一、选择题
1. 方程组$\begin{cases}x - y = 3, \\ 3x - 8y = 14\end{cases}$的解为( ).

A.$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 1, \\ y = -2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = -2, \\ y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 2, \\ y = -1 \end{cases}$

1.D

【分析】
这是二元一次方程组求解的基础题，有两种常见解题思路：第一种是消元法，从系数更简单的第一个方程出发，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入第二个方程消去一个未知数，转化为一元一次方程求出一个未知数的取值，再回代求出另一个未知数的取值；第二种是代入验证法，将四个选项分别代入两个方程，同时满足两个方程的选项就是正确解。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}x - y = 3&① \\ 3x - 8y = 14&②\end{cases}$，用代入消元法求解：
1. 由①移项得：$x = y + 3$ ③
2. 将③代入②，消去$x$：
$3(y + 3) - 8y = 14$
去括号得：$3y + 9 - 8y = 14$
移项合并同类项得：$-5y = 5$
解得：$y = -1$
3. 将$y=-1$代入③得：$x = -1 + 3 = 2$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$，对应选项D。
也可通过代入验证法排除错误选项：A、C代入①不成立，B代入②不成立，仅D同时满足两个方程。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法；二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考题，解题思路灵活，既可以通过消元法计算得到结果，也可以通过代入选项快速验证得出答案，核心考察对消元思想的掌握。
【难度系数】
0.9

2. 二元一次方程组$\begin{cases}x+y=6, \\ x-3y=-2\end{cases}$的解是( ).

A.$\begin{cases} x=5, \\ y=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-5, \\ y=-1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-4, \\ y=-2 \end{cases}$

2.B

【分析】
本题可通过两种思路求解：一是用消元法直接计算方程组的解，二是将选项代入方程组验证是否同时满足两个方程。优先推荐加减消元法：观察发现两个方程中x的系数均为1，将两式相减即可消去x，先求出y的值，再代入求x，最后匹配选项即可；若用代入验证法，也能快速排除错误选项。
【解析】
先给方程组编号：
$\begin{cases}x+y=6 \ \ \ \ \ \ ① \\ x-3y=-2 \ \ ②\end{cases}$
解法1：加减消元法
用①-②，等号左右分别计算得：
$(x+y)-(x-3y)=6-(-2)$
化简得$4y=8$，解得$y=2$
将$y=2$代入①式，得$x+2=6$，解得$x=4$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$
解法2：代入验证法
逐一将选项代入两个方程：
A选项代入②式：$5-3×1=2≠-2$，不满足；
B选项代入①式$4+2=6$，代入②式$4-3×2=-2$，两个方程均成立；
C、D选项代入①式，x+y的和均不等于6，直接排除。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常考题，消元法是求解二元一次方程组的核心方法，而代入验证法更适配选择题型，可根据实际情况灵活选择解题方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.9

3. 如果$3a^{7x}b^{y+7}$和$-4a^{2-4y}b^{2x}$是同类项，那么$x,y$的值是（）.

A.$\begin{cases} x=-3, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=-3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$

3.B

【分析】
解决这道题的核心是先明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项。根据这个性质，两个单项式中a的指数相等、b的指数相等，就能列出关于x、y的二元一次方程组，解出方程组即可得到x、y的取值，再匹配对应选项。
【解析】
根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，可列方程组：
$\begin{cases}7x = 2 - 4y \\ y + 7 = 2x \end{cases}$
用代入消元法求解：
1. 对第二个方程变形，得$y = 2x - 7$；
2. 将$y = 2x - 7$代入第一个方程，得$7x = 2 - 4×(2x - 7)$；
3. 展开计算右边：$7x = 2 - 8x + 28$，移项合并同类项得$15x = 30$，解得$x=2$；
4. 将$x=2$代入$y = 2x - 7$，得$y = 2×2 -7 = -3$。
因此x、y的取值为$\begin{cases} x=2 \\ y=-3 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题是基础题型，主要考查同类项性质的应用，解题关键是根据同类项的定义准确建立方程组，掌握二元一次方程组的基本解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.7

4. 若$\sqrt{x+y-1}+(y+3)^2=0$，则$x-y$的值为()。

A.1
B.$-1$
C.7
D.$-7$

4.C

【分析】
解题的关键是掌握非负数的性质。首先回忆：算术平方根和平方数都属于非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。据此我们可以列出关于x、y的两个等式，先求出y的值，再代入求出x的值，最后计算x-y的结果即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x+y-1}$是算术平方根，结果为非负数，$(y+3)^2$是平方数，结果也为非负数，且两者的和为0
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x + y - 1 = 0 \\y + 3 = 0\end{cases}$
先解第二个方程：$y+3=0$，得$y=-3$
将$y=-3$代入第一个方程：$x + (-3) -1 = 0$，解得$x=4$
∴$x - y = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、代数式求值、解一元一次方程
【点评】
本题是常考的基础题型，核心是利用非负数的性质建立方程求解，解题时要注意去括号的符号规则，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.7

5. 方程组 $\begin{cases}ax + by = 4, \\ bx + ay = 5\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 2, \\ y = 1,\end{cases}$ 则 $a,b$ 的值分别是( ).

A.$\begin{cases} a = 1, \\ b = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} a = 1, \\ b = 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} a = 2, \\ b = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} a = 2, \\ b = 2 \end{cases}$

5.B

【分析】
解题的核心是利用二元一次方程组解的定义：方程组的解能使方程组中每个方程的左右两边都相等。我们可以先把已知的解$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入原方程组，把原方程组转化为关于a、b的二元一次方程组，再解这个新的方程组即可求出a、b的值，最后匹配选项得到答案。
【解析】
将$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax + by = 4 \\ bx + ay = 5\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a + b = 4 \quad ① \\ a + 2b = 5 \quad ②\end{cases}$
使用加减消元法求解：
将①×2，得$4a + 2b = 8 \quad ③$
用③-②，得$3a = 3$，解得$a=1$
把$a=1$代入①，得$2×1 + b = 4$，解得$b=2$
因此$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常考题，解题关键是理解方程组解的含义，通过代入转化得到新的方程组求解，熟练掌握加减消元法或代入消元法就能快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张. 则小悦买书所用的1元纸币的张数有().

A.2张
B.3张
C.6张
D.9张

6.B

【分析】
这是典型的方程类应用题，解题核心是找准题干中的等量关系。题目给出两个明确条件：①1元和5元纸币总张数为12张；②两种纸币总面额为48元。我们可以先设1元纸币的张数为未知数，用总张数表示出5元纸币的张数，再结合总面额的等量关系列方程求解，也可以设两个未知数列二元一次方程组求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（一元一次方程解法）：
设1元纸币有$x$张，则5元纸币有$(12-x)$张。
根据总面额为48元，列方程：
$x×1 + 5×(12-x) = 48$
展开计算：$x + 60 - 5x = 48$
移项合并同类项：$-4x = -12$
系数化为1得：$x=3$
方法二（二元一次方程组解法）：
设1元纸币有$x$张，5元纸币有$y$张。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 12 \\ x + 5y = 48 \end{cases}$
由第一个方程得$y=12-x$，代入第二个方程得：
$x + 5×(12-x) = 48$
解得$x=3$
综上，1元纸币的张数为3张。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组应用
【点评】
本题是方程类应用题的基础考法，难度较低，解题关键是从题干中提取总张数、总面额两个等量关系，根据等量关系设未知数列方程（组）即可快速得出结果，是日常测验和考试的高频基础题。
【难度系数】
0.8

7. 传统文化《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为$x$人，羊价为$y$钱，根据题意，可列方程组为（）。

A.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x-3 \end{cases}$

7.A

【分析】
要解决这个问题，我们首先抓住题目中的两个不变量：合伙人数和羊价，题目已经给出人数为$x$人，羊价为$y$钱，接下来需要根据两种出钱的情况找到等量关系列等式。首先理解“不足”的含义：“不足”指的是所有人出的总钱数比羊价少的部分，因此总出钱数加上不足的钱数就等于羊价，分别对应两种情况列出两个方程，联立即可得到方程组。
【解析】
第一步，分析第一种出钱情况：每人出5钱，还差45钱。此时所有人出的总钱数为$5x$，比羊价少45，因此羊价$y = 5x + 45$；
第二步，分析第二种出钱情况：每人出7钱，还差3钱。此时所有人出的总钱数为$7x$，比羊价少3，因此羊价$y = 7x + 3$；
第三步，联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} y=5x+45 \\ y=7x+3 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据实际问题列方程
【点评】
本题以《九章算术》中的传统数学问题为载体，考查学生从实际问题中提取等量关系、列二元一次方程组的能力，解题的关键是正确理解“不足”的含义，抓住羊价不变这一核心等量关系列等式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=a-3, \\3x-y=2a,\end{cases}$有下列说法：
①当$a=2$时，方程的两根互为相反数；
②$x,y$满足关系式$x-5y=6$；
③当且仅$a=-5$时，解得$x$为$y$的2倍.
其中正确的是().

A.①②③
B.①③
C.②③
D.①②

8.A [解析]二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=a-3, \\3x-y=2a,\end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\dfrac{5a-3}{7}, \\ y=\dfrac{a-9}{7}. \end{cases}$
当$a=2$时，$\begin{cases} x=1, \\ y=-1, \end{cases}$则$x+y=1+(-1)=0$，故当$a=2$时，方程两根互为相反数. 故①符合题意；
$\because x=\dfrac{5a-3}{7},\therefore a=\dfrac{7x+3}{5}.$
代入$y=\dfrac{a-9}{7}$，得$x-5y=6$，
$\therefore x,y$满足关系式$x-5y=6$. 故②符合题意；
当$a=-5$时，$x=-4,y=-2$，
$\therefore$当且仅当$a=-5$时，解得$x$为$y$的2倍. 故③符合题意. 故选A.

【分析】
要判断三个说法的正确性，首先可通过加减消元法求解方程组，用含参数$a$的代数式表示出$x$、$y$的解，再逐一验证三个结论：①将$a=2$代入解中，判断$x$与$y$是否互为相反数；②消去参数$a$，推导$x$与$y$的关系式，验证是否为$x-5y=6$；③根据“$x$是$y$的2倍”即$x=2y$，代入表达式求解$a$，判断是否仅$a=-5$满足条件。
【解析】
解：给定方程组$\begin{cases}x+2y=a-3&① \\3x-y=2a&②\end{cases}$
将②$×2$得：$6x-2y=4a$ ③
①+③得：$7x=5a-3$，解得$x=\dfrac{5a-3}{7}$
把$x=\dfrac{5a-3}{7}$代入②，得$3×\dfrac{5a-3}{7}-y=2a$，解得$y=\dfrac{a-9}{7}$
即方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{5a-3}{7} \\ y=\dfrac{a-9}{7} \end{cases}$
验证①：当$a=2$时，$x=\dfrac{10-3}{7}=1$，$y=\dfrac{2-9}{7}=-1$，$x+y=0$，即$x$与$y$互为相反数，故①正确；
验证②：由①得$a=x+2y+3$，代入②得$3x-y=2(x+2y+3)$，整理得$3x-y=2x+4y+6$，移项合并同类项得$x-5y=6$，故②正确；
验证③：当$x$是$y$的2倍时，$x=2y$，代入$x-5y=6$得$2y-5y=6$，解得$y=-2$，$x=-4$，将$x=-4$，$y=-2$代入①得$-4+2×(-2)=a-3$，解得$a=-5$，即当且仅当$a=-5$时$x$是$y$的2倍，故③正确。
综上①②③均正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
解二元一次方程组，二元一次方程组的解，消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的综合应用题型，解题核心是先求出含参数的方程组通解，再结合题干条件逐一验证结论，也可通过消去参数的方法快速推导$x$、$y$的关系式简化计算，能够有效考查学生对二元一次方程组解法的掌握程度和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7

9. 已知方程$3x^{n-2}-\frac{1}{2}y^{2m+1}=2$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m=$，$n=$。

9. 0 3

【分析】
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。本题已经明确给出方程是关于x、y的二元一次方程，因此x的指数、y的指数都必须等于1，由此可以分别列出关于m、n的一元一次方程，求解即可得到m、n的值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，未知数的项的次数为1：
1. 对于含x的项，次数为$n-2$，因此有：
$n-2=1$
解得：$n=1+2=3$
2. 对于含y的项，次数为$2m+1$，因此有：
$2m+1=1$
移项得：$2m=1-1=0$
解得：$m=0$
【答案】
0；3
【知识点】
二元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题核心考查对二元一次方程概念的掌握，解题关键是抓住“一次”的特征，即两个未知数的次数均为1，列出参数方程求解即可，属于概念类基础题，掌握好基础定义就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

10. 中考新考法 满足条件的结论开放 写出二元一次方程$3x+y=8$的一个正整数解：。

10. $\begin{cases} x=1, \\ y=5 \end{cases}$(或$\begin{cases} x=2, \\ y=2 \end{cases}$)

【分析】
要求二元一次方程的正整数解，首先明确正整数解的含义：x、y的取值都为大于0的整数。我们可以先推导x的取值范围：由方程变形得y=8-3x，结合y是正整数可知8-3x＞0，即x＜8/3，所以x只能取正整数1、2，再分别代入计算对应的y值，只要y也是正整数，就得到符合要求的解。
【解析】
正整数解要求x、y均为正整数，即$x＞0$，$y＞0$，且x、y为整数。
将方程$3x+y=8$变形为$y=8-3x$，
令$y＞0$，则$8-3x＞0$，解得$x＜\frac{8}{3}$，
因为x是正整数，所以x可取1、2：
① 当$x=1$时，代入得$y=8-3×1=5$，5是正整数，故$\begin{cases} x=1 \\ y=5 \end{cases}$是方程的一组正整数解；
② 当$x=2$时，代入得$y=8-3×2=2$，2是正整数，故$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$是方程的一组正整数解；
当$x≥3$时，$y=8-3x≤-1$，不符合正整数要求，写出上述任意一组解即可。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=5 \end{cases}$(或$\begin{cases} x=2, \\ y=2 \end{cases}$)
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 正整数的概念
【点评】
本题属于结论开放类基础题，考查对二元一次方程解的理解，解题时紧扣正整数的限制条件，通过限定未知数取值范围后代入试值即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

11. 已知$\begin{cases} x=2, \\ y=-3 \end{cases}$是方程$2x+ay=7$的一个解，
则$a$的值是。

11. -1

【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。所以我们可以把已知的x、y的值直接代入原方程，这样原方程就会转化为只含有未知数a的一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求解就能得到a的值。
【解析】
解：将$\begin{cases} x=2, \\ y=-3 \end{cases}$代入方程$2x+ay=7$，得：
$2×2 + a×(-3) = 7$
化简得：$4 - 3a = 7$
移项得：$-3a = 7 - 4$
合并同类项得：$-3a = 3$
系数化为1得：$a = -1$
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心是利用方程的解的意义代入转化，计算难度小，熟练掌握代入法和一元一次方程的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.9