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20.（8分）如图，直线$l_1$：$y=x+2$与直线$l_2$：$y=-2x+8$交于点$A$.
（1）直接写出点$A$的坐标是________；
（2）$T(t, 0)$为$x$轴上一动点，过点$T$作$x$轴的垂线分别交$l_1$、$l_2$于点$C$、$D$，当$CD=3$时，求$t$的值.
（1）直接写出点$A$的坐标是________；
（2）$T(t, 0)$为$x$轴上一动点，过点$T$作$x$轴的垂线分别交$l_1$、$l_2$于点$C$、$D$，当$CD=3$时，求$t$的值.
答案
解：（1）联立解析式得$\begin{cases}y = x + 2\\y = - 2x + 8\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$，
∴$A(2, 4)$，
故答案为：$(2, 4)$；
（2）设$C(t, t+2)$，$D(t, -2t+8)$，
∴$CD=|t+2 - (-2t+8)|=3$，
解得$t=1$或$t=3$。
解得$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$，
∴$A(2, 4)$，
故答案为：$(2, 4)$；
（2）设$C(t, t+2)$，$D(t, -2t+8)$，
∴$CD=|t+2 - (-2t+8)|=3$，
解得$t=1$或$t=3$。
解析
【分析】
要解决这道题，分两步思考：
1. 求两直线交点A的坐标：交点处两个函数的y值相等，因此联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可得到A的横、纵坐标；
2. 求t的值：点T(t,0)在x轴上，过T作x轴垂线，该垂线上所有点的横坐标都为t，因此分别代入两条直线的解析式，可得到C、D的坐标；由于CD垂直于x轴，线段CD的长度等于两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解t。
【解析】
（1）求交点A的坐标：
联立直线$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y = x + 2 \\y = -2x + 8\end{cases}$
将两式相等得：$x + 2 = -2x + 8$，
移项合并：$3x = 6$，解得$x = 2$，
代入$y = x + 2$得$y = 4$，
∴点A的坐标为$(2, 4)$。
（2）求t的值：
∵点T(t,0)，过T作x轴垂线，
∴点C在$l_1$上，坐标为$(t, t + 2)$；点D在$l_2$上，坐标为$(t, -2t + 8)$。
∵CD垂直于x轴，
∴线段CD的长度为两点纵坐标差的绝对值：
$CD = |(t + 2) - (-2t + 8)| = |3t - 6|$，
已知$CD = 3$，则：
$|3t - 6| = 3$，
去绝对值得：$3t - 6 = 3$或$3t - 6 = -3$，
解得$t = 3$或$t = 1$。
【答案】
（1）$(2, 4)$；（2）$t = 1$或$t = 3$
【知识点】
一次函数交点、一次函数图像上的点坐标、垂直坐标轴的线段长度
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考查联立解析式求交点坐标，以及利用垂直于x轴的线段长度特征列方程求解，步骤清晰，难度较低，适合巩固一次函数的基本知识点。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分两步思考：
1. 求两直线交点A的坐标：交点处两个函数的y值相等，因此联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可得到A的横、纵坐标；
2. 求t的值：点T(t,0)在x轴上，过T作x轴垂线，该垂线上所有点的横坐标都为t，因此分别代入两条直线的解析式，可得到C、D的坐标；由于CD垂直于x轴，线段CD的长度等于两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解t。
【解析】
（1）求交点A的坐标：
联立直线$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y = x + 2 \\y = -2x + 8\end{cases}$
将两式相等得：$x + 2 = -2x + 8$，
移项合并：$3x = 6$，解得$x = 2$，
代入$y = x + 2$得$y = 4$，
∴点A的坐标为$(2, 4)$。
（2）求t的值：
∵点T(t,0)，过T作x轴垂线，
∴点C在$l_1$上，坐标为$(t, t + 2)$；点D在$l_2$上，坐标为$(t, -2t + 8)$。
∵CD垂直于x轴，
∴线段CD的长度为两点纵坐标差的绝对值：
$CD = |(t + 2) - (-2t + 8)| = |3t - 6|$，
已知$CD = 3$，则：
$|3t - 6| = 3$，
去绝对值得：$3t - 6 = 3$或$3t - 6 = -3$，
解得$t = 3$或$t = 1$。
【答案】
（1）$(2, 4)$；（2）$t = 1$或$t = 3$
【知识点】
一次函数交点、一次函数图像上的点坐标、垂直坐标轴的线段长度
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考查联立解析式求交点坐标，以及利用垂直于x轴的线段长度特征列方程求解，步骤清晰，难度较低，适合巩固一次函数的基本知识点。
【难度系数】
0.6
21.（8分）如图是由小正方形组成的$9×10$网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形$ABCD$的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图。
（1）如图1，先过点$C$作$CE⊥AB$于$E$，再过点$E$作直线$l$，使直线$l$平分四边形$ABCD$的面积；
（2）如图2，$F$是$AD$上一点，先在$AB$上找一点$Q$，使$AQ=AF$，连接$CQ$，再过点$B$作$BH// CQ$交$DC$的延长线于点$H$。
（1）如图1，先过点$C$作$CE⊥AB$于$E$，再过点$E$作直线$l$，使直线$l$平分四边形$ABCD$的面积；
（2）如图2，$F$是$AD$上一点，先在$AB$上找一点$Q$，使$AQ=AF$，连接$CQ$，再过点$B$作$BH// CQ$交$DC$的延长线于点$H$。
答案
解：（1）如图1，CE即为所求。
由图可知，$AB=BC=CD=AD$，
∴四边形ABCD为菱形。
连接AC，BD相交于点O，作直线EO，
则直线EO即为所求的直线l。
（2）如图2，连接AC，BD相交于点O，连接FO并延长，交BC于点G，连接AG交BD于点H，连接CH并延长，交AB于点Q，
则点Q即为所求。
取BC的中点K，连接QK并延长，交DC的延长线于点H，连接BH，
则BH即为所求。
解析
【分析】
（1）先通过网格中各边的长度，用勾股定理判断四边形ABCD是菱形，菱形的面积被过其对角线交点的直线平分。先在AB上作点E使CE⊥AB，再找到菱形对角线的交点O，连接EO即可得到平分面积的直线l。
（2）对于在AB上找Q使AQ=AF，结合菱形的对角线交点及格点特征，通过连接相关线段确定Q点；再利用格点的平行关系，找到BH使BH//CQ。
【解析】
（1）①判断四边形ABCD：在网格中，由勾股定理计算得AB=BC=CD=AD，故四边形ABCD是菱形；②作CE⊥AB：根据网格的垂直方向，找到格点E，使CE⊥AB；③找对角线交点：连接AC、BD，交于点O，菱形的面积被过中心O的直线平分，因此连接EO，直线EO即为所求的直线l。
（2）①确定Q点：连接AC、BD交于O，连接FO并延长交BC于G，连接AG交BD于H，连接CH并延长交AB于Q，此时AQ=AF，Q即为所求；②作BH//CQ：取BC中点K，连接QK并延长，交DC的延长线于点H，连接BH，此时BH//CQ，即为所求。
【答案】
（1）CE、直线l（EO）如图1所示；（2）Q、BH如图2所示。
【知识点】
菱形的性质、网格作图、垂直与平行线
【点评】
本题以网格为载体，考查菱形的性质及几何作图，需灵活运用菱形的对称性、面积平分的特点，结合格点的位置关系完成作图，重点考查学生的几何应用能力和作图能力。
【难度系数】
0.5
（1）先通过网格中各边的长度，用勾股定理判断四边形ABCD是菱形，菱形的面积被过其对角线交点的直线平分。先在AB上作点E使CE⊥AB，再找到菱形对角线的交点O，连接EO即可得到平分面积的直线l。
（2）对于在AB上找Q使AQ=AF，结合菱形的对角线交点及格点特征，通过连接相关线段确定Q点；再利用格点的平行关系，找到BH使BH//CQ。
【解析】
（1）①判断四边形ABCD：在网格中，由勾股定理计算得AB=BC=CD=AD，故四边形ABCD是菱形；②作CE⊥AB：根据网格的垂直方向，找到格点E，使CE⊥AB；③找对角线交点：连接AC、BD，交于点O，菱形的面积被过中心O的直线平分，因此连接EO，直线EO即为所求的直线l。
（2）①确定Q点：连接AC、BD交于O，连接FO并延长交BC于G，连接AG交BD于H，连接CH并延长交AB于Q，此时AQ=AF，Q即为所求；②作BH//CQ：取BC中点K，连接QK并延长，交DC的延长线于点H，连接BH，此时BH//CQ，即为所求。
【答案】
（1）CE、直线l（EO）如图1所示；（2）Q、BH如图2所示。
【知识点】
菱形的性质、网格作图、垂直与平行线
【点评】
本题以网格为载体，考查菱形的性质及几何作图，需灵活运用菱形的对称性、面积平分的特点，结合格点的位置关系完成作图，重点考查学生的几何应用能力和作图能力。
【难度系数】
0.5
