登录
11. [2026 临汾月考]在数学课上,老师将一长方形纸片的长增加$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,宽增加$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,就成了一个面积为$162\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片,则原长方形纸片的面积为（
A.$54\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$84\ \mathrm{cm}^2$
D.$88\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$54\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$84\ \mathrm{cm}^2$
D.$88\ \mathrm{cm}^2$
答案
因为一个面积为 162 cm²的正方形纸片,边长为 $\sqrt{162} =9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,所以原长方形的长为 $9\sqrt{2} -2\sqrt{2} =7\sqrt{2}(\mathrm{cm})$,宽为 $9\sqrt{2} -3\sqrt{2} =6\sqrt{2}(\mathrm{cm})$,所以原长方形纸片的面积为 $7\sqrt{2} ×6\sqrt{2} =84(\mathrm{cm}^2)$。
12. [2026 上海松江区期中] 化简二次根式 $ a\sqrt{-\dfrac{a+1}{a^2}} $ 的结果是
$-\sqrt{-a-1}$
。答案
由二次根式 $a \sqrt{-\dfrac{a+1}{a^2}}$ 有意义,可知 $-(a+1)≥0$ 且 $a≠0$,所以 $a≤ -1$,所以 $a \sqrt{-\dfrac{a+1}{a^2}} =a \dfrac{\sqrt{-(a+1)}}{\sqrt{a^2}} =a \dfrac{\sqrt{-(a+1)}}{-a} = -\sqrt{-a-1}$。
13. [2026上海徐汇区月考]已知$\sqrt{20n}$是整数，则满足条件的最小正整数n为
5
。答案
5
14. 教材 P46 思考·交流变式 一个三角形的三边长分别为$\sqrt{20}$ cm，$\sqrt{12}$ cm，$\sqrt{32}$ cm，求这个三角形的周长和面积。
答案
解:这个三角形的周长为 $\sqrt{20} + \sqrt{12} + \sqrt{32} = (2\sqrt{5} +2\sqrt{3} +4\sqrt{2})(\mathrm{cm})$。
因为 $(\sqrt{32})^2 = (\sqrt{20})^2 + (\sqrt{12})^2$,
所以这个三角形是直角三角形,
所以这个三角形的面积为 $\dfrac{1}{2} × \sqrt{12} × \sqrt{20} =2\sqrt{15}(\mathrm{cm}^2)$。
因为 $(\sqrt{32})^2 = (\sqrt{20})^2 + (\sqrt{12})^2$,
所以这个三角形是直角三角形,
所以这个三角形的面积为 $\dfrac{1}{2} × \sqrt{12} × \sqrt{20} =2\sqrt{15}(\mathrm{cm}^2)$。
15. 新情境 [2025 漳州闽南师大附中期中] 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及。据研究，高空抛物下落的时间$t$(单位:s)和高度$h$(单位:m)近似满足公式$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$（不考虑风速的影响，$g$取$10\ \mathrm{m/s}^2$）。
(1)求从40 m高空抛物到落地的时间。(结果保留根号)
(2)已知高空抛物动能(单位:J) = $10×$物体质量(单位:kg) $×$高度(单位:m)，某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出，经过4 s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由。(注:伤害无防护人体只需要65 J的动能)
(1)求从40 m高空抛物到落地的时间。(结果保留根号)
(2)已知高空抛物动能(单位:J) = $10×$物体质量(单位:kg) $×$高度(单位:m)，某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出，经过4 s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由。(注:伤害无防护人体只需要65 J的动能)
答案
解:(1)当 $h = 40$ 时, $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2×40}{10}} = 2\sqrt{2}$。
故从 40 m 高空抛物到落地的时间为 $2\sqrt{2}\ \mathrm{s}$。
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。理由如下:
当 $t = 4$ 时, $\sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2h}{10}} =4$, 解得 $h = 80$,
所以这个玩具产生的动能为 $10× 0.2 × 80 = 160(\mathrm{J})$。
因为 $160 ＞ 65$,
所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。
故从 40 m 高空抛物到落地的时间为 $2\sqrt{2}\ \mathrm{s}$。
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。理由如下:
当 $t = 4$ 时, $\sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2h}{10}} =4$, 解得 $h = 80$,
所以这个玩具产生的动能为 $10× 0.2 × 80 = 160(\mathrm{J})$。
因为 $160 ＞ 65$,
所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。
16. 嘉琪准备完成题目“计算：$\sqrt{48} - \blacksquare \sqrt{\dfrac{1}{8}} - (3\sqrt{\dfrac{1}{3}} - 4\sqrt{0.5})$”时，发现“$\blacksquare$”处的数字印刷不清楚。
（1）他把“$\blacksquare$”处的数字猜成4，请你计算$\sqrt{48} - 4\sqrt{\dfrac{1}{8}} - (3\sqrt{\dfrac{1}{3}} - 4\sqrt{0.5})$的结果。
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是$3\sqrt{3}$。”通过计算说明题目中的“$\blacksquare$”处的数字是几。
（1）他把“$\blacksquare$”处的数字猜成4，请你计算$\sqrt{48} - 4\sqrt{\dfrac{1}{8}} - (3\sqrt{\dfrac{1}{3}} - 4\sqrt{0.5})$的结果。
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是$3\sqrt{3}$。”通过计算说明题目中的“$\blacksquare$”处的数字是几。
答案
解:(1) $\sqrt{48} -4\sqrt{\dfrac{1}{8}} -(3\sqrt{\dfrac{1}{3}} -4\sqrt{0.5})$
$=4\sqrt{3} -4 × \dfrac{\sqrt{2}}{4} -3 × \dfrac{\sqrt{3}}{3} +4 × \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=3\sqrt{3} +\sqrt{2}$。
(2)设“■”处的数字为 $a$,则
$\sqrt{48} -a\sqrt{\dfrac{1}{8}} -(3\sqrt{\dfrac{1}{3}} -4\sqrt{0.5})$
$=4\sqrt{3} -a × \dfrac{\sqrt{2}}{4} -3 × \dfrac{\sqrt{3}}{3} +4 × \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=4\sqrt{3} -\dfrac{\sqrt{2}a}{4} -\sqrt{3} +2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3} +(2 - \dfrac{a}{4})\sqrt{2}$。
因为这个题的正确答案是 $3\sqrt{3}$,所以 $2 - \dfrac{a}{4} =0$,
解得 $a =8$,即“■”处的数字是 8。
$=4\sqrt{3} -4 × \dfrac{\sqrt{2}}{4} -3 × \dfrac{\sqrt{3}}{3} +4 × \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=3\sqrt{3} +\sqrt{2}$。
(2)设“■”处的数字为 $a$,则
$\sqrt{48} -a\sqrt{\dfrac{1}{8}} -(3\sqrt{\dfrac{1}{3}} -4\sqrt{0.5})$
$=4\sqrt{3} -a × \dfrac{\sqrt{2}}{4} -3 × \dfrac{\sqrt{3}}{3} +4 × \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=4\sqrt{3} -\dfrac{\sqrt{2}a}{4} -\sqrt{3} +2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3} +(2 - \dfrac{a}{4})\sqrt{2}$。
因为这个题的正确答案是 $3\sqrt{3}$,所以 $2 - \dfrac{a}{4} =0$,
解得 $a =8$,即“■”处的数字是 8。
