1. 下列图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是().

1. B 【点拨】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义,根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可.
【解析】A. 既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意; B. 既是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意; C. 是轴对称图形,但不是中心对称图形,不符合题意; D. 是中心对称图形,但不是轴对称图形,不符合题意. 故选 B.

【分析】
要解决这道题，需先明确两个核心定义：①轴对称图形：存在一条直线，图形沿该直线对折后，直线两侧部分能完全重合；②中心对称图形：存在一个点，图形绕该点旋转180°后，能与原图形完全重合。接下来按定义逐个判断选项是否同时满足两个条件。
【解析】
选项A：既找不到使对折后重合的直线，旋转180°后也不与原图重合，因此既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求；
选项B：存在多条对称轴（如竖直、水平对称轴），沿对称轴对折后两侧完全重合；绕中心旋转180°后，图形与原图完全一致，因此既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求；
选项C：存在对称轴，对折后两侧重合，但旋转180°后图形方向改变，无法与原图重合，因此是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求；
选项D：绕中心旋转180°后与原图重合，但找不到使对折后重合的直线，因此是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，属于基础题型，需准确掌握两个定义并逐项判断图形特征。
【难度系数】
0.6

2. 下列各式,从左到右的变形是因式分解的是().

A.$a(a+2b)=a^2 + 2ab$
B.$4 - m^2 = (2 + m)(2 - m)$
C.$x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$
D.$x - 1 = x(1 - \dfrac{1}{x})$

2. B 【点拨】本题考查因式分解.
【解析】A. $a(a + 2b) = a^2 + 2ab$ 是整式乘法; B. $4 - m^2 = (2 + m)(2 - m)$是因式分解; C. $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$ 不是因式分解; D. $x - 1 = x(1 - \dfrac{1}{x}),\dfrac{1}{x}$是分式,不是因式分解. 故选 B.

【分析】首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，需满足三个核心条件：①变形对象是多项式；②结果是几个整式的积；③为恒等变形。接下来逐一分析选项：A选项是从整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不符合定义；B选项是多项式转化为两个整式的积，符合定义；C选项右边是和的形式，不是整式的积，不符合；D选项右边出现分式$\frac{1}{x}$，因式分解结果必须是整式的积，不符合，因此选B。
【解析】根据因式分解的定义（将多项式转化为几个整式的积的形式），逐一分析各选项：
选项A：$a(a+2b)=a^2 + 2ab$，是整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项B：$4 - m^2 = (2 + m)(2 - m)$，是多项式转化为两个整式的积，符合因式分解定义，属于因式分解；
选项C：$x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$，右边是和的形式，不是整式的积，不符合因式分解要求；
选项D：$x - 1 = x(1 - \frac{1}{x})$，右边出现分式$\frac{1}{x}$，因式分解结果必须是整式的积，不符合要求。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【点评】本题考查因式分解的核心概念，属于基础题型，需准确把握因式分解的本质（多项式化为整式的积），注意区分整式乘法与因式分解，以及结果不能包含分式等易错点，是巩固因式分解基础的典型题目。
【难度系数】0.8

3. 一元二次方程$x^2 - 6x - 1 = 0$配方后可变形为().

A.$(x - 3)^2 = 8$
B.$(x - 3)^2 = 10$
C.$(x + 3)^2 = 8$
D.$(x + 3)^2 = 10$

3. B 【点拨】本题考查用配方法解一元二次方程,解题时注意配方法的步骤和完全平方公式的正确应用.
【解析】$\because x^2 - 6x - 1 = 0,\therefore x^2 - 6x = 1,\therefore x^2 - 6x + 9 = 1 + 9$,
$\therefore (x - 3)^2 = 10$. 故选 B.

【分析】
要解决该一元二次方程的配方问题，需遵循配方法的核心思路：将方程左边变形为完全平方式，具体步骤为①移项，把常数项移到等号右侧；②配方，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧构成完全平方形式；③整理后匹配选项得出答案。
【解析】
对一元二次方程$x^2 - 6x - 1 = 0$配方：
1. 移项：将常数项$-1$移到等号右边，得$x^2 - 6x = 1$；
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2 = 9$，在等号两边同时加9，得$x^2 - 6x + 9 = 1 + 9$；
3. 变形整理：左侧根据完全平方公式化为$(x - 3)^2$，右侧计算得10，即$(x - 3)^2 = 10$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握“配方时需在方程两边加一次项系数一半的平方”这一关键步骤，属于初中数学一元二次方程模块的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

4. 下列关于特殊平行四边形的判定说法中,正确的是().

A.四个内角相等的四边形为矩形
B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
C.对角线相等的四边形为矩形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4. A 【点拨】本题考查正方形的判定,矩形的判定,平行四边形的判定,熟知以上特殊四边形的判定定理是解题的关键.
【解析】A. 四个内角相等的四边形是矩形,原说法正确,符合题意; B. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,原说法错误,不符合题意; C. 对角线相等的平行四边形为矩形,原说法错误,不符合题意; D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,原说法错误,不符合题意. 故选 A.

【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，解题思路是逐一分析每个选项，结合矩形、平行四边形、正方形的判定定理，判断每个说法的正误，从而选出正确选项。
【解析】逐个分析选项：
A. 四边形内角和为360°，若四个内角相等，则每个内角为90°，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可知该说法正确；
B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故该说法错误；
C. 对角线相等的平行四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形（如等腰梯形）不一定是矩形，故该说法错误；
D. 正方形的判定需对角线互相垂直、平分且相等，仅互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故该说法错误；综上，正确选项为A。
【答案】A
【知识点】矩形的判定、平行四边形的判定、正方形的判定
【点评】本题考查特殊平行四边形的判定，需准确掌握各类特殊四边形的判定定理，明确不同四边形判定条件的差异，属于基础题型，需牢记定理细节避免混淆。
【难度系数】0.7

5. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^2 - 2x + 3 = 0 $ 有两个实数根，则 $ k $ 的取值范围是( ).

A.$ k ＜ \dfrac{1}{3} $
B.$ k ≤ \dfrac{1}{3} $
C.$ k ＜ \dfrac{1}{3} $且 $ k ≠ 0 $
D.$ k ≤ \dfrac{1}{3} $且 $ k ≠ 0 $

5. D 【点拨】本题考查根的判别式,根据方程有两个实数根得出$\Delta≥0$,再由一元二次方程的定义得$k≠0$,找出$k$的取值范围即可.
【解析】$\because$ 关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 2x + 3 = 0$,$\therefore k≠0$. $\because$ 此方程有两个实数根,$\therefore \Delta = (-2)^2 - 4k × 3 ≥ 0$, 解得 $k≤ \dfrac{1}{3}$,
$\therefore k$的取值范围为$k≤ \dfrac{1}{3}$且$k≠0$. 故选 D.

【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是题目给出的是一元二次方程，需满足一元二次方程的定义；二是方程有两个实数根，需结合根的判别式分析。首先，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，确定k≠0；其次，利用根的判别式Δ≥0（对应两个实数根）计算k的取值范围，最后结合两个条件得到最终结果。
【解析】
1. 因为方程是关于x的一元二次方程，所以二次项系数k≠0；
2. 方程有两个实数根，根据根的判别式公式Δ=b²-4ac，代入a=k，b=-2，c=3，得Δ=(-2)² - 4×k×3 = 4 - 12k；
3. 由于方程有两个实数根，故Δ≥0，即4 - 12k ≥ 0，解不等式：移项得-12k ≥ -4，两边除以-12（不等号方向改变），得k ≤ 1/3；
4. 结合k≠0的条件，最终k的取值范围为k ≤ 1/3且k≠0，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意两个易忽略的点：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是方程有两个实数根时判别式Δ≥0，避免因遗漏条件导致错误。
【难度系数】
0.5

6. 如图,甲、乙、丙分别是梯形、三角形和平行四边形,它们的面积相比,().

A.甲最大
B.乙最大
C.丙最大
D.无法确定

6. C 【点拨】本题考查梯形、三角形和平行四边形的面积计算.
【解析】假设它们的高都是$h$. 甲的面积$=(7 + 4) × h ÷ 2 = \dfrac{11}{2}h$,
乙的面积$=10 × h ÷ 2 = 5h$,丙的面积$=6h$. $\because 5h ＜ \dfrac{11}{2}h ＜ 6h$,$\therefore$ 丙的面积最大. 故选 C.

【分析】首先观察图形，甲、乙、丙三个图形在同一组平行线之间，因此它们的高相等，设为h。接下来分别利用梯形、三角形、平行四边形的面积公式，代入各自的底边长计算面积，再比较大小即可得出结论。
【解析】设三个图形的高均为h（因它们在两条平行线之间，高相等）。
1. 甲是梯形，根据梯形面积公式：$S_{甲}=(上底+下底)×高÷2=(7+4)×h÷2=5.5h$；
2. 乙是三角形，根据三角形面积公式：$S_{乙}=底×高÷2=10×h÷2=5h$；
3. 丙是平行四边形，根据平行四边形面积公式：$S_{丙}=底×高=6×h=6h$；
比较三个面积：$5h ＜ 5.5h ＜ 6h$，因此丙的面积最大。
【答案】C
【知识点】梯形面积计算、三角形面积计算、平行四边形面积计算
【点评】本题考查不同平面图形的面积比较，关键是利用平行线间距离相等确定三个图形的高相同，再代入对应面积公式计算，难度适中，掌握基础公式即可解答。
【难度系数】0.6

7. 如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AE交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为().

A.4
B.6
C.8
D.10

7. C 【点拨】本题考查作图,角平分线的性质,平行四边形的性质,解决本题的关键是掌握角平分线的性质.
【解析】如题图,设$AE$与$BF$的交点为$O$,$\because ∠ BAD$的平分线$AE$交$BC$于点$E$,$\therefore ∠ FAE = ∠ BAE$,由作图可知$AF = AB$,$\because AO = AO$,$\therefore △ FAO≌△ BAO(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AOF = ∠ AOB = 90°$,$FO = BO = 3$. $\because AB = 5$,$\therefore AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = 4$. 在平行四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$\therefore ∠ DAE = ∠ AEB$,$\therefore ∠ AEB = ∠ BAE$,$\therefore AB = BE$,$\therefore AO = EO = 4$,$\therefore AE = OE + OA = 8$. 故选 C.

【分析】
要解决本题，需结合角平分线的作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰三角形的性质逐步推导：首先明确AE是∠BAD的平分线，结合作图得AF=AB，AE与BF交于点O，通过全等三角形证明AO⊥BF且BO=FO；再用勾股定理算出AO的长度；最后利用平行四边形对边平行的性质，推出△ABE为等腰三角形，结合等腰三角形三线合一得到AO=OE，进而求出AE的长。
【解析】
设AE与BF的交点为O。
1. 因为AE是∠BAD的平分线，所以∠FAO=∠BAO；由作图可知AF=AB，且AO为公共边，故△FAO≌△BAO（SAS）。
2. 由全等三角形的性质可得：∠AOB=∠AOF=90°，FO=BO=½BF=½×6=3。
3. 在Rt△AOB中，AB=5，BO=3，根据勾股定理得：AO=√(AB² - BO²)=√(5² - 3²)=4。
4. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，故∠FAO=∠AEB；又∠FAO=∠BAO，因此∠BAO=∠AEB，即AB=BE，△ABE为等腰三角形。
5. 由于AO⊥BF，根据等腰三角形三线合一的性质，AO=OE=4，所以AE=AO + OE=4 + 4=8。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形性质、角平分线性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查尺规作图、平行四边形性质、全等三角形、勾股定理及等腰三角形的性质，解题关键是通过全等三角形得到垂直关系，结合平行四边形性质推出等腰三角形，进而求出AE长度，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6