1. 在“迎国庆，我为先”竞猜活动中，学生会主席准备了若干张相同的卡片，上面写的是联欢会上同学们要回答的问题. 联欢会开始后，学生会主席问小明：“你能设计一个方案，估计联欢会共准备了多少张卡片吗？”小明用20张空白卡片(与写有问题的卡片相同)和全部写有问题的卡片洗匀，从中任意抽取10张，发现有2张空白卡片，马上估计出了写有问题卡片的数目，则小明估计的数目是（）

A.60张
B.80张
C.90张
D.110张

1. B 解析:设小明估计的数目是 x 张. 由题意,得
$\frac{20}{20+x}=\frac{2}{10}$, 解得 $x=80$. 经检验, $x=80$ 是原方程的解. 故小明估计的数目是 80 张.

2. (2026·江苏常州期末)如图是“扫雷”游戏的一部分,图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷,小旗表示该方格已被探明有地雷.现在还剩下A,B,C三个方格未被探明,其他地方为安全区(包括有数字的方格),则A,B,C三个方格中有地雷概率最大的方格是
（）

A.A
B.B
C.C
D.无法确定

2. A 解析:设 A,B,C 三个方格中有地雷的概率分别为P(A),P(B),P(C). 由题意,得 A,B,C 三个方格中有且只有1个方格中有地雷,B,C 两个方格中都没有地雷,所以 $P(A)=1,P(B)=P(C)=0$, 所以 A,B,C 三个方格中有地雷概率最大的方格是 A.

3. 如图,将长为 2 的线段 $QR$ 的两端放在边长为 2 的正方形 $ABCD$ 的相邻两边上同时滑动,点 $Q$ 从点 $A$ 出发,按 $A \to B \to C \to D \to A$ 的方向滑动到点 $A$ 时停止,同时点 $R$ 从点 $B$ 出发,按 $B \to C \to$$D \to A \to B$ 的方向滑动到点 $B$ 时停止. 在这个过程中,线段 $QR$ 的中点 $M$ 所经过的路线围成图形的面积记为 $S$,$N$ 是正方形 $ABCD$ 内任意一点,把点 $N$ 到四个顶点 $A,B,C,D$ 的距离均不小于1 的概率记为 $P$,则 $S$ 的值为（）

A.$(4-π)P$
B.$4(1-P)$
C.$4P$
D.$(π-1)P$

3. C 解析:分别以点 A,B,C,D 为圆心,1 为半径作弧,与正方形的四边相交,得到四个扇形,且这四个扇形的面积之和为 $π×1^2=π$. 因为正方形的面积为 $2×2=4$, 所以 $P=\frac{4-π}{4}$. 易知 $S=4-π$, 所以 $S=4P$.

4. 已知 2,3,5,m,n 五个数据的方差是 2,则 3,4,6,$m+1$,$n+1$ 五个数据的方差是.

4. 2 解析:设数据 2,3,5,m,n 的平均数是 a,则数据 3,4,6,m+1,n+1 的平均数是 a+1. 由题意,得
$\frac{1}{5}[(2-a)^2+(3-a)^2+(5-a)^2+(m-a)^2+(n-a)^2]=2$, 所以 $\frac{1}{5}[(3-a-1)^2+(4-a-1)^2+(6-a-1)^2+(m+1-a-1)^2+(n+1-a-1)^2]=\frac{1}{5}[(2-a)^2+(3-a)^2+(5-a)^2+(m-a)^2+(n-a)^2]=2$,即 3,4,6,m+1,n+1 五个数据的方差是 2.

5. 甲、乙、丙3人用擂台赛形式进行训练,每局2人进行单打比赛,另1人当裁判,每一局的输方去当下一局的裁判,且由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打了12局,乙共打了21局,且丙共当裁判8局. 设甲和丙交手$a$局,乙和丙交手$b$局,甲和乙交手$c$局,则$4a^{-1}+b-2c^{0}=$,$a-2,b-15,c-5$三数的方差为.

5. $12\quad\frac{14}{3}$ 解析:因为丙共当裁判8局,所以甲和乙交手8局,即c=8.因为甲共打了12局,所以甲和丙交手12-8=4(局),即a=4.因为乙共打了21局,所以乙和丙交手21-8=13(局),即b=13,所以$4a^{-1}+b-2c^0=4×\frac{1}{4}+13-2×1=12$.因为a-2=2,b-15=-2,c-5=3,且2,-2,3的平均数为$\frac{1}{3}×[2+(-2)+3]=1$,所以2,-2,3的方差为$\frac{1}{3}×[(2-1)^2+(-2-1)^2+(3-1)^2]=\frac{14}{3}$.

6. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax+nb=0(1 ≤ n ≤ 3,n$为整数$)$,其中$a$是从$2,4,6$三个数中任取的一个数,$b$是从$1,3,5$三个数中任取的一个数,定义“方程有实数根”为事件$A_{n}(n=1,2,3)$,则当事件$A_{n}$发生的概率最小时,$n$的值为.

6. 2或3 解析:当 $n=1$ 时, $a^2-4nb=a^2-4b$. 易知当 $\begin{cases}a=2,\\b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=4,\\b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=4,\\b=3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=5\end{cases}$ 时, 方程有实数根, 所以 $P(A_1)=\frac{6}{3×3}=\frac{2}{3}$. 当 $n=2$ 时, $a^2-4nb=a^2-8b$. 易知当 $\begin{cases}a=4,\\b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=3\end{cases}$ 时, 方程有实数根, 所以 $P(A_2)=\frac{3}{3×3}=\frac{1}{3}$. 当 $n=3$ 时, $a^2-4nb=a^2-12b$. 易知当 $\begin{cases}a=4,\\b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=3\end{cases}$ 时, 方程有实数根, 所以 $P(A_3)=\frac{3}{3×3}=\frac{1}{3}$. 因为 $P(A_1)＞P(A_2)=P(A_3)$, 所以当事件 $A_n$ 发生的概率最小时, $n$ 的值为 2 或 3.