left|x-(-1)\right|$表示数轴上x对应的点到-1对应的点的距离；
当x落在-1和4之间（包含端点）时，两个距离的和恰好等于4和-1两点间的距离，此时和最小，计算得最小值为：$\left|4-(-1)\right|=5$。
【答案】
【任务一】3；【任务二】7或-1；【任务三】5
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，数形结合思想
【点评】
本题属于材料阅读类题型，需要先准确提取材料中给出的绝对值几何含义，再结合数轴分析求解，能有效考查信息提取能力和几何分析能力，解题时注意任务二不要漏解，任务三借助数轴可快速直观得出结论。
【难度系数】
0.7
本题围绕绝对值的几何意义展开，解题核心是理解“|m-n|表示数轴上表示m、n的两点间的距离”：
1. 任务一直接套用材料给出的两点距离公式计算即可；
2. 任务二已知两点距离求未知点，需考虑未知点在已知点左侧、右侧两种情况，避免漏解；
3. 任务三求两个距离之和的最小值，结合数轴分析可知，当动点x落在两个定点之间时，距离和恰好等于两个定点的距离，此时和最小。
【解析】
【任务一】
根据数轴上两点距离公式，点A（-2）和点B（1）的距离为：$\left|-2-1\right|=\left|-3\right|=3$。
【任务二】
$\left|x-3\right|=4$表示数轴上x对应的点到3对应的点的距离为4：
若x在3的右侧，则$x=3+4=7$；
若x在3的左侧，则$x=3-4=-1$；
因此x表示的有理数是7或-1。
【任务三】
$\left|x-4\right|$表示数轴上x对应的点到4对应的点的距离，$\left|x+1\right|=\left|x-(-1)\right|$表示数轴上x对应的点到-1对应的点的距离；
当x落在-1和4之间（包含端点）时，两个距离的和恰好等于4和-1两点间的距离，此时和最小，计算得最小值为：$\left|4-(-1)\right|=5$。
【答案】
【任务一】3；【任务二】7或-1；【任务三】5
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，数形结合思想
【点评】
本题属于材料阅读类题型，需要先准确提取材料中给出的绝对值几何含义，再结合数轴分析求解，能有效考查信息提取能力和几何分析能力，解题时注意任务二不要漏解，任务三借助数轴可快速直观得出结论。
【难度系数】
0.7
