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24.如图,在$3×3$的方阵图中,填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数),使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等.
(1)求$x,y$的值;
(2)在备用图中完成此方阵图.
备用图
(1)求$x,y$的值;
(2)在备用图中完成此方阵图.
备用图
答案
24. (1)由题意,得
$\begin{cases}3+4+x=x+y+2y-x, \\3-2+2y-x=3+4+x,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2)如图:
解析
【分析】
这是一道三阶幻方的应用题，解题核心是利用“每行、每列、斜对角的3个数之和均相等”的性质找等量关系。求解x和y时，先选取两组和相等的行、列或斜对角，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到x、y的值；再根据求出的x、y计算幻方的公共和，依次计算其余空缺的数，就能完成方阵填写。
【解析】
(1) 根据三阶幻方“每行、每列、斜对角的和相等”的性质可得：
第一行的和与右上到左下斜对角的和相等：$3+4+x = x + y + (2y - x)$
第一列的和与第一行的和相等：$3 + (-2) + (2y - x) = 3 + 4 + x$
联立得到方程组：
$\begin{cases}3+4+x=x+y+2y-x, \\3-2+2y-x=3+4+x,\end{cases}$
化简第一个方程得：$7+x = 3y$
化简第二个方程得：$y -x =3$
将$y=x+3$代入$7+x=3y$，解得$x=-1$，再代入$y=x+3$得$y=2$。
(2) 先计算幻方的公共和：$3+4+(-1)=6$
依次计算各空缺数：
① 第二行第三个数$a$：$-2 + 2 + a =6$，解得$a=6$
② 第三行第一个数：$2y -x = 2×2 - (-1)=5$
③ 第三行第三个数$b$：$-1+6+b=6$，解得$b=1$
④ 第三行第二个数$c$：$5 + c + 1 =6$，解得$c=0$
将上述结果填入对应位置即可。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2) 如图:
【知识点】
1. 幻方的性质
2. 二元一次方程组的应用
3. 有理数的加减运算
【点评】
本题结合幻方的性质考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是抓住幻方“各行、各列、斜对角的和相等”的特点建立等量关系，既考查了方程思想的应用，也锻炼了基础运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道三阶幻方的应用题，解题核心是利用“每行、每列、斜对角的3个数之和均相等”的性质找等量关系。求解x和y时，先选取两组和相等的行、列或斜对角，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到x、y的值；再根据求出的x、y计算幻方的公共和，依次计算其余空缺的数，就能完成方阵填写。
【解析】
(1) 根据三阶幻方“每行、每列、斜对角的和相等”的性质可得：
第一行的和与右上到左下斜对角的和相等：$3+4+x = x + y + (2y - x)$
第一列的和与第一行的和相等：$3 + (-2) + (2y - x) = 3 + 4 + x$
联立得到方程组：
$\begin{cases}3+4+x=x+y+2y-x, \\3-2+2y-x=3+4+x,\end{cases}$
化简第一个方程得：$7+x = 3y$
化简第二个方程得：$y -x =3$
将$y=x+3$代入$7+x=3y$，解得$x=-1$，再代入$y=x+3$得$y=2$。
(2) 先计算幻方的公共和：$3+4+(-1)=6$
依次计算各空缺数：
① 第二行第三个数$a$：$-2 + 2 + a =6$，解得$a=6$
② 第三行第一个数：$2y -x = 2×2 - (-1)=5$
③ 第三行第三个数$b$：$-1+6+b=6$，解得$b=1$
④ 第三行第二个数$c$：$5 + c + 1 =6$，解得$c=0$
将上述结果填入对应位置即可。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2) 如图:
【知识点】
1. 幻方的性质
2. 二元一次方程组的应用
3. 有理数的加减运算
【点评】
本题结合幻方的性质考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是抓住幻方“各行、各列、斜对角的和相等”的特点建立等量关系，既考查了方程思想的应用，也锻炼了基础运算能力。
【难度系数】
0.7
25. 传统文化 茶文化 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A，B两种不同的茶具.若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元.
(1)A，B两种茶具每套进价分别为多少元？
(2)由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A，B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的8折.如果茶具店老板此次用于购进A，B两种茶具的总费用不超过6 240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？
(1)A，B两种茶具每套进价分别为多少元？
(2)由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A，B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的8折.如果茶具店老板此次用于购进A，B两种茶具的总费用不超过6 240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？
答案
25. (1)设A种茶具每套的进价为$x$元,B种茶具每套的进价为$y$元,
由题意,得$\begin{cases}x+2y=250, \\3x+4y=600,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=100, \\y=75.\end{cases}$
故A种茶具每套的进价为100元,B种茶具每套的进价为75元.
(2)设茶具店老板购进A种茶具$m$套,则购进B种茶具$(80-m)$套,由题意,得$100×(1+8\%)m+75×0.8(80-m)≤6\ 240$,解得$m≤30$.
故茶具店老板最多能购进A种茶具30套.
由题意,得$\begin{cases}x+2y=250, \\3x+4y=600,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=100, \\y=75.\end{cases}$
故A种茶具每套的进价为100元,B种茶具每套的进价为75元.
(2)设茶具店老板购进A种茶具$m$套,则购进B种茶具$(80-m)$套,由题意,得$100×(1+8\%)m+75×0.8(80-m)≤6\ 240$,解得$m≤30$.
故茶具店老板最多能购进A种茶具30套.
解析
【分析】
第(1)问已知两种不同购进组合的总费用，存在两个明确的等量关系，我们可以设A、B两种茶具的进价为未知数，列二元一次方程组求解。第(2)问已知总购进数量和进价调整规则，总费用不超过6240元是不等关系，设购进A种茶具的数量为m，用含m的式子表示B种茶具的数量，再根据总费用限制列一元一次不等式，解出m的取值范围后取最大正整数即可得到答案。
【解析】
(1) 设A种茶具每套的进价为$x$元，B种茶具每套的进价为$y$元，由题意得：
$\begin{cases}x+2y=250 \\3x+4y=600\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$2x+4y=500$，用第二个方程减去该式可得：
$3x+4y-(2x+4y)=600-500$，解得$x=100$
把$x=100$代入$x+2y=250$，得$100+2y=250$，解得$y=75$
(2) 设茶具店老板购进A种茶具$m$套，则购进B种茶具$(80-m)$套，由题意得：
$100×(1+8\%)m+75×0.8(80-m)≤6240$
化简得：$108m+60(80-m)≤6240$
展开合并得：$48m≤1440$
解得：$m≤30$
【答案】
(1)A种茶具每套进价为100元，B种茶具每套进价为75元；
(2)茶具店老板最多能购进A种茶具30套。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合茶文化的传统文化背景，考查方程与不等式在实际问题中的应用，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列式求解，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
第(1)问已知两种不同购进组合的总费用，存在两个明确的等量关系，我们可以设A、B两种茶具的进价为未知数，列二元一次方程组求解。第(2)问已知总购进数量和进价调整规则，总费用不超过6240元是不等关系，设购进A种茶具的数量为m，用含m的式子表示B种茶具的数量，再根据总费用限制列一元一次不等式，解出m的取值范围后取最大正整数即可得到答案。
【解析】
(1) 设A种茶具每套的进价为$x$元，B种茶具每套的进价为$y$元，由题意得：
$\begin{cases}x+2y=250 \\3x+4y=600\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$2x+4y=500$，用第二个方程减去该式可得：
$3x+4y-(2x+4y)=600-500$，解得$x=100$
把$x=100$代入$x+2y=250$，得$100+2y=250$，解得$y=75$
(2) 设茶具店老板购进A种茶具$m$套，则购进B种茶具$(80-m)$套，由题意得：
$100×(1+8\%)m+75×0.8(80-m)≤6240$
化简得：$108m+60(80-m)≤6240$
展开合并得：$48m≤1440$
解得：$m≤30$
【答案】
(1)A种茶具每套进价为100元，B种茶具每套进价为75元；
(2)茶具店老板最多能购进A种茶具30套。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合茶文化的传统文化背景，考查方程与不等式在实际问题中的应用，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列式求解，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
26. 新情境 构建方程模型解决实际问题 钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价：
(1)根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
(2)钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案。
(1)根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
(2)钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案。
答案
26. (1)设出售竹篮$x$个,陶罐$y$个,
依题意,得$\begin{cases}5x+12y=61, \\6x+10y=60,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5, \\y=3.\end{cases}$
故出售竹篮5个,陶罐3个.
(2)设购买鲜花$a$束,依题意,得$0＜61-5a≤20$,解得$8.2≤ a＜12.2$.
$\because a$为整数,
$\therefore$共有4种购买方案,方案一:购买鲜花9束;方案二:购买鲜花10束;方案三:购买鲜花11束;方案四:购买鲜花12束.
依题意,得$\begin{cases}5x+12y=61, \\6x+10y=60,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5, \\y=3.\end{cases}$
故出售竹篮5个,陶罐3个.
(2)设购买鲜花$a$束,依题意,得$0＜61-5a≤20$,解得$8.2≤ a＜12.2$.
$\because a$为整数,
$\therefore$共有4种购买方案,方案一:购买鲜花9束;方案二:购买鲜花10束;方案三:购买鲜花11束;方案四:购买鲜花12束.
解析
【分析】
(1) 本题可通过构建二元一次方程组求解，首先找到两个等量关系：①按钟钟的报价，竹篮总售价+陶罐总售价=61元；②按姗姗的报价，竹篮总售价+陶罐总售价=60元。设竹篮、陶罐的数量分别为x、y，将对应单价代入等量关系列方程组，求解即可得到两种物品的数量。
(2) 第二问属于不等式的实际应用，已知总钱数为61元，鲜花单价为5元/束，剩余的钱需满足大于0且不超过20元，设购买鲜花a束，根据“剩余钱数=总钱数-买花总花费”列不等式，解不等式后取正整数解，即可得到所有购买方案。
【解析】
(1) 设出售竹篮$x$个，陶罐$y$个，
依题意列方程组：
$\begin{cases}5x+12y=61\\6x+10y=60\end{cases}$
先将第二个方程化简为$3x+5y=30$，变形得$x=\frac{30-5y}{3}$，代入第一个方程：
$5×\frac{30-5y}{3}+12y=61$
两边同乘3得$150-25y+36y=183$，解得$11y=33$，即$y=3$。
将$y=3$代入$x=\frac{30-5y}{3}$，得$x=5$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$。
(2) 设购买鲜花$a$束，
根据剩余钱数的要求列不等式：
$0＜61-5a≤20$
分别解不等式两侧：
$61-5a＞0$，解得$a＜12.2$；
$61-5a≤20$，解得$a≥8.2$。
因此不等式解集为$8.2≤a＜12.2$，
由于$a$为正整数，所以$a$可取9、10、11、12，对应4种购买方案。
【答案】
(1) 出售竹篮5个，陶罐3个；
(2) 共有4种购买方案：方案一：购买鲜花9束；方案二：购买鲜花10束；方案三：购买鲜花11束；方案四：购买鲜花12束。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、方案设计
【点评】
本题结合生活中的跳蚤市场交易情境出题，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，同时注意实际问题中未知数的取值需为正整数。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可通过构建二元一次方程组求解，首先找到两个等量关系：①按钟钟的报价，竹篮总售价+陶罐总售价=61元；②按姗姗的报价，竹篮总售价+陶罐总售价=60元。设竹篮、陶罐的数量分别为x、y，将对应单价代入等量关系列方程组，求解即可得到两种物品的数量。
(2) 第二问属于不等式的实际应用，已知总钱数为61元，鲜花单价为5元/束，剩余的钱需满足大于0且不超过20元，设购买鲜花a束，根据“剩余钱数=总钱数-买花总花费”列不等式，解不等式后取正整数解，即可得到所有购买方案。
【解析】
(1) 设出售竹篮$x$个，陶罐$y$个，
依题意列方程组：
$\begin{cases}5x+12y=61\\6x+10y=60\end{cases}$
先将第二个方程化简为$3x+5y=30$，变形得$x=\frac{30-5y}{3}$，代入第一个方程：
$5×\frac{30-5y}{3}+12y=61$
两边同乘3得$150-25y+36y=183$，解得$11y=33$，即$y=3$。
将$y=3$代入$x=\frac{30-5y}{3}$，得$x=5$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$。
(2) 设购买鲜花$a$束，
根据剩余钱数的要求列不等式：
$0＜61-5a≤20$
分别解不等式两侧：
$61-5a＞0$，解得$a＜12.2$；
$61-5a≤20$，解得$a≥8.2$。
因此不等式解集为$8.2≤a＜12.2$，
由于$a$为正整数，所以$a$可取9、10、11、12，对应4种购买方案。
【答案】
(1) 出售竹篮5个，陶罐3个；
(2) 共有4种购买方案：方案一：购买鲜花9束；方案二：购买鲜花10束；方案三：购买鲜花11束；方案四：购买鲜花12束。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、方案设计
【点评】
本题结合生活中的跳蚤市场交易情境出题，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，同时注意实际问题中未知数的取值需为正整数。
【难度系数】
0.7
