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16. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E为DB延长线上一点，且满足∠AEB=2∠DBC，则$\frac{BE}{BD}$的值为________.
答案
解：连接AC交BD于点O，过点A作$AF⊥BD$于点F，如图所示：
设$AB=a$，
∴$AD=2AB=2a$，
在矩形ABCD中，$OA=OD=OB=OC=\frac{1}{2}BD$，$∠BAD=90°$，
∴$∠DBC=∠OCB$，
∵$∠AOE$是$△OBC$的外角，
∴$∠AOE=∠DBC+∠OCB=∠DBC$，
∵$∠AEB=2∠DBC$，
∴$∠AOE=∠AEB$，
∴$OA=EA$，
∵$AF⊥BD$，
∴$OF=EF$，
在$Rt△ABD$中，$AB=a$，$AD=2a$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{5}a$，
∴$OB=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{5}a}{2}$，
由三角形的面积公式得：$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AF=\frac{1}{2}AB·AD$，
∴$AF=\frac{AB·AD}{BD}=\frac{a×2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}a}{5}$，
在$Rt△OAF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OA^2 - AF^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}a}{2})^2 - (\frac{2\sqrt{5}a}{5})^2}=\frac{3\sqrt{5}a}{10}$，
∴$OF=EF=\frac{3\sqrt{5}a}{10}$，
∴$OE=OF+EF=\frac{3\sqrt{5}a}{5}$，
∴$BE=OE - OB=\frac{3\sqrt{5}a}{5} - \frac{\sqrt{5}a}{2}=\frac{\sqrt{5}a}{10}$，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{5}a}{10}}{\sqrt{5}a}=\frac{1}{10}$。
故答案为：$\frac{1}{10}$。
设$AB=a$，
∴$AD=2AB=2a$，
在矩形ABCD中，$OA=OD=OB=OC=\frac{1}{2}BD$，$∠BAD=90°$，
∴$∠DBC=∠OCB$，
∵$∠AOE$是$△OBC$的外角，
∴$∠AOE=∠DBC+∠OCB=∠DBC$，
∵$∠AEB=2∠DBC$，
∴$∠AOE=∠AEB$，
∴$OA=EA$，
∵$AF⊥BD$，
∴$OF=EF$，
在$Rt△ABD$中，$AB=a$，$AD=2a$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{5}a$，
∴$OB=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{5}a}{2}$，
由三角形的面积公式得：$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AF=\frac{1}{2}AB·AD$，
∴$AF=\frac{AB·AD}{BD}=\frac{a×2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}a}{5}$，
在$Rt△OAF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OA^2 - AF^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}a}{2})^2 - (\frac{2\sqrt{5}a}{5})^2}=\frac{3\sqrt{5}a}{10}$，
∴$OF=EF=\frac{3\sqrt{5}a}{10}$，
∴$OE=OF+EF=\frac{3\sqrt{5}a}{5}$，
∴$BE=OE - OB=\frac{3\sqrt{5}a}{5} - \frac{\sqrt{5}a}{2}=\frac{\sqrt{5}a}{10}$，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{5}a}{10}}{\sqrt{5}a}=\frac{1}{10}$。
故答案为：$\frac{1}{10}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过添加辅助线（连接矩形对角线AC、作AF⊥BD），利用矩形的性质得到线段和角度关系，结合等腰三角形的判定与性质，再用勾股定理计算各线段长度，最终求出BE与BD的比值。具体思路：1. 设AB=a，根据AD=2AB得AD=2a，利用矩形对角线性质得到OA=OB；2. 利用外角性质推出∠AOE=2∠DBC，结合已知条件∠AEB=2∠DBC，判定OA=EA；3. 由等腰三角形三线合一得OF=EF，再通过面积法、勾股定理计算各线段长度，进而求出BE，最后计算比值。
【解析】
连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，设AB=a，则AD=2a。
∵四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，
∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，即OA=OB=OD=OC。
又
∵AD//BC，
∴∠DBC=∠ADB，且∠DBC=∠ACB，
∴∠AOE是△OBC的外角，故∠AOE=∠DBC+∠ACB=2∠DBC。
已知∠AEB=2∠DBC，因此∠AOE=∠AEB，可得OA=EA。
∵AF⊥BD，根据等腰三角形三线合一，F为OE中点，即OF=EF。
在Rt△ABD中，由勾股定理：
BD=√(AB²+AD²)=√(a²+(2a)²)=√5 a，
∴OA=OB=1/2 BD=√5 a/2。
由△ABD面积公式：1/2 BD·AF=1/2 AB·AD，得：
AF=(AB·AD)/BD=(a·2a)/√5 a=2√5 a/5。
在Rt△OAF中，由勾股定理：
OF=√(OA² - AF²)=√[( (√5 a/2)² - (2√5 a/5)² )]=√[(5a²/4)-(4a²/5)]=3√5 a/10。
∴EF=OF=3√5 a/10，OE=OF+EF=3√5 a/5。
则BE=OE - OB=3√5 a/5 - √5 a/2=√5 a/10。
∴BE/BD=(√5 a/10)/(√5 a)=1/10。
【答案】
1/10
【知识点】
矩形性质、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查矩形、勾股定理及等腰三角形的相关知识，关键是通过角度关系推导出OA=EA，利用等腰三角形三线合一简化计算，需要学生具备较强的几何推理能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们可以通过添加辅助线（连接矩形对角线AC、作AF⊥BD），利用矩形的性质得到线段和角度关系，结合等腰三角形的判定与性质，再用勾股定理计算各线段长度，最终求出BE与BD的比值。具体思路：1. 设AB=a，根据AD=2AB得AD=2a，利用矩形对角线性质得到OA=OB；2. 利用外角性质推出∠AOE=2∠DBC，结合已知条件∠AEB=2∠DBC，判定OA=EA；3. 由等腰三角形三线合一得OF=EF，再通过面积法、勾股定理计算各线段长度，进而求出BE，最后计算比值。
【解析】
连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，设AB=a，则AD=2a。
∵四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，
∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，即OA=OB=OD=OC。
又
∵AD//BC，
∴∠DBC=∠ADB，且∠DBC=∠ACB，
∴∠AOE是△OBC的外角，故∠AOE=∠DBC+∠ACB=2∠DBC。
已知∠AEB=2∠DBC，因此∠AOE=∠AEB，可得OA=EA。
∵AF⊥BD，根据等腰三角形三线合一，F为OE中点，即OF=EF。
在Rt△ABD中，由勾股定理：
BD=√(AB²+AD²)=√(a²+(2a)²)=√5 a，
∴OA=OB=1/2 BD=√5 a/2。
由△ABD面积公式：1/2 BD·AF=1/2 AB·AD，得：
AF=(AB·AD)/BD=(a·2a)/√5 a=2√5 a/5。
在Rt△OAF中，由勾股定理：
OF=√(OA² - AF²)=√[( (√5 a/2)² - (2√5 a/5)² )]=√[(5a²/4)-(4a²/5)]=3√5 a/10。
∴EF=OF=3√5 a/10，OE=OF+EF=3√5 a/5。
则BE=OE - OB=3√5 a/5 - √5 a/2=√5 a/10。
∴BE/BD=(√5 a/10)/(√5 a)=1/10。
【答案】
1/10
【知识点】
矩形性质、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查矩形、勾股定理及等腰三角形的相关知识，关键是通过角度关系推导出OA=EA，利用等腰三角形三线合一简化计算，需要学生具备较强的几何推理能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
17.（8分）计算：
（1）$\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3}$；
（2）$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})$。
（1）$\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3}$；
（2）$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})$。
答案
解：（1）$\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3}$
$=3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$
$=0$；
（2）$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})$
$=16 - 7$
$=9$。
$=3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$
$=0$；
（2）$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})$
$=16 - 7$
$=9$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，第（1）问需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；第（2）问可利用平方差公式简化计算，无需逐项展开，解题核心是掌握二次根式化简规则与平方差公式的应用。
【解析】
（1）先化简二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，代入原式得：
$\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3}=3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}=(3-2-1)\sqrt{3}=0$；
（2）利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=4$，$b=\sqrt{7}$得：
$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})=4^2 - (\sqrt{7})^2=16 - 7=9$。
【答案】
解：（1）$\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3}$
$=3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$
$=0$；
（2）$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})$
$=16 - 7$
$=9$。
【知识点】
二次根式的化简与合并、平方差公式
【点评】
本题为二次根式运算的基础题，侧重考查基本运算规则的应用，解题时需注意二次根式化简的准确性，以及平方差公式的正确使用，整体难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的运算，第（1）问需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；第（2）问可利用平方差公式简化计算，无需逐项展开，解题核心是掌握二次根式化简规则与平方差公式的应用。
【解析】
（1）先化简二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，代入原式得：
$\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3}=3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}=(3-2-1)\sqrt{3}=0$；
（2）利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=4$，$b=\sqrt{7}$得：
$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})=4^2 - (\sqrt{7})^2=16 - 7=9$。
【答案】
解：（1）$\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{3}$
$=3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$
$=0$；
（2）$(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})$
$=16 - 7$
$=9$。
【知识点】
二次根式的化简与合并、平方差公式
【点评】
本题为二次根式运算的基础题，侧重考查基本运算规则的应用，解题时需注意二次根式化简的准确性，以及平方差公式的正确使用，整体难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.7
18.（8分）如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$、$F$、$G$、$H$ 分别是 $AO$、$BO$、$CO$、$DO$ 的中点.
（1）求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形；
（2）若$□ EFGH$ 的周长为 $2$，则$□ ABCD$ 的周长是________.
（1）求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形；
（2）若$□ EFGH$ 的周长为 $2$，则$□ ABCD$ 的周长是________.
答案
解：（1）证明：点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
∴EF、GH分别为$△OAB$、$△OCD$的中位线，
∴$EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$GH// CD$，$GH=\frac{1}{2}CD$，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∴$EF=GH$，$EF// GH$，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：由（1）可知：$EF=\frac{1}{2}AB$，$GH=\frac{1}{2}CD$，
同理可得：$FG=\frac{1}{2}BC$，$EH=\frac{1}{2}AD$，
∵$□EFGH$的周长为2，
∴$EF+FG+GH+EH=2$，
∴$□ABCD$的周长$=AB+BC+CD+AD=2×(EF+FG+GH+EH)=4$，
故答案为：4。
∴EF、GH分别为$△OAB$、$△OCD$的中位线，
∴$EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$GH// CD$，$GH=\frac{1}{2}CD$，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∴$EF=GH$，$EF// GH$，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：由（1）可知：$EF=\frac{1}{2}AB$，$GH=\frac{1}{2}CD$，
同理可得：$FG=\frac{1}{2}BC$，$EH=\frac{1}{2}AD$，
∵$□EFGH$的周长为2，
∴$EF+FG+GH+EH=2$，
∴$□ABCD$的周长$=AB+BC+CD+AD=2×(EF+FG+GH+EH)=4$，
故答案为：4。
解析
【分析】
要证明四边形EFGH是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，结合三角形中位线定理和平行四边形ABCD的对边关系推导；对于周长计算，利用中位线长度与对应边的数量关系，由EFGH的周长求出ABCD的周长。
【解析】
（1）证明：
∵点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，GH是△OCD的中位线，
根据三角形中位线定理，得$EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$GH// CD$，$GH=\frac{1}{2}CD$，
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∴$EF=GH$，且$EF// GH$，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：同理，FG是△OBC的中位线，EH是△OAD的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}BC$，$EH=\frac{1}{2}AD$，
∵平行四边形EFGH的周长为2，
∴$EF+FG+GH+EH=2$，
则平行四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=2EF + 2FG + 2GH + 2EH = 2(EF+FG+GH+EH)=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，解题关键是利用中点得到中位线，结合平行四边形对边的特征推导，属于基础题型，侧重对核心定理的应用。
【难度系数】
0.6
要证明四边形EFGH是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，结合三角形中位线定理和平行四边形ABCD的对边关系推导；对于周长计算，利用中位线长度与对应边的数量关系，由EFGH的周长求出ABCD的周长。
【解析】
（1）证明：
∵点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，GH是△OCD的中位线，
根据三角形中位线定理，得$EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$GH// CD$，$GH=\frac{1}{2}CD$，
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∴$EF=GH$，且$EF// GH$，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：同理，FG是△OBC的中位线，EH是△OAD的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}BC$，$EH=\frac{1}{2}AD$，
∵平行四边形EFGH的周长为2，
∴$EF+FG+GH+EH=2$，
则平行四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=2EF + 2FG + 2GH + 2EH = 2(EF+FG+GH+EH)=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，解题关键是利用中点得到中位线，结合平行四边形对边的特征推导，属于基础题型，侧重对核心定理的应用。
【难度系数】
0.6
19.（8分）在“4•23世界读书日”来临之际，某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取部分学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间t（单位：分钟），将收集的数据分为A、B、C、D、E五个等级，绘制成如下不完整统计图表.
平均每天阅读时间统计表
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）直接写出$a=$
（2）这组数据的中位数所在的等级是
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校共有2000名学生，请你估计可评为“阅读达人”的学生人数.
平均每天阅读时间扇形统计图
平均每天阅读时间统计表
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）直接写出$a=$
40
，$b=$65
；（2）这组数据的中位数所在的等级是
D等级
；（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校共有2000名学生，请你估计可评为“阅读达人”的学生人数.
平均每天阅读时间扇形统计图
答案
解：（1）
∵D级的人数为80人，占比为40%，
∴样本容量$=80÷40\%=200$，
∵C级人数的占比为20%，
∴$a=20\%×200=40$，
∴$b=200 - 5 - 10 - 40 - 80=65$
故答案为：40，65；
（2）根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级，它们的平均数也在D等级。
故答案为：D等级；
（3）$2000×\frac{65}{200}=650$（人），
答：估计可评为“阅读达人”的学生人数为650人。
∵D级的人数为80人，占比为40%，
∴样本容量$=80÷40\%=200$，
∵C级人数的占比为20%，
∴$a=20\%×200=40$，
∴$b=200 - 5 - 10 - 40 - 80=65$
故答案为：40，65；
（2）根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级，它们的平均数也在D等级。
故答案为：D等级；
（3）$2000×\frac{65}{200}=650$（人），
答：估计可评为“阅读达人”的学生人数为650人。
解析
【分析】
本题是统计类应用题，解题思路如下：
1. 求a、b：先根据D等级的人数和占比算出样本总容量，再利用C等级的占比计算a，最后用总容量减去其他等级人数得到b；
2. 确定中位数所在等级：总样本数为200，中位数是排序后第100、101个数据的平均数，通过计算前几个等级的总人数，判断这两个数据所在的等级；
3. 估计“阅读达人”人数：先算出样本中“阅读达人”的人数占比，再乘以全校总人数得到结果。
【解析】
（1）计算样本容量：已知D级人数为80，占比40%，则样本总容量=80÷40%=200；
C级占比20%，故a=200×20%=40；
b=总容量 - A级人数 - B级人数 - C级人数 - D级人数=200 -5 -10 -40 -80=65；
（2）总样本数为200，中位数是第100个和第101个数据的平均数；
A级5人，B级10人，C级40人，前三个等级总人数=5+10+40=55；
D级人数80，即第56到135个数据属于D等级，因此第100、101个数据都在D等级，中位数所在等级为D；
（3）样本中“阅读达人”（不低于50分钟，对应E等级）人数为65，占比为$\frac{65}{200}$；
全校2000名学生中，“阅读达人”人数估计为$2000×\frac{65}{200}=650$（人）。
【答案】
（1）40，65；（2）D等级；（3）650人
【知识点】
统计图表、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计的基础应用，核心是利用统计图表获取数据，掌握样本容量计算、中位数判断、用样本估计总体的方法，属于常规基础题，需理清数据间的关系。
【难度系数】
0.7
本题是统计类应用题，解题思路如下：
1. 求a、b：先根据D等级的人数和占比算出样本总容量，再利用C等级的占比计算a，最后用总容量减去其他等级人数得到b；
2. 确定中位数所在等级：总样本数为200，中位数是排序后第100、101个数据的平均数，通过计算前几个等级的总人数，判断这两个数据所在的等级；
3. 估计“阅读达人”人数：先算出样本中“阅读达人”的人数占比，再乘以全校总人数得到结果。
【解析】
（1）计算样本容量：已知D级人数为80，占比40%，则样本总容量=80÷40%=200；
C级占比20%，故a=200×20%=40；
b=总容量 - A级人数 - B级人数 - C级人数 - D级人数=200 -5 -10 -40 -80=65；
（2）总样本数为200，中位数是第100个和第101个数据的平均数；
A级5人，B级10人，C级40人，前三个等级总人数=5+10+40=55；
D级人数80，即第56到135个数据属于D等级，因此第100、101个数据都在D等级，中位数所在等级为D；
（3）样本中“阅读达人”（不低于50分钟，对应E等级）人数为65，占比为$\frac{65}{200}$；
全校2000名学生中，“阅读达人”人数估计为$2000×\frac{65}{200}=650$（人）。
【答案】
（1）40，65；（2）D等级；（3）650人
【知识点】
统计图表、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计的基础应用，核心是利用统计图表获取数据，掌握样本容量计算、中位数判断、用样本估计总体的方法，属于常规基础题，需理清数据间的关系。
【难度系数】
0.7
