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9.计算：$2a^3b·(-3ab)^3=$
$-54a^{6}b^{4}$
.答案
9.$-54a^{6}b^{4}$
解析
【分析】
本题属于单项式乘法运算题，解题遵循“先算乘方、后算乘法”的顺序：第一步先根据积的乘方法则计算$(-3ab)^3$，第二步再根据单项式乘单项式的运算法则，将系数、同底数幂分别相乘，最终合并得到结果。计算时要注意负号的运算以及幂的指数变化规则，避免出错。
【解析】
解：先计算乘方部分：
$(-3ab)^3=(-3)^3· a^3· b^3=-27a^3b^3$
再计算单项式乘法：
$2a^3b·(-27a^3b^3)$
$=[2×(-27)]·(a^3·a^3)·(b·b^3)$
$=-54·a^{3+3}·b^{1+3}$
$=-54a^6b^4$
【答案】
$-54a^{6}b^{4}$
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查幂的运算法则与单项式乘法的运算顺序，解题时需注意先算乘方再算乘法，同时要关注符号运算和指数的加减规则，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
本题属于单项式乘法运算题，解题遵循“先算乘方、后算乘法”的顺序：第一步先根据积的乘方法则计算$(-3ab)^3$，第二步再根据单项式乘单项式的运算法则，将系数、同底数幂分别相乘，最终合并得到结果。计算时要注意负号的运算以及幂的指数变化规则，避免出错。
【解析】
解：先计算乘方部分：
$(-3ab)^3=(-3)^3· a^3· b^3=-27a^3b^3$
再计算单项式乘法：
$2a^3b·(-27a^3b^3)$
$=[2×(-27)]·(a^3·a^3)·(b·b^3)$
$=-54·a^{3+3}·b^{1+3}$
$=-54a^6b^4$
【答案】
$-54a^{6}b^{4}$
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查幂的运算法则与单项式乘法的运算顺序，解题时需注意先算乘方再算乘法，同时要关注符号运算和指数的加减规则，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
10. 命题“如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$”的逆命题是
如果$a=b$,那么$a^2=b^2$
。答案
10. 如果$a=b$,那么$a^2=b^2$
解析
【分析】要写出一个命题的逆命题，首先需明确“如果……那么……”形式命题的结构：“如果”后面的内容是命题的条件，“那么”后面的内容是命题的结论。逆命题的改写规则是将原命题的条件和结论互换位置，再整理为规范的“如果……那么……”形式即可。我们先拆分原命题的条件和结论，再交换位置就能得到结果。
【解析】首先拆分原命题“如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$”的组成：
原命题的条件：$a^2 = b^2$，原命题的结论：$a = b$
根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换位置，把原结论作为新命题的条件，原条件作为新命题的结论，可得逆命题为：如果$a = b$，那么$a^2 = b^2$。
【答案】如果$a=b$,那么$a^2=b^2$
【知识点】逆命题的概念；命题的组成
【点评】本题考查逆命题的改写，解题核心是准确识别原命题的条件和结论，掌握互换条件结论的改写规则，属于基础题型。
【难度系数】0.9
【解析】首先拆分原命题“如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$”的组成：
原命题的条件：$a^2 = b^2$，原命题的结论：$a = b$
根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换位置，把原结论作为新命题的条件，原条件作为新命题的结论，可得逆命题为：如果$a = b$，那么$a^2 = b^2$。
【答案】如果$a=b$,那么$a^2=b^2$
【知识点】逆命题的概念；命题的组成
【点评】本题考查逆命题的改写，解题核心是准确识别原命题的条件和结论，掌握互换条件结论的改写规则，属于基础题型。
【难度系数】0.9
11. 跨学科 化学元素 我国渤海、黄海、东海、南海海水中含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为$8×10^{6}$吨. 用科学记数法表示铝、锰元素总量的和，接近值是
$1.6×10^7$
吨.答案
11.$1.6×10^7$
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：铝、锰两种元素的总量均约为$8×10^6$吨，要求计算两者总量的和，并用科学记数法表示。解题思路分为两步：第一步先计算两种元素的总质量，第二步把计算结果改写为符合规范的科学记数法形式（科学记数法要求$a×10^n$中$1≤a＜10$，$n$为正整数）。
【解析】
首先计算铝、锰元素总量的和：
两种元素的总量各为$8×10^6$吨，因此总和为：
$8×10^6 + 8×10^6 = (8+8)×10^6 = 16×10^6$
再将结果改写为标准科学记数法形式：
$16×10^6 = 1.6×10×10^6 = 1.6×10^7$
【答案】
$1.6×10^7$
【知识点】
科学记数法；有理数加法运算
【点评】
本题结合海洋化学元素的实际背景考查科学记数法的应用，解题时需注意科学记数法中$a$的取值范围需满足$1≤a＜10$，避免出现不规范的表示形式。
【难度系数】
0.8
首先明确题目已知条件：铝、锰两种元素的总量均约为$8×10^6$吨，要求计算两者总量的和，并用科学记数法表示。解题思路分为两步：第一步先计算两种元素的总质量，第二步把计算结果改写为符合规范的科学记数法形式（科学记数法要求$a×10^n$中$1≤a＜10$，$n$为正整数）。
【解析】
首先计算铝、锰元素总量的和：
两种元素的总量各为$8×10^6$吨，因此总和为：
$8×10^6 + 8×10^6 = (8+8)×10^6 = 16×10^6$
再将结果改写为标准科学记数法形式：
$16×10^6 = 1.6×10×10^6 = 1.6×10^7$
【答案】
$1.6×10^7$
【知识点】
科学记数法；有理数加法运算
【点评】
本题结合海洋化学元素的实际背景考查科学记数法的应用，解题时需注意科学记数法中$a$的取值范围需满足$1≤a＜10$，避免出现不规范的表示形式。
【难度系数】
0.8
12. 内角和是外角和的5倍的多边形是
十二
边形。答案
12. 十二
解析
【分析】
解题时先明确多边形的两个核心性质：①任意多边形的外角和都是固定的360°；②n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为不小于3的整数）。题目给出内角和是外角和的5倍，我们可以先根据外角和算出对应的内角和，再代入内角和公式列方程，求解边数n即可。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
1. 计算该多边形的内角和：
任意多边形外角和恒为$360°$，根据题意可得该多边形内角和为：$5×360°=1800°$
2. 代入内角和公式列方程求解：
根据n边形内角和公式列等式：
$(n-2)×180°=1800°$
方程两边同时除以$180°$得：$n-2=10$
解得：$n=12$
【答案】
十二
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形角度计算的基础常考题，解题的关键是牢记多边形外角和为固定值360°，结合内角和公式建立方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确多边形的两个核心性质：①任意多边形的外角和都是固定的360°；②n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为不小于3的整数）。题目给出内角和是外角和的5倍，我们可以先根据外角和算出对应的内角和，再代入内角和公式列方程，求解边数n即可。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
1. 计算该多边形的内角和：
任意多边形外角和恒为$360°$，根据题意可得该多边形内角和为：$5×360°=1800°$
2. 代入内角和公式列方程求解：
根据n边形内角和公式列等式：
$(n-2)×180°=1800°$
方程两边同时除以$180°$得：$n-2=10$
解得：$n=12$
【答案】
十二
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形角度计算的基础常考题，解题的关键是牢记多边形外角和为固定值360°，结合内角和公式建立方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.下列命题:①同旁内角互补,两直线平行；②如果$x＞1$,那么$x+1＞5$；③直角都相等.其中逆命题是真命题的是
①②
.(填写序号)答案
13.①②
解析
【分析】
解题时首先要明确逆命题的定义：把原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题。接下来我们逐个写出3个命题的逆命题，再结合已学的数学定理、不等式性质等判断逆命题的真假，最后选出逆命题为真命题的序号即可。
【解析】
我们分别分析三个命题的逆命题：
1. 对命题①：原命题为“同旁内角互补，两直线平行”，互换题设和结论得到逆命题：“两直线平行，同旁内角互补”，这是平行线的性质定理，属于真命题；
2. 对命题②：原命题为“如果$x＞1$，那么$x+1＞5$”，互换题设和结论得到逆命题：“如果$x+1＞5$，那么$x＞1$”。解不等式$x+1＞5$得$x＞4$，所有大于4的数都满足大于1，因此该逆命题是真命题；
3. 对命题③：原命题为“直角都相等”，互换题设和结论得到逆命题：“相等的角都是直角”。例如两个30°的角相等，但它们不是直角，因此该逆命题是假命题。
综上，逆命题是真命题的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
逆命题的定义，命题真假判断，不等式的性质
【点评】
本题核心考查逆命题的改写和真假命题的判别，解题的易错点是容易混淆原命题的真假与逆命题的真假，二者没有必然关联，需改写后单独判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确逆命题的定义：把原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题。接下来我们逐个写出3个命题的逆命题，再结合已学的数学定理、不等式性质等判断逆命题的真假，最后选出逆命题为真命题的序号即可。
【解析】
我们分别分析三个命题的逆命题：
1. 对命题①：原命题为“同旁内角互补，两直线平行”，互换题设和结论得到逆命题：“两直线平行，同旁内角互补”，这是平行线的性质定理，属于真命题；
2. 对命题②：原命题为“如果$x＞1$，那么$x+1＞5$”，互换题设和结论得到逆命题：“如果$x+1＞5$，那么$x＞1$”。解不等式$x+1＞5$得$x＞4$，所有大于4的数都满足大于1，因此该逆命题是真命题；
3. 对命题③：原命题为“直角都相等”，互换题设和结论得到逆命题：“相等的角都是直角”。例如两个30°的角相等，但它们不是直角，因此该逆命题是假命题。
综上，逆命题是真命题的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
逆命题的定义，命题真假判断，不等式的性质
【点评】
本题核心考查逆命题的改写和真假命题的判别，解题的易错点是容易混淆原命题的真假与逆命题的真假，二者没有必然关联，需改写后单独判断。
【难度系数】
0.7
14. 如图，将边长为2个单位的等边三角形ABC沿边BC向右平移1个单位得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为
8
个单位.答案
14.8
解析
【分析】
解题时先回忆平移的性质和等边三角形的特征：首先等边三角形三边长度相等，平移后对应边相等，对应点的连线长度等于平移的距离。我们先确定四边形ABFD的四条边分别是AB、BF、FD、DA，再分别求出每条边的长度，最后相加就能得到周长。首先根据等边三角形边长为2，可得AB、BC、AC的长度都是2；再根据平移距离是1个单位，可得AD、CF的长度都是1，DF和AC长度相等；接着计算BF的长度为BC加CF的和，最后把四条边长度相加即可。
【解析】
解：
∵等边三角形ABC的边长为2个单位，
∴AB=BC=AC=2。
∵△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=CF=1（平移距离等于对应点连线的长度），DF=AC=2（平移后对应边相等）。
∴BF=BC + CF = 2 + 1 = 3。
∴四边形ABFD的周长 = AB + BF + FD + DA = 2 + 3 + 2 + 1 = 8。
【答案】
8
【知识点】
平移的性质，等边三角形的性质，周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握平移的性质，准确找到各条线段的长度，避免错算BF的长度导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平移的性质和等边三角形的特征：首先等边三角形三边长度相等，平移后对应边相等，对应点的连线长度等于平移的距离。我们先确定四边形ABFD的四条边分别是AB、BF、FD、DA，再分别求出每条边的长度，最后相加就能得到周长。首先根据等边三角形边长为2，可得AB、BC、AC的长度都是2；再根据平移距离是1个单位，可得AD、CF的长度都是1，DF和AC长度相等；接着计算BF的长度为BC加CF的和，最后把四条边长度相加即可。
【解析】
解：
∵等边三角形ABC的边长为2个单位，
∴AB=BC=AC=2。
∵△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=CF=1（平移距离等于对应点连线的长度），DF=AC=2（平移后对应边相等）。
∴BF=BC + CF = 2 + 1 = 3。
∴四边形ABFD的周长 = AB + BF + FD + DA = 2 + 3 + 2 + 1 = 8。
【答案】
8
【知识点】
平移的性质，等边三角形的性质，周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握平移的性质，准确找到各条线段的长度，避免错算BF的长度导致结果错误。
【难度系数】
0.7
15. 如图所示的图形是用一张长方形纸条折成的.如果∠1=100°,那么∠2=
$50°$
.答案
15.$50°$
解析
【分析】
解题时首先结合长方形的特征：长方形对边互相平行，可联想到平行线的角度性质；再结合折叠的特点：折叠前后重合的角大小相等。首先利用平行线的内错角相等，得到∠1与折叠后两个重合角的和相等，又因为两个重合角都是∠2，因此建立等量关系即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵长方形纸条的对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得折叠后两个重合角的和与∠1相等，即$2∠2=∠1$。
已知$∠1=100°$，代入得：
$∠2=100°÷2=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题是折叠类基础角度计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平行线的角度关系找到已知角和未知角的等量关系，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合长方形的特征：长方形对边互相平行，可联想到平行线的角度性质；再结合折叠的特点：折叠前后重合的角大小相等。首先利用平行线的内错角相等，得到∠1与折叠后两个重合角的和相等，又因为两个重合角都是∠2，因此建立等量关系即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵长方形纸条的对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得折叠后两个重合角的和与∠1相等，即$2∠2=∠1$。
已知$∠1=100°$，代入得：
$∠2=100°÷2=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题是折叠类基础角度计算题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平行线的角度关系找到已知角和未知角的等量关系，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
16.若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=3k-1, \\x+2y=-2\end{cases}$的解满足$x+y＞1$，则$k$的取值范围是 ______ 。
答案
16.$k＞2$
解析
【分析】
首先观察二元一次方程组中两个方程的系数特征：x的系数之和为2+1=3，y的系数之和为1+2=3，因此可以将两个方程直接相加，快速得到x+y关于k的表达式，再代入已知的不等式x+y＞1，即可求解k的取值范围；若未观察到系数特征，也可以先解方程组，用含k的代数式分别表示x和y，再代入不等式求解。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}2x+y=3k-1&① \\x+2y=-2&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加：
左边：$2x+y+x+2y=3x+3y=3(x+y)$
右边：$3k-1+(-2)=3k-3$
可得等式$3(x+y)=3k-3$，两边同时除以3得：$x+y=k-1$
已知$x+y＞1$，将$x+y=k-1$代入不等式得：
$k-1＞1$
移项解得：$k＞2$
【答案】
$k＞2$
【知识点】
二元一次方程组变形、解一元一次不等式、整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题型，通过观察方程系数特征采用整体相加的方法，可以简化计算过程，比分别求解x、y的取值更高效，解题时要注意观察式子特征选择简便方法。
【难度系数】
0.7
首先观察二元一次方程组中两个方程的系数特征：x的系数之和为2+1=3，y的系数之和为1+2=3，因此可以将两个方程直接相加，快速得到x+y关于k的表达式，再代入已知的不等式x+y＞1，即可求解k的取值范围；若未观察到系数特征，也可以先解方程组，用含k的代数式分别表示x和y，再代入不等式求解。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}2x+y=3k-1&① \\x+2y=-2&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加：
左边：$2x+y+x+2y=3x+3y=3(x+y)$
右边：$3k-1+(-2)=3k-3$
可得等式$3(x+y)=3k-3$，两边同时除以3得：$x+y=k-1$
已知$x+y＞1$，将$x+y=k-1$代入不等式得：
$k-1＞1$
移项解得：$k＞2$
【答案】
$k＞2$
【知识点】
二元一次方程组变形、解一元一次不等式、整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题型，通过观察方程系数特征采用整体相加的方法，可以简化计算过程，比分别求解x、y的取值更高效，解题时要注意观察式子特征选择简便方法。
【难度系数】
0.7
17.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=3, \\bx+ay=7\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\y=1.\end{cases}$则$a+b$的值为 ______ .
答案
17.$\dfrac{10}{3}$
解析
【分析】
首先根据二元一次方程组解的定义，方程组的解能让方程组中每个方程左右两边相等，所以先把已知的解$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组，就能得到关于a、b的二元一次方程组。求$a+b$时不需要单独求出a、b的取值，直接把得到的两个方程左右两边分别相加，通过变形就能直接算出$a+b$的整体值，计算更简便。
【解析】
把$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}2a + b = 3&① \\a + 2b = 7&② \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，左边相加得：$2a + b + a + 2b = 3a + 3b$，右边相加得：$3 + 7 = 10$
即$3a + 3b = 10$
提取公因式得$3(a + b) = 10$
两边同时除以3，得$a + b = \dfrac{10}{3}$
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义
2.等式的性质
3.整体代入求值
【点评】
本题考查二元一次方程组解的应用，既可以通过解方程组求出a、b的值再计算和，也可以用整体思想直接求和，整体法是代数计算中常用的简化运算的技巧，熟练掌握能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先根据二元一次方程组解的定义，方程组的解能让方程组中每个方程左右两边相等，所以先把已知的解$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组，就能得到关于a、b的二元一次方程组。求$a+b$时不需要单独求出a、b的取值，直接把得到的两个方程左右两边分别相加，通过变形就能直接算出$a+b$的整体值，计算更简便。
【解析】
把$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}2a + b = 3&① \\a + 2b = 7&② \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，左边相加得：$2a + b + a + 2b = 3a + 3b$，右边相加得：$3 + 7 = 10$
即$3a + 3b = 10$
提取公因式得$3(a + b) = 10$
两边同时除以3，得$a + b = \dfrac{10}{3}$
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义
2.等式的性质
3.整体代入求值
【点评】
本题考查二元一次方程组解的应用，既可以通过解方程组求出a、b的值再计算和，也可以用整体思想直接求和，整体法是代数计算中常用的简化运算的技巧，熟练掌握能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
18.若$x+y=3,xy=1$,则$x^2+y^2=$
7
.答案
18.7
解析
【分析】
已知$x+y$和$xy$的值，要求$x^2+y^2$，可联想完全平方公式，完全平方公式展开后同时包含$(x+y)^2$、$xy$、$x^2+y^2$三类式子，我们先对公式做变形，将待求的$x^2+y^2$用已知的$x+y$和$xy$表示，再代入数值计算即可。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
对公式变形得到$x^2+y^2$的表达式：
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
将$x+y=3$，$xy=1$代入上式计算：
$x^2 + y^2 = 3^2 - 2×1 = 9 - 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据已知条件灵活对公式变形，不需要单独求解$x$、$y$的取值，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
已知$x+y$和$xy$的值，要求$x^2+y^2$，可联想完全平方公式，完全平方公式展开后同时包含$(x+y)^2$、$xy$、$x^2+y^2$三类式子，我们先对公式做变形，将待求的$x^2+y^2$用已知的$x+y$和$xy$表示，再代入数值计算即可。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
对公式变形得到$x^2+y^2$的表达式：
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
将$x+y=3$，$xy=1$代入上式计算：
$x^2 + y^2 = 3^2 - 2×1 = 9 - 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据已知条件灵活对公式变形，不需要单独求解$x$、$y$的取值，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
三、解答题(第19~21题每题6分,第22,23题每题8分,其余每题10分,共64分)
19.先化简,再求值:$(a+2)(a-2)+a(4-a),$
其中$a=\dfrac{1}{4}.$
19.先化简,再求值:$(a+2)(a-2)+a(4-a),$
其中$a=\dfrac{1}{4}.$
答案
19. 原式=$a^2-4+4a-a^2=4a-4.$
当$a=\dfrac{1}{4}$时,原式=$-3.$
当$a=\dfrac{1}{4}$时,原式=$-3.$
解析
【分析】
本题是整式化简求值题，解题思路如下：首先先化简整式，观察到$(a+2)(a-2)$符合平方差公式的形式，可利用平方差公式展开，再根据单项式乘多项式的法则展开$a(4-a)$；接下来将展开后的式子合并同类项，得到最简整式；最后将$a=\frac{1}{4}$代入最简式计算结果，先化简再求值可降低运算量，提高准确率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$(a+2)(a-2)=a^2-4$；
根据单项式乘多项式法则，可得$a(4-a)=4a-a^2$；
因此原式$=a^2-4+4a-a^2$，
合并同类项后得：原式$=4a-4$。
将$a=\dfrac{1}{4}$代入化简后的式子计算：
原式$=4×\dfrac{1}{4}-4=1-4=-3$。
【答案】
化简结果为$4a-4$，求值结果为$-3$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式乘法的基本运算法则及合并同类项的方法，运算时要注意展开项的符号，熟练掌握基础运算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题是整式化简求值题，解题思路如下：首先先化简整式，观察到$(a+2)(a-2)$符合平方差公式的形式，可利用平方差公式展开，再根据单项式乘多项式的法则展开$a(4-a)$；接下来将展开后的式子合并同类项，得到最简整式；最后将$a=\frac{1}{4}$代入最简式计算结果，先化简再求值可降低运算量，提高准确率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$(a+2)(a-2)=a^2-4$；
根据单项式乘多项式法则，可得$a(4-a)=4a-a^2$；
因此原式$=a^2-4+4a-a^2$，
合并同类项后得：原式$=4a-4$。
将$a=\dfrac{1}{4}$代入化简后的式子计算：
原式$=4×\dfrac{1}{4}-4=1-4=-3$。
【答案】
化简结果为$4a-4$，求值结果为$-3$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式乘法的基本运算法则及合并同类项的方法，运算时要注意展开项的符号，熟练掌握基础运算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
20. 解方程组：$\begin{cases} x + 2y = 0, \\ 3x + 4y = 6. \end{cases}$
答案
20.$\begin{cases} x=6, \\ y=-3. \end{cases}$
解析
【分析】
这是二元一次方程组求解问题，核心思路是消元，将二元方程组转化为一元方程求解。观察两个方程，第一个方程$x+2y=0$可以很容易用含$y$的式子表示$x$，所以优先选择代入消元法：先从第一个方程得到$x$关于$y$的表达式，再代入第二个方程求出$y$的值，最后将$y$的值回代求出$x$的值即可。
【解析】
先给方程组标记序号：
$\begin{cases} x + 2y = 0 \ \ \ ①, \\ 3x + 4y = 6 \ \ \ ②. \end{cases}$
由①式移项可得：$x = -2y \ \ \ ③$
把③代入②式，得：$3×(-2y) + 4y = 6$
计算左边：$-6y + 4y = 6$，合并同类项得$-2y = 6$
解得：$y = -3$
把$y=-3$代入③式，得：$x = -2×(-3) = 6$
经检验，所得结果满足原方程组两个方程。
【答案】
$\begin{cases} x=6, \\ y=-3. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考察消元思想的应用，解题时可根据方程的特征灵活选择代入消元或加减消元法，计算过程中要注意符号运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
这是二元一次方程组求解问题，核心思路是消元，将二元方程组转化为一元方程求解。观察两个方程，第一个方程$x+2y=0$可以很容易用含$y$的式子表示$x$，所以优先选择代入消元法：先从第一个方程得到$x$关于$y$的表达式，再代入第二个方程求出$y$的值，最后将$y$的值回代求出$x$的值即可。
【解析】
先给方程组标记序号：
$\begin{cases} x + 2y = 0 \ \ \ ①, \\ 3x + 4y = 6 \ \ \ ②. \end{cases}$
由①式移项可得：$x = -2y \ \ \ ③$
把③代入②式，得：$3×(-2y) + 4y = 6$
计算左边：$-6y + 4y = 6$，合并同类项得$-2y = 6$
解得：$y = -3$
把$y=-3$代入③式，得：$x = -2×(-3) = 6$
经检验，所得结果满足原方程组两个方程。
【答案】
$\begin{cases} x=6, \\ y=-3. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考察消元思想的应用，解题时可根据方程的特征灵活选择代入消元或加减消元法，计算过程中要注意符号运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
21.解不等式组：$\begin{cases}2x + 1 ≥ x + 2, ① \\2x - 1 ＜ \frac{1}{2}(x + 4). ②\end{cases}$
答案
21. 解不等式①,得$x≥1$,
解不等式②,得$x＜2$,
故原不等式组的解集为$1≤x＜2.$
解不等式②,得$x＜2$,
故原不等式组的解集为$1≤x＜2.$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。解题时先处理不等式①，通过移项合并同类项求出其解集；再处理不等式②，先去分母消去分数，再通过移项、系数化为1求出解集，最后结合两个解集的范围确定公共部分即可。
【解析】
解：先求解不等式①：
$2x + 1 ≥ x + 2$
移项得：$2x - x ≥ 2 - 1$
合并同类项得：$x ≥ 1$
再求解不等式②：
$2x - 1 ＜ \frac{1}{2}(x + 4)$
两边同时乘2消去分母，得：$4x - 2 ＜ x + 4$
移项得：$4x - x ＜ 4 + 2$
合并同类项得：$3x ＜ 6$
系数化为1得：$x ＜ 2$
取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集。
【答案】
$1≤x＜2$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题是解不等式组的基础题型，主要考查一元一次不等式的运算规则和公共解集的判断方法，运算时注意移项要变号、去分母时不要漏乘常数项，熟练掌握相关运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。解题时先处理不等式①，通过移项合并同类项求出其解集；再处理不等式②，先去分母消去分数，再通过移项、系数化为1求出解集，最后结合两个解集的范围确定公共部分即可。
【解析】
解：先求解不等式①：
$2x + 1 ≥ x + 2$
移项得：$2x - x ≥ 2 - 1$
合并同类项得：$x ≥ 1$
再求解不等式②：
$2x - 1 ＜ \frac{1}{2}(x + 4)$
两边同时乘2消去分母，得：$4x - 2 ＜ x + 4$
移项得：$4x - x ＜ 4 + 2$
合并同类项得：$3x ＜ 6$
系数化为1得：$x ＜ 2$
取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集。
【答案】
$1≤x＜2$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题是解不等式组的基础题型，主要考查一元一次不等式的运算规则和公共解集的判断方法，运算时注意移项要变号、去分母时不要漏乘常数项，熟练掌握相关运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
22.如图，$DE // BC$，$BE$平分$∠ ABC$，$∠ C = 60°$，$∠ ABC = 70°$，求$∠ BED$与$∠ BEC$的度数。
答案
22. $\because BE$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ CBE=\dfrac{1}{2}∠ ABC=\dfrac{1}{2}×70°=35°.$
$\because DE// BC,\therefore ∠ BED=∠ CBE=35°.$
$\therefore ∠ BEC=180°-∠ C-∠ CBE=180°-60°-35°=85°.$
$\therefore ∠ CBE=\dfrac{1}{2}∠ ABC=\dfrac{1}{2}×70°=35°.$
$\because DE// BC,\therefore ∠ BED=∠ CBE=35°.$
$\therefore ∠ BEC=180°-∠ C-∠ CBE=180°-60°-35°=85°.$
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①首先利用角平分线的定义，结合已知的∠ABC的度数，先求出∠CBE的度数；②再根据DE//BC的条件，运用平行线的内错角相等的性质，可直接得到∠BED与∠CBE相等，即可求出∠BED的度数；③最后在△BEC中，利用三角形内角和为180°的定理，减去已知的∠C和已求出的∠CBE的度数，就能算出∠BEC的度数。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，
∴$∠ CBE=\dfrac{1}{2}∠ ABC=\dfrac{1}{2}×70°=35°$，
∵$DE// BC$，
∴$∠ BED=∠ CBE=35°$（两直线平行，内错角相等），
在$△ BEC$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BEC=180°-∠ C-∠ CBE=180°-60°-35°=85°$。
【答案】
$∠ BED=35°$，$∠ BEC=85°$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何角度计算类题目，解题核心是准确识别角之间的位置与数量关系，熟练运用相关性质定理逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题可按以下思路逐步推导：①首先利用角平分线的定义，结合已知的∠ABC的度数，先求出∠CBE的度数；②再根据DE//BC的条件，运用平行线的内错角相等的性质，可直接得到∠BED与∠CBE相等，即可求出∠BED的度数；③最后在△BEC中，利用三角形内角和为180°的定理，减去已知的∠C和已求出的∠CBE的度数，就能算出∠BEC的度数。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，
∴$∠ CBE=\dfrac{1}{2}∠ ABC=\dfrac{1}{2}×70°=35°$，
∵$DE// BC$，
∴$∠ BED=∠ CBE=35°$（两直线平行，内错角相等），
在$△ BEC$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BEC=180°-∠ C-∠ CBE=180°-60°-35°=85°$。
【答案】
$∠ BED=35°$，$∠ BEC=85°$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何角度计算类题目，解题核心是准确识别角之间的位置与数量关系，熟练运用相关性质定理逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8
23. 已知 $ P = \dfrac{99^9}{9^{99}} $，$ Q = \dfrac{11^9}{9^{90}} $，试说明 $ P = Q $。
答案
23. $Q=\dfrac{11^9}{9^{90}}=\dfrac{11^9×9^9}{9^{90}×9^9}=\dfrac{(11×9)^9}{9^{90+9}}=\dfrac{99^9}{9^{99}}=P.$
解析
【分析】
要证明$P=Q$，可以对其中一个式子进行恒等变形，转化为和另一个式子完全相同的形式。观察两个式子的分母，$P$的分母是$9^{99}$，$Q$的分母是$9^{90}$，根据同底数幂的乘法规则可知$9^{99}=9^{90}×9^9$，因此可利用分式的基本性质，将$Q$的分子、分母同时乘$9^9$，再结合幂的运算性质化简，验证化简结果是否和$P$一致即可。
【解析】
对$Q$进行变形：
根据分式的基本性质，分子和分母同时乘$9^9$，得：
$Q=\dfrac{11^9}{9^{90}}=\dfrac{11^9×9^9}{9^{90}×9^9}$
根据积的乘方逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，分子可化为$(11×9)^9=99^9$；
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，分母可化为$9^{90+9}=9^{99}$；
因此化简后得$Q=\dfrac{99^9}{9^{99}}$，和$P$的表达式完全相同，故$P=Q$。
【答案】
$Q=\dfrac{11^9}{9^{90}}=\dfrac{11^9×9^9}{9^{90}×9^9}=\dfrac{(11×9)^9}{9^{90+9}}=\dfrac{99^9}{9^{99}}=P$，因此$P=Q$成立。
【知识点】
分式的基本性质，同底数幂的乘法，积的乘方逆运算
【点评】
本题是幂的运算性质和分式基本性质的综合应用题型，解题的关键是灵活运用运算规则对式子进行恒等变形，掌握基础运算公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明$P=Q$，可以对其中一个式子进行恒等变形，转化为和另一个式子完全相同的形式。观察两个式子的分母，$P$的分母是$9^{99}$，$Q$的分母是$9^{90}$，根据同底数幂的乘法规则可知$9^{99}=9^{90}×9^9$，因此可利用分式的基本性质，将$Q$的分子、分母同时乘$9^9$，再结合幂的运算性质化简，验证化简结果是否和$P$一致即可。
【解析】
对$Q$进行变形：
根据分式的基本性质，分子和分母同时乘$9^9$，得：
$Q=\dfrac{11^9}{9^{90}}=\dfrac{11^9×9^9}{9^{90}×9^9}$
根据积的乘方逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，分子可化为$(11×9)^9=99^9$；
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，分母可化为$9^{90+9}=9^{99}$；
因此化简后得$Q=\dfrac{99^9}{9^{99}}$，和$P$的表达式完全相同，故$P=Q$。
【答案】
$Q=\dfrac{11^9}{9^{90}}=\dfrac{11^9×9^9}{9^{90}×9^9}=\dfrac{(11×9)^9}{9^{90+9}}=\dfrac{99^9}{9^{99}}=P$，因此$P=Q$成立。
【知识点】
分式的基本性质，同底数幂的乘法，积的乘方逆运算
【点评】
本题是幂的运算性质和分式基本性质的综合应用题型，解题的关键是灵活运用运算规则对式子进行恒等变形，掌握基础运算公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
