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9. 已知方程组$\begin{cases}2x + y = 5, \\x + 2y = 4,\end{cases}$则$x^2 - y^2 =$ ______ .
答案
9. 3
【点拨】本题考查二元一次方程组的解,平方差公式的应用,解题的关键是数学整体思想的应用.
【解析】$\begin{cases} 2x+y=5①, \\ x+2y=4②, \end{cases}$①+②得,3x+3y=9,
∴x+y=3,①-②得,x-y=1,
∴$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=3×1=3$.故答案为3.
【点拨】本题考查二元一次方程组的解,平方差公式的应用,解题的关键是数学整体思想的应用.
【解析】$\begin{cases} 2x+y=5①, \\ x+2y=4②, \end{cases}$①+②得,3x+3y=9,
∴x+y=3,①-②得,x-y=1,
∴$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=3×1=3$.故答案为3.
10. 已知$4x + y = 1$，且$-1 ＜ x ≤ 2$，那么$y$的取值范围为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
10. $-7≤ y＜5$
【点拨】本题考查不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
【解析】
∵4x+y=1,
∴$x=\frac{1-y}{4}$.又
∵-1＜x≤2,
∴$-1＜\frac{1-y}{4}≤2$,解得$-7≤ y＜5$,
∴y的取值范围为$-7≤ y＜5$.故答案为$-7≤ y＜5$.
【点拨】本题考查不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
【解析】
∵4x+y=1,
∴$x=\frac{1-y}{4}$.又
∵-1＜x≤2,
∴$-1＜\frac{1-y}{4}≤2$,解得$-7≤ y＜5$,
∴y的取值范围为$-7≤ y＜5$.故答案为$-7≤ y＜5$.
11. 点A,B在数轴上的位置如图所示,若点A,B表示的数分别是$2x-1$,$3-2x$,则x的取值范围为
$\frac{1}{2}＜x＜1$
.答案
11. $\frac{1}{2}＜x＜1$
【点拨】本题考查解一元一次不等式组及数轴,能够根据数轴正确列出一元一次不等式组是解题的关键.
【解析】由数轴可得$\begin{cases} 2x-1＞0, \\ 3-2x＞2x-1, \end{cases}$解得$\frac{1}{2}＜x＜1$.故答案为$\frac{1}{2}＜x＜1$.
【点拨】本题考查解一元一次不等式组及数轴,能够根据数轴正确列出一元一次不等式组是解题的关键.
【解析】由数轴可得$\begin{cases} 2x-1＞0, \\ 3-2x＞2x-1, \end{cases}$解得$\frac{1}{2}＜x＜1$.故答案为$\frac{1}{2}＜x＜1$.
12. 如果关于$ x $的不等式$ 3x - a ≤ 0 $只有3个正整数解，则$ a $的取值范围是
$9≤ a＜12$
.答案
12. $9≤ a＜12$
【点拨】本题考查解一元一次不等式及整数解的确定,掌握不等式的基本性质是解题的关键.
【解析】3x-a≤0,解得$x≤\frac{a}{3}$.根据题意,得其正整数解为1,2,3,则$3≤\frac{a}{3}＜4$,解得$9≤ a＜12$.故答案为$9≤ a＜12$.
【点拨】本题考查解一元一次不等式及整数解的确定,掌握不等式的基本性质是解题的关键.
【解析】3x-a≤0,解得$x≤\frac{a}{3}$.根据题意,得其正整数解为1,2,3,则$3≤\frac{a}{3}＜4$,解得$9≤ a＜12$.故答案为$9≤ a＜12$.
13. 如图,在$△ ABC$中,$BE$是中线,点$D$在边$BC$上,$BD=3CD$,$AD$,$BE$相交于点$O$.若$△ BOD$的面积为
答案
13. $\frac{4}{3}$
【点拨】本题考查三角形的面积,正确得出各三角形面积之间的数量关系是解题的关键。
【解析】如题图,连接OC.
∵BD=3CD,
∴$S_{△ BOD}=3S_{△ COD}=6$,
∴$S_{△ COD}=2$.设$S_{△ AOE}=S$,
∵BE是中线,
∴$S_{△ COE}=S_{△ AOE}=S$,$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$,
∴$S_{△ AOB}+S_{△ AOE}=S_{△ BOD}+S_{△ COD}+S_{△ COE}$,即$S_{△ AOB}+S=6+2+S$,
∴$S_{△ AOB}=8$.
∵BD=3CD,
∴$S_{△ ABD}=3S_{△ ACD}$,即8+6=3(S+S+2),解得$S=\frac{4}{3}$,
∴△AOE的面积为$\frac{4}{3}$.故答案为$\frac{4}{3}$.
【点拨】本题考查三角形的面积,正确得出各三角形面积之间的数量关系是解题的关键。
【解析】如题图,连接OC.
∵BD=3CD,
∴$S_{△ BOD}=3S_{△ COD}=6$,
∴$S_{△ COD}=2$.设$S_{△ AOE}=S$,
∵BE是中线,
∴$S_{△ COE}=S_{△ AOE}=S$,$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$,
∴$S_{△ AOB}+S_{△ AOE}=S_{△ BOD}+S_{△ COD}+S_{△ COE}$,即$S_{△ AOB}+S=6+2+S$,
∴$S_{△ AOB}=8$.
∵BD=3CD,
∴$S_{△ ABD}=3S_{△ ACD}$,即8+6=3(S+S+2),解得$S=\frac{4}{3}$,
∴△AOE的面积为$\frac{4}{3}$.故答案为$\frac{4}{3}$.
6,则$△ AOE$的面积为________.
答案
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3$。
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=EC，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3$。
连接OC，
∵AE=EC，
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COE}$，设$S_{△ AOE}=a$，则$S_{△ COE}=a$。
∵BD=DC，
∴$S_{△ BOD}=S_{△ COD}$，设$S_{△ BOD}=b$，则$S_{△ COD}=b$。
由$S_{△ ADC}=3$得：$2a + b = 3$，
由$S_{△ CBE}=3$得：$a + 2b = 3$。
联立方程组：
$\begin{cases}2a + b = 3 \\ a + 2b = 3\end{cases}$
解得$a=1$。
∴△AOE的面积为$\boldsymbol{1}$。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3$。
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=EC，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3$。
连接OC，
∵AE=EC，
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COE}$，设$S_{△ AOE}=a$，则$S_{△ COE}=a$。
∵BD=DC，
∴$S_{△ BOD}=S_{△ COD}$，设$S_{△ BOD}=b$，则$S_{△ COD}=b$。
由$S_{△ ADC}=3$得：$2a + b = 3$，
由$S_{△ CBE}=3$得：$a + 2b = 3$。
联立方程组：
$\begin{cases}2a + b = 3 \\ a + 2b = 3\end{cases}$
解得$a=1$。
∴△AOE的面积为$\boldsymbol{1}$。
14. 若三角形的三边长分别为 $x - 2, x, x + 3$，则 $x$ 的取值范围是
$x＞5$
.答案
14. $x＞5$
【点拨】本题考查一元一次不等式组和三角形的三边关系,解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
【解析】由题意可得$\begin{cases} x-2+x＞x+3, \\ x-2+x+3＞x, \\ x+x+3＞x-2, \end{cases}$解得x＞5.故答案为x＞5.
【点拨】本题考查一元一次不等式组和三角形的三边关系,解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
【解析】由题意可得$\begin{cases} x-2+x＞x+3, \\ x-2+x+3＞x, \\ x+x+3＞x-2, \end{cases}$解得x＞5.故答案为x＞5.
15. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,过点$A$作$EF // BC$.若$∠ EAB=40°$,$∠ C=80°$,则$∠ ADC=$
$70°$
.答案
15. $70°$
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质和三角形的外角性质,熟练掌握以上性质是解题的关键.
【解析】
∵EF//BC,∠EAB=40°,∠C=80°,
∴∠B=40°,∠EAC=180°-80°=100°,
∴∠BAC=100°-40°=60°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=30°,
∴∠ADC=40°+30°=70°.故答案为70°.
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质和三角形的外角性质,熟练掌握以上性质是解题的关键.
【解析】
∵EF//BC,∠EAB=40°,∠C=80°,
∴∠B=40°,∠EAC=180°-80°=100°,
∴∠BAC=100°-40°=60°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=30°,
∴∠ADC=40°+30°=70°.故答案为70°.
16. 如图,已知直线$MN// PQ$,把$∠ C=30°$的直角三角板$ABC$的直角顶点$A$放在直线$MN$上,将直角三角板$ABC$在平面内绕点$A$任意转动,若在转动的过程中,直线$BC$与直线$PQ$的夹角为$60°$,则$∠ NAC$的度数为________.
答案
16. $30°$或$90°$或$150°$
【点拨】本题考查旋转变换、平行线的性质、三角形的外角性质,解题的关键是用分类讨论的思想思考问题.
【解析】分三种情况:①如图1,当∠2=60°时,
∵MN//PQ,
∴∠1=∠2=60°.
∵∠C=30°,∠1=∠NAC+∠C,
∴∠NAC=60°-30°=30°;
②如图2、图3,当∠2=60°时,
∵MN//PQ,
∴∠1=∠2=60°.
∵∠ACB=30°,
∴∠NAC=90°;
③如图4,当∠2=60°时,
∵MN//PQ,
∴∠1=∠2=60°.
∵∠ACB=30°,∠1=∠ACB+∠MAC,
∴∠MAC=60°-30°=30°,
∴∠NAC=180°-30°=150°.
综上所述,满足条件的∠NAC的度数为30°或90°或150°.故答案为30°或90°或150°.
三、解答题(本大题共 10 小题,共 68 分.解答应写出过程)
17. (8 分)解方程组.
(1)$\begin{cases} x + 2y = 0, \\ 3x + 4y = 6; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x - y + z = 10, \\ x + 2y - z = 6, \\ x + y + z = 12. \end{cases}$
17. (8 分)解方程组.
(1)$\begin{cases} x + 2y = 0, \\ 3x + 4y = 6; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x - y + z = 10, \\ x + 2y - z = 6, \\ x + y + z = 12. \end{cases}$
答案
17.
【点拨】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组,掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键.
【解析】(1)$\begin{cases} x+2y=0①, \\ 3x+4y=6②, \end{cases}$
②-①×2,得x=6,
将x=6代入①,得y=-3,
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=-3. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x-y+z=10①, \\ x+2y-z=6②, \\ x+y+z=12③, \end{cases}$
①+②,得4x+y=16④,
②+③,得2x+3y=18⑤,
⑤×2-④,得5y=20,解得y=4,
将y=4代入④,得x=3,
将x=3,y=4代入③,得z=5,
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=4, \\ z=5. \end{cases}$
【点拨】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组,掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键.
【解析】(1)$\begin{cases} x+2y=0①, \\ 3x+4y=6②, \end{cases}$
②-①×2,得x=6,
将x=6代入①,得y=-3,
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=-3. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x-y+z=10①, \\ x+2y-z=6②, \\ x+y+z=12③, \end{cases}$
①+②,得4x+y=16④,
②+③,得2x+3y=18⑤,
⑤×2-④,得5y=20,解得y=4,
将y=4代入④,得x=3,
将x=3,y=4代入③,得z=5,
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=4, \\ z=5. \end{cases}$
