9. 甲、乙两车沿直路同向匀速行驶，现甲车在乙车前 500 米处，设 $ x $ 秒后两车相距 $ y $ 米，$ y $ 与 $ x $ 的函数关系如图所示，则乙车在整个运动过程中行驶的路程是（）


A.3500 米
B.3200 米
C.4375 米
D.4000 米

解：设乙车的速度为$x$米/秒，甲车的速度为$y$米/秒，根据题意得：
$\begin{cases}100(m - n)=500\\(160 - 100)(m - n)=(175 - 160)n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=25\\n=20\end{cases}$，
即乙车的速度为25米/秒，甲车的速度为20米/秒，
∴乙车在整个运动过程中行驶的路程是：$25×160=4000$（米），
故选：D。

【分析】
首先，题目中甲车初始在乙车前500米，函数图像反映了两车距离随时间的变化：0~100秒两车距离从500米变为0，说明此时间段乙车追上甲车，因此乙车与甲车的速度差×100秒=初始距离500米；100秒后两车相遇，乙车超过甲车，160秒时两车距离为a，160~175秒两车距离回到0，说明160秒时的距离a等于乙车15秒行驶的路程，也等于100秒后到160秒这60秒内乙比甲多走的路程，据此可联立方程求出两车速度，再计算乙车总路程。
【解析】
设乙车速度为$ m $米/秒，甲车速度为$ n $米/秒。
1. 0~100秒乙车追上甲车，可得：$ 100(m - n) = 500 $，化简得$ m - n = 5 $；
2. 100秒到160秒共60秒，乙比甲多走的距离为$ a $；160~175秒共15秒，乙车行驶距离为$ a $，因此$ a = 15n $，同时$ a = 60(m - n) $；
3. 将$ m - n =5 $代入$ a =60(m - n) $，得$ a=300 $，再代入$ a=15n $，解得$ n=20 $，则$ m =20 +5=25 $；
4. 由图像可知乙车总行驶时间为160秒，因此乙车行驶的路程为：$ 25×160=4000 $（米）。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用、行程问题
【点评】
本题结合一次函数图像分析同向行程问题，关键是从图像中提取两车的速度差、时间等信息，通过联立方程求解速度，进而计算路程，需理解图像各段对应的实际运动过程。
【难度系数】
0.5

10. 如图，正方形ABCD的边长为3，E为边BC上的动点，过点E作EF⊥AE，且EF=AE，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径长为（）


A.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$6$
D.$6\sqrt{2}$

解：过点F作$FH⊥BC$交BC的延长线于点H，连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ABC=90°=∠BCD$，
∴$∠AEB+∠BAE=90°$，
∵$EF⊥AE$，$FH⊥BH$，
∴$∠AEB+∠FEH=90°$，
∴$∠BAE=∠FEH$，
∵$EF=AE$，
∴$△ABE≌△EHF$（AAS），
∴$AB=EH$，$BE=FH$，
∵$AB=BC=EH$，$BE+EC=BC$，$CH+EC=EH$，
∴$BE=CH=FH$，
∴$△CEH$是等腰直角三角形，
∴$∠FCH=45°$，
∴CF平分$∠DCH$，即点F在$∠DCH$的角平分线上运动，
以DC为边，在DC右侧作正方形DCMG，连接CG，$∠M=90°$，
在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形DCMG的对角线CG，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴$CM=CD=GM=3$，
∴$CG=\sqrt{CM^2 + MG^2}=3\sqrt{2}$，即点F运动的路径长为$3\sqrt{2}$，
故选：B。

【分析】
要确定点F运动的路径长，需先找到点F的运动轨迹。通过作辅助线构造全等三角形，利用正方形的性质和全等三角形的判定推导点F的位置规律，进而确定其运动路径，最后计算路径长度。
【解析】
过点F作$FH⊥BC$，交BC的延长线于点H。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC=3$，$∠ABC=∠BCD=90°$，
∴$∠BAE + ∠AEB = 90°$。
∵$EF⊥AE$，
∴$∠AEF=90°$，
∴$∠AEB + ∠FEH = 180° - ∠AEF = 90°$，
∴$∠BAE = ∠FEH$。
在△ABE和△EHF中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠EHF = 90° \\∠BAE = ∠HEF \\AE = EF\end{array} $
∴$△ABE ≌ △EHF$（AAS），
∴$AB = EH = 3$，$BE = FH$。
∵$EH = EC + CH$，$BC = BE + EC = 3$，
∴$CH = EH - EC = 3 - EC$，$BE = 3 - EC$，
∴$CH = BE = FH$，
∴△FCH为等腰直角三角形，$∠FCH = 45°$，即点F在定直线（$∠DCH$的角平分线）上运动。
当点E在B处时，对应F点为C；当点E在C处时，对应F点坐标可由全等推导得，此时两点间的线段即为F的运动路径，计算得路径长为$\sqrt{(6-3)^2 + (3-0)^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、动点路径问题
【点评】
本题通过构造全等三角形确定动点轨迹，是几何动点问题的典型题型，需熟练运用正方形和全等三角形性质推导轨迹，进而计算路径长度，考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5

11. 计算$\sqrt{(-2)^2}$的结果是________.

解：法一、$\sqrt{(-2)^2}$
$=|-2|$
$=2$；
法二、$\sqrt{(-2)^2}$
$=\sqrt{4}$
$=2$。
故答案为：2。

【分析】计算$\sqrt{(-2)^2}$时，需明确二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，且算术平方根的结果为非负数。解题思路有两种：一是直接利用二次根式的性质，将根号内的平方转化为绝对值，再计算绝对值；二是先计算根号内的平方，再求该结果的算术平方根，两种方法均可得到正确结果，需注意避免误将结果算为-2。
【解析】
法一：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$；
法二：先计算根号内的平方：
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$。
【答案】2
【知识点】二次根式的性质
【点评】本题考查二次根式的基本性质，属于基础题，核心是掌握算术平方根的非负性，易错点是忽略二次根式结果的非负性，出现计算错误。
【难度系数】0.8

12. 一次演讲比赛中，评委按演讲内容占40%，演讲能力占40%，演讲效果占20%，计算选手的综合成绩（百分制），选手甲的单项成绩如表所示，则选手甲的最后得分是.

解：选手甲的最后得分为$90×40\%+90×40\%+95×20\%=91$（分），
故答案为：91分。

【分析】本题需利用加权平均数计算选手的综合成绩，解题思路为：根据题目给定的演讲内容、演讲能力、演讲效果的权重，将选手甲的各单项成绩分别乘以对应权重，再把乘积相加，即可得到综合成绩。
【解析】根据加权平均数的计算公式，选手甲的最后得分计算如下：
$\begin{aligned}&90×40\% + 90×40\% + 95×20\%\\=&90×0.4 + 90×0.4 + 95×0.2\\=&36 + 36 + 19\\=&91\end{aligned}$
【答案】91分
【知识点】加权平均数
【点评】本题结合实际比赛场景考查加权平均数的计算，属于基础应用题型，重点是掌握加权平均数的计算方法，难度较低。
【难度系数】0.7

13. 如图，直线$y=kx+2$与$x$轴交于点（－1，0），则不等式$kx+2≥0$的解集是________.

解：
∵直线$y=kx+2$与$x$轴交于点$(-1, 0)$，由函数图象可知，当$x≥-1$时函数图象不在x轴的下方，
∴不等式$kx+2≥0$的解集是$x≥-1$。
故答案为：$x≥-1$。

【分析】要解不等式$kx+2≥0$，可将其转化为一次函数$y=kx+2$的函数值$y≥0$的问题，对应函数图象在x轴及上方部分的自变量$x$的取值范围。已知直线与x轴交于$(-1,0)$，观察图象可知直线呈上升趋势，因此当$x≥-1$时，函数图象在x轴及上方，即$y≥0$，对应不等式的解集。
【解析】1. 不等式$kx+2≥0$的几何意义是：一次函数$y=kx+2$的图象在x轴（$y=0$）及上方时，自变量$x$的取值范围。
2. 由题可知直线$y=kx+2$与x轴交于$(-1,0)$，且图象呈上升趋势，因此当$x≥-1$时，函数值$y=kx+2≥0$，满足不等式$kx+2≥0$。
【答案】$x≥-1$
【知识点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象
【点评】本题利用一次函数图象求解一元一次不等式，核心是掌握函数值符号与图象位置的对应关系，属于基础题型，需准确从图象中提取交点信息和走势。
【难度系数】0.6

14. 菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，则该菱形的面积为 .

解：
∵菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，
∴菱形的面积：$\frac{1}{2}×6×8=24$，
故答案为：24。

【分析】首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，该公式的依据是菱形的对角线互相垂直，可将菱形分割为4个全等的直角三角形，通过计算直角三角形面积之和推导得出。本题已知两条对角线的具体长度，直接代入公式即可求出面积。
【解析】
∵菱形的面积公式为$\frac{1}{2}×$两条对角线长度的乘积，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，
∴该菱形的面积为：$\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】24
【知识点】菱形的面积计算
【点评】本题考查菱形面积的基础计算，直接运用核心公式即可快速求解，属于基础题，侧重对基础知识点的掌握。
【难度系数】0.9

15. 已知点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$为函数$y=|x-2|$图象上两点，下列结论：
①函数的最小值为0；
②当$x_1＜x_2≤2$时，$y_1＜y_2$；
③若$x_1+x_2=4$，则$y_1=y_2$；
④若方程$|x-2|-1=kx-4k$有两个解，且都满足$-1＜x≤3$，则$k$的取值范围是$0≤ k＜\dfrac{1}{2}$；
其中正确的结论是________.（填写序号）

解：①当$x=2$时，函数$y=|x - 2|=0$，故函数的最小值为0，原说法正确；
②当$x_1＜x_2≤2$时，$y$随$x$的增大而减小，故$y_1＞y_2$，原说法错误，
③函数图象对称轴为直线$x=2$，若$x_1+x_2=4$，则有$y_1=y_2$，原说法正确；
④将方程转化为$|x - 2|=kx - 4k+1$，需分情况讨论：
当$k=0$时，方程$|x - 2|=1$，解得$x=1$或$x=3$，满足$-1＜x≤3$，
当$k＞0$时，直线与$y=x - 2$的交点，解得$x=\frac{3 - 4k}{1 - k}$，需满足$x≥2$且$x≤3$；
直线与$y=2 - x$的交点，解得$x=\frac{4k+1}{1 + k}$，需满足$x＜2$且$x＞-1$；
当$k$趋于$\frac{1}{2}$时，交点趋于$x=2$，此时方程仅有一个解，故$k＜\frac{1}{2}$。
当$k＜0$时，直线与绝对值函数可能无交点或交点超出范围，
综上分析，$k$的取值范围为$0≤k＜\frac{1}{2}$，原说法正确。
故正确的选项有①③④。
故答案为：①③④。

【分析】首先明确函数$y=|x-2|$的图象是顶点在$(2,0)$、对称轴为直线$x=2$的V型折线，当$x≥2$时函数为$y=x-2$（单调递增），当$x＜2$时函数为$y=2-x$（单调递减）。接下来逐个分析四个结论：①找函数最小值，顶点处$y=0$；②判断$x_1＜x_2≤2$时的函数增减性；③利用对称轴性质判断$x_1+x_2=4$时的函数值关系；④将方程转化为绝对值函数与直线的交点问题，分情况讨论$k$的取值范围。
【解析】
解：①对于函数$y=|x-2|$，当$x=2$时，$y=|2-2|=0$，这是函数的最小值，故①正确；
②当$x_1＜x_2≤2$时，函数$y=|x-2|=2-x$，$y$随$x$的增大而减小，因此$y_1＞y_2$，故②错误；
③函数$y=|x-2|$的对称轴为直线$x=2$，若$x_1+x_2=4$，则两点横坐标关于直线$x=2$对称，对应纵坐标相等，即$y_1=y_2$，故③正确；
④方程$|x-2|-1=kx-4k$变形为$|x-2|=k(x-4)+1$，即函数$y=|x-2|$与直线$y=k(x-4)+1$的交点问题：
当$k=0$时，方程为$|x-2|=1$，解得$x=1$或$x=3$，均满足$-1＜x≤3$，符合条件；
当$k＞0$时，直线与$y=x-2(x≥2)$的交点需满足$x≥2$且$x≤3$，与$y=2-x(x＜2)$的交点需满足$-1＜x＜2$；当$k$趋近于$\frac{1}{2}$时，交点趋近于$x=2$，方程仅有一个解，故$k＜\frac{1}{2}$；
当$k＜0$时，直线与绝对值函数的交点可能超出$-1＜x≤3$范围，不符合条件；
综上，$k$的取值范围是$0≤k＜\frac{1}{2}$，故④正确。
因此，正确的结论是①③④。
【答案】①③④
【知识点】绝对值函数的图像与性质、一次函数与绝对值函数的交点问题
【点评】本题综合考查绝对值函数的基本性质及函数交点的应用，需掌握绝对值函数的分段特征和对称轴性质，分情况讨论直线与绝对值函数的交点，难度适中。
【难度系数】0.5