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1. 一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是(
A.$x_1 + x_2 = -4$
B.$x_1 + x_2 = 3$
C.$x_1 x_2 = 4$
D.$x_1 x_2 = 3$
D
).A.$x_1 + x_2 = -4$
B.$x_1 + x_2 = 3$
C.$x_1 x_2 = 4$
D.$x_1 x_2 = 3$
答案
D [解析]
∵一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,
∴$a=1,b=-4,c=3$,
∴由一元二次方程根与系数的关系,得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$,$x_1 · x_2=\frac{c}{a}=3$. 故选 D.
∵一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,
∴$a=1,b=-4,c=3$,
∴由一元二次方程根与系数的关系,得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$,$x_1 · x_2=\frac{c}{a}=3$. 故选 D.
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先明确对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两个实数根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题时第一步先从给定的方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，尤其要注意系数的正负号；第二步将$a$、$b$、$c$代入根与系数的关系公式，分别计算出两根之和与两根之积；第三步将计算结果和四个选项逐一对比，选出正确结论即可。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，
将方程与一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）对应，可得：$a=1$，$b=-4$，$c=3$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-4)}{1} = 4$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$。
对比选项：A、B选项的两根之和结论错误，C选项的两根之积结论错误，只有D选项正确。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对一元二次方程根与系数关系的掌握程度，解题时要格外注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先明确对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两个实数根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题时第一步先从给定的方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，尤其要注意系数的正负号；第二步将$a$、$b$、$c$代入根与系数的关系公式，分别计算出两根之和与两根之积；第三步将计算结果和四个选项逐一对比，选出正确结论即可。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，
将方程与一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）对应，可得：$a=1$，$b=-4$，$c=3$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-4)}{1} = 4$，
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$。
对比选项：A、B选项的两根之和结论错误，C选项的两根之积结论错误，只有D选项正确。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对一元二次方程根与系数关系的掌握程度，解题时要格外注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.8
2.若$x_1,x_2$是方程$x^2-5x+3=0$的两个根，则$x_1+x_2$的值是（
A.3
B.5
C.$-15$
D.15
B
）.A.3
B.5
C.$-15$
D.15
答案
B
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要求两根之和时无需解方程求出具体的根，只需先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的二次项系数$a$、一次项系数$b$，再代入两根之和的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可。
【解析】
首先确定方程$x^2-5x+3=0$的各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系：若$x_1,x_2$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
将$a=1$、$b=-5$代入公式可得：$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，是对一元二次方程根与系数关系的直接应用，解题时要注意准确识别一次项系数的符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要求两根之和时无需解方程求出具体的根，只需先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的二次项系数$a$、一次项系数$b$，再代入两根之和的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可。
【解析】
首先确定方程$x^2-5x+3=0$的各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系：若$x_1,x_2$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
将$a=1$、$b=-5$代入公式可得：$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，是对一元二次方程根与系数关系的直接应用，解题时要注意准确识别一次项系数的符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.9
3. 若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为(
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
C
).A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
C [解析]
∵方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$,
∴$x_1+x_2=1$,$x_1 x_2=-2$,
∴$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)=-2×1=-2$. 故选 C.
∵方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$,
∴$x_1+x_2=1$,$x_1 x_2=-2$,
∴$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)=-2×1=-2$. 故选 C.
解析
【分析】
本题是求一元二次方程两根的对称式的值，解题时无需解出方程的两个实根，优先考虑利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先先对所求的代数式进行因式分解，将其转化为含两根之和、两根之积的形式，再根据已知方程的系数求出两根之和与两根之积，最后代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
对所求代数式因式分解得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-2$代入上式得：
原式$=-2×1=-2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解
3. 代数式求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系，同时能准确对所求对称式进行变形，不需要求解方程的具体根即可快速算出结果，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
本题是求一元二次方程两根的对称式的值，解题时无需解出方程的两个实根，优先考虑利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先先对所求的代数式进行因式分解，将其转化为含两根之和、两根之积的形式，再根据已知方程的系数求出两根之和与两根之积，最后代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
对所求代数式因式分解得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-2$代入上式得：
原式$=-2×1=-2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解
3. 代数式求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系，同时能准确对所求对称式进行变形，不需要求解方程的具体根即可快速算出结果，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$两根为$x_1, x_2$，且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$p$的值为（
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
A
）.A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
答案
A [解析]
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$两根为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=-2$,$x_1 x_2=p$.
∵$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$,
∴$\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=3$,即$\frac{-2}{p}=3$,解得 $p=-\frac{2}{3}$. 故选 A.
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$两根为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=-2$,$x_1 x_2=p$.
∵$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$,
∴$\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=3$,即$\frac{-2}{p}=3$,解得 $p=-\frac{2}{3}$. 故选 A.
解析
【分析】
遇到给出一元二次方程两根及两根相关代数式求值的问题，首先想到用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和、两根之积，再将待求的倒数和通分，转化为用两根和、两根积表示的形式，最后代入数值计算即可，注意作为分母的两根之积不能为0。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$两根为$x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-2$，$x_1 x_2=p$，
∵$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，
对左边通分变形得：$\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=3$，
将$x_1+x_2=-2$，$x_1 x_2=p$代入得：$\frac{-2}{p}=3$，
解得$p=-\frac{2}{3}$，经检验$p=-\frac{2}{3}≠0$，符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式通分化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将待求的两根倒数和转化为两根之和与两根之积的表达形式，熟练掌握韦达定理和分式化简技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到给出一元二次方程两根及两根相关代数式求值的问题，首先想到用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和、两根之积，再将待求的倒数和通分，转化为用两根和、两根积表示的形式，最后代入数值计算即可，注意作为分母的两根之积不能为0。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$两根为$x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-2$，$x_1 x_2=p$，
∵$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，
对左边通分变形得：$\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=3$，
将$x_1+x_2=-2$，$x_1 x_2=p$代入得：$\frac{-2}{p}=3$，
解得$p=-\frac{2}{3}$，经检验$p=-\frac{2}{3}≠0$，符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式通分化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将待求的两根倒数和转化为两根之和与两根之积的表达形式，熟练掌握韦达定理和分式化简技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$，则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C [解析]由方程$x(x+2)-3=0$,得$x^2 + 2x - 3 = 0$. 两根之和为$-\frac{2}{1}=-2$,两根之积为$\frac{-3}{1}=-3$.
∴$m,n$都为负数,
∴点$(m,n)$在第三象限. 故选 C.
∴$m,n$都为负数,
∴点$(m,n)$在第三象限. 故选 C.
解析
【分析】
解决本题可按三步思考：首先，将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定对应系数$a、b、c$的值；其次，利用一元二次方程根与系数的关系，分别算出两根之和$m$与两根之积$n$；最后，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据根与系数的关系：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
可得$m＜0$，$n＜0$，横、纵坐标均为负的点位于第三象限，因此点$(m,n)$在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系，象限坐标特征，一元二次方程化简
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程与平面直角坐标系的知识点结合考查，难度不高，解题时需注意先将方程化为一般形式，计算两根和、积时要留意符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
解决本题可按三步思考：首先，将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定对应系数$a、b、c$的值；其次，利用一元二次方程根与系数的关系，分别算出两根之和$m$与两根之积$n$；最后，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据根与系数的关系：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
可得$m＜0$，$n＜0$，横、纵坐标均为负的点位于第三象限，因此点$(m,n)$在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系，象限坐标特征，一元二次方程化简
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程与平面直角坐标系的知识点结合考查，难度不高，解题时需注意先将方程化为一般形式，计算两根和、积时要留意符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
6. 若关于$x$的方程$x^2 + (m^2 - 3)x + m + 1 = 0$的两根互为相反数，则$m$的值是(
A.$\pm\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$-1$
C
)。A.$\pm\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$-1$
答案
C
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，根据“互为相反数的两数之和为0”，结合一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的方程，求出m的初步取值；第二步，结合一元二次方程有两个实根的前提（判别式≥0），验证初步得到的m值是否符合要求，排除增根后即可得到正确结果。
【解析】
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，由两根互为相反数可得$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 + (m^2 - 3)x + m + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=m^2-3$，因此：
$-(m^2 - 3) = 0$
解得$m^2=3$，即$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$。
接下来验证判别式：一元二次方程有两个实根需满足$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入得：
$\Delta=(m^2 - 3)^2 - 4×1×(m+1)$
将$m^2=3$代入，得$\Delta=0 - 4(m+1)≥0$，解得$m≤-1$。
对比候选值：$\sqrt{3}≈1.732＞-1$，不符合要求，舍去；$-\sqrt{3}≈-1.732＜-1$，符合要求。
因此$m=-\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式；相反数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，易错点是求出m的初步取值后忽略根的判别式验证，直接误选A。解题时要牢记：涉及一元二次方程两根的问题，需先保证方程有实根，求出参数后注意验证合理性。
【难度系数】
0.6
解题时可分两步思考：第一步，根据“互为相反数的两数之和为0”，结合一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的方程，求出m的初步取值；第二步，结合一元二次方程有两个实根的前提（判别式≥0），验证初步得到的m值是否符合要求，排除增根后即可得到正确结果。
【解析】
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，由两根互为相反数可得$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 + (m^2 - 3)x + m + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=m^2-3$，因此：
$-(m^2 - 3) = 0$
解得$m^2=3$，即$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$。
接下来验证判别式：一元二次方程有两个实根需满足$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入得：
$\Delta=(m^2 - 3)^2 - 4×1×(m+1)$
将$m^2=3$代入，得$\Delta=0 - 4(m+1)≥0$，解得$m≤-1$。
对比候选值：$\sqrt{3}≈1.732＞-1$，不符合要求，舍去；$-\sqrt{3}≈-1.732＜-1$，符合要求。
因此$m=-\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式；相反数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，易错点是求出m的初步取值后忽略根的判别式验证，直接误选A。解题时要牢记：涉及一元二次方程两根的问题，需先保证方程有实根，求出参数后注意验证合理性。
【难度系数】
0.6
7. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是(
A.$x^2 + 6x + 5 = 0$
B.$x^2 -7x +10 =0$
C.$x^2 -5x +2 =0$
D.$x^2 -6x -10 =0$
B
).A.$x^2 + 6x + 5 = 0$
B.$x^2 -7x +10 =0$
C.$x^2 -5x +2 =0$
D.$x^2 -6x -10 =0$
答案
B
解析
【分析】
解题时可利用一元二次方程根与系数的关系求解，思路如下：首先明确两人写错的系数类型：小影仅写错常数项，说明她求解用的方程二次项、一次项系数和原方程一致，因此她得到的两根之和符合原方程的系数关系；小冬仅写错一次项系数，说明他求解用的方程二次项、常数项和原方程一致，因此他得到的两根之积符合原方程的系数关系。先计算正确的两根之和推导一次项系数，再计算正确的两根之积推导常数项，即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$（二次项系数为1，与选项形式一致）。
① 计算一次项系数$b$：
小影得到的两根为6和1，她的一次项系数正确，根据根与系数的关系，两根之和等于$-b$：
$6 + 1 = -b$，解得$b = -7$。
② 计算常数项$c$：
小冬得到的两根为$-2$和$-5$，他的常数项正确，根据根与系数的关系，两根之积等于$c$：
$(-2) × (-5) = c$，解得$c = 10$。
因此原方程为$x^2 -7x +10 = 0$。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，一元二次方程的构造
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是抓住“仅写错某一类系数时，另一类系数对应的根的运算量是正确的”这一关键点，无需重复解方程，通过两根和、积即可快速推导原方程，能有效考查对知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可利用一元二次方程根与系数的关系求解，思路如下：首先明确两人写错的系数类型：小影仅写错常数项，说明她求解用的方程二次项、一次项系数和原方程一致，因此她得到的两根之和符合原方程的系数关系；小冬仅写错一次项系数，说明他求解用的方程二次项、常数项和原方程一致，因此他得到的两根之积符合原方程的系数关系。先计算正确的两根之和推导一次项系数，再计算正确的两根之积推导常数项，即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$（二次项系数为1，与选项形式一致）。
① 计算一次项系数$b$：
小影得到的两根为6和1，她的一次项系数正确，根据根与系数的关系，两根之和等于$-b$：
$6 + 1 = -b$，解得$b = -7$。
② 计算常数项$c$：
小冬得到的两根为$-2$和$-5$，他的常数项正确，根据根与系数的关系，两根之积等于$c$：
$(-2) × (-5) = c$，解得$c = 10$。
因此原方程为$x^2 -7x +10 = 0$。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，一元二次方程的构造
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是抓住“仅写错某一类系数时，另一类系数对应的根的运算量是正确的”这一关键点，无需重复解方程，通过两根和、积即可快速推导原方程，能有效考查对知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8.已知关于$x$的方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0$的两实数根为$x_1, x_2$，若$x_1 + x_2 = 7$，则$m$的值为(
A.$-3$
B.$3$
C.$\sqrt{7}$或$-\sqrt{7}$
D.$-\sqrt{7}$
A
).A.$-3$
B.$3$
C.$\sqrt{7}$或$-\sqrt{7}$
D.$-\sqrt{7}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确题目给出方程有两个实数根，因此第一步要先确定判别式Δ≥0，得到m的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数，结合题目给出的$x_1+x_2=7$列方程求解m的数值，最后验证求出的m是否满足判别式的取值要求，符合条件的即为正确答案。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0$有两个实数根
∴ 判别式$\Delta=(2m-1)^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$
展开计算得：$4m^2 -4m +1 -4m^2 ≥ 0$，即$-4m +1 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -(2m-1) = 1-2m$
已知$x_1+x_2=7$，可得方程：
$1-2m=7$
解得：$-2m=6$，$m=-3$
验证：$m=-3 ≤ \frac{1}{4}$，符合判别式要求，因此m的值为-3。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题的易错点是容易忽略方程有两个实数根的前提条件，求出参数后需验证是否满足判别式非负的要求，避免误选不符合条件的选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目给出方程有两个实数根，因此第一步要先确定判别式Δ≥0，得到m的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数，结合题目给出的$x_1+x_2=7$列方程求解m的数值，最后验证求出的m是否满足判别式的取值要求，符合条件的即为正确答案。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0$有两个实数根
∴ 判别式$\Delta=(2m-1)^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$
展开计算得：$4m^2 -4m +1 -4m^2 ≥ 0$，即$-4m +1 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -(2m-1) = 1-2m$
已知$x_1+x_2=7$，可得方程：
$1-2m=7$
解得：$-2m=6$，$m=-3$
验证：$m=-3 ≤ \frac{1}{4}$，符合判别式要求，因此m的值为-3。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题的易错点是容易忽略方程有两个实数根的前提条件，求出参数后需验证是否满足判别式非负的要求，避免误选不符合条件的选项。
【难度系数】
0.7
9. 若$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2026x - 2027=0$的两个实数根，则$x_1+x_2=$
2026
。答案
2026
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两个实数根的和，解题时首先想到一元二次方程根与系数的关系，无需解方程求根再计算，只需先确定一元二次方程一般形式中二次项系数a、一次项系数b的值，再代入两根之和的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可。
【解析】
解：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题中给出的方程为$x^2 - 2026x - 2027=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-2026$。
将$a$、$b$代入公式计算：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2026}{1}=2026$。
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根与系数关系的直接应用，熟练掌握两根之和对应系数的计算公式、准确识别方程各项系数即可快速得出结果，避免了解方程求根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两个实数根的和，解题时首先想到一元二次方程根与系数的关系，无需解方程求根再计算，只需先确定一元二次方程一般形式中二次项系数a、一次项系数b的值，再代入两根之和的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可。
【解析】
解：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题中给出的方程为$x^2 - 2026x - 2027=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-2026$。
将$a$、$b$代入公式计算：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2026}{1}=2026$。
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根与系数关系的直接应用，熟练掌握两根之和对应系数的计算公式、准确识别方程各项系数即可快速得出结果，避免了解方程求根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9
10. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 5 = 0$的两根，则$x_1x_2 - x_1 - x_2 =$
-7
。答案
-7
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的两根，求关于两根的代数式的值的问题，首先考虑用一元二次方程根与系数的关系求解，无需直接解出方程的根。第一步先将所求代数式变形为含两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的形式，第二步根据给定的一元二次方程求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，第三步代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - 2x - 5 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，代入公式可得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，
$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
对所求代数式变形：$x_1x_2 - x_1 - x_2 = x_1x_2 - (x_1+x_2)$，
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入得：
原式$=-5 - 2 = -7$。
【答案】
-7
【知识点】
根与系数的关系，代数式变形，整式运算
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规基础应用题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，能对所求代数式进行合理变形，无需解方程求根即可快速计算，既简化了计算过程，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程的两根，求关于两根的代数式的值的问题，首先考虑用一元二次方程根与系数的关系求解，无需直接解出方程的根。第一步先将所求代数式变形为含两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的形式，第二步根据给定的一元二次方程求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，第三步代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - 2x - 5 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，代入公式可得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，
$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
对所求代数式变形：$x_1x_2 - x_1 - x_2 = x_1x_2 - (x_1+x_2)$，
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入得：
原式$=-5 - 2 = -7$。
【答案】
-7
【知识点】
根与系数的关系，代数式变形，整式运算
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规基础应用题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，能对所求代数式进行合理变形，无需解方程求根即可快速计算，既简化了计算过程，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
11. 在平面直角坐标系中，以一元二次方程$x(x+3)-2=0$的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点的坐标为
(-3,-2)
。答案
(-3,-2)
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：第一步，先把给定的一元二次方程整理为标准的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定好系数$a、b、c$的取值；第二步，运用一元二次方程根与系数的关系，分别计算出方程两根之和、两根之积；第三步，结合题目要求，把两根之和作为横坐标、两根之积作为纵坐标，即可得到对应点的坐标。
【解析】
首先将原方程化简为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}x(x+3)-2&=0\\x^2+3x-2&=0\end{aligned}$
可得该方程的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-2$。
设该方程的两根为$x_1、x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系可知：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
按照题目的坐标规则，横坐标为两根之和，纵坐标为两根之积，因此该点的坐标为$(-3,-2)$。
【答案】
$(-3,-2)$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题的关键是先将方程化为一般形式后再确定系数，计算时要注意符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：第一步，先把给定的一元二次方程整理为标准的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定好系数$a、b、c$的取值；第二步，运用一元二次方程根与系数的关系，分别计算出方程两根之和、两根之积；第三步，结合题目要求，把两根之和作为横坐标、两根之积作为纵坐标，即可得到对应点的坐标。
【解析】
首先将原方程化简为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}x(x+3)-2&=0\\x^2+3x-2&=0\end{aligned}$
可得该方程的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-2$。
设该方程的两根为$x_1、x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系可知：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
按照题目的坐标规则，横坐标为两根之和，纵坐标为两根之积，因此该点的坐标为$(-3,-2)$。
【答案】
$(-3,-2)$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题的关键是先将方程化为一般形式后再确定系数，计算时要注意符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
12. 已知$m$，$n$是方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根，则代数式$m^2 - 2m - n$的值是
1
。答案
1
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根的定义，因为m是方程的根，代入方程可得$m^2 - m = 2$，将代数式中的高次项$m^2$降次；第二步，观察降次后代数式的结构，可变形为$(m^2 -m) - (m +n)$，此时只需根据根与系数的关系求出两根之和$m+n$，整体代入即可算出结果，也可直接求出方程的两个根，分情况代入代数式验证计算。
【解析】
方法一（整体代入法）：
∵ m是方程$x^2 - x - 2 = 0$的根，
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 2 = 0$，即$m^2 - m = 2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - x - 2 = 0$，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = 1$。
将代数式变形：
$m^2 - 2m - n = (m^2 - m) - (m + n)$
把$m^2 - m = 2$，$m + n =1$代入得：
原式$= 2 - 1 = 1$。
方法二（求根代入法）：
解方程$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
分两种情况：
① 当$m=2$，$n=-1$时，$m^2 -2m -n = 2^2 - 2×2 - (-1) = 4 -4 +1 =1$；
② 当$m=-1$，$n=2$时，$m^2 -2m -n = (-1)^2 - 2×(-1) -2 = 1 +2 -2 =1$。
综上，代数式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的常规应用题型，核心技巧是利用根的定义降次、结合根与系数的关系整体代入求值，相比直接求根代入计算更简便，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根的定义，因为m是方程的根，代入方程可得$m^2 - m = 2$，将代数式中的高次项$m^2$降次；第二步，观察降次后代数式的结构，可变形为$(m^2 -m) - (m +n)$，此时只需根据根与系数的关系求出两根之和$m+n$，整体代入即可算出结果，也可直接求出方程的两个根，分情况代入代数式验证计算。
【解析】
方法一（整体代入法）：
∵ m是方程$x^2 - x - 2 = 0$的根，
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 2 = 0$，即$m^2 - m = 2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - x - 2 = 0$，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = 1$。
将代数式变形：
$m^2 - 2m - n = (m^2 - m) - (m + n)$
把$m^2 - m = 2$，$m + n =1$代入得：
原式$= 2 - 1 = 1$。
方法二（求根代入法）：
解方程$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
分两种情况：
① 当$m=2$，$n=-1$时，$m^2 -2m -n = 2^2 - 2×2 - (-1) = 4 -4 +1 =1$；
② 当$m=-1$，$n=2$时，$m^2 -2m -n = (-1)^2 - 2×(-1) -2 = 1 +2 -2 =1$。
综上，代数式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的常规应用题型，核心技巧是利用根的定义降次、结合根与系数的关系整体代入求值，相比直接求根代入计算更简便，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
13. 设 $ x_1, x_2 $ 是方程 $ x^2 - 3x + m = 0 $ 的两个根，且 $ x_1 + 3x_2 = 5 $，则 $ m $ 的值为
2
.答案
2
解析
【分析】
解题思路如下：首先，题目给出$x_1$、$x_2$是一元二次方程的两个根，我们首先想到利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$x_1+x_2$的值；再结合已知条件$x_1+3x_2=5$，得到两个关于$x_1$、$x_2$的方程，联立求解可得出其中一个根的值；最后将求出的根代入原方程，即可计算出$m$的值。
【解析】
解：
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 3x + m = 0$的两个根
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 3$ ①
又已知$x_1 + 3x_2 = 5$ ②
用②式减去①式，得：
$(x_1 + 3x_2) - (x_1 + x_2) = 5 - 3$
化简得$2x_2 = 2$，解得$x_2 = 1$
将$x_2 = 1$代入原方程$x^2 - 3x + m = 0$，得：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
计算得$1 - 3 + m = 0$，解得$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
根与系数的关系；方程根的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是先通过韦达定理得到两根和的关系式，再联立已知等式求出方程的根，进而求得参数值，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，题目给出$x_1$、$x_2$是一元二次方程的两个根，我们首先想到利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$x_1+x_2$的值；再结合已知条件$x_1+3x_2=5$，得到两个关于$x_1$、$x_2$的方程，联立求解可得出其中一个根的值；最后将求出的根代入原方程，即可计算出$m$的值。
【解析】
解：
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 3x + m = 0$的两个根
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 3$ ①
又已知$x_1 + 3x_2 = 5$ ②
用②式减去①式，得：
$(x_1 + 3x_2) - (x_1 + x_2) = 5 - 3$
化简得$2x_2 = 2$，解得$x_2 = 1$
将$x_2 = 1$代入原方程$x^2 - 3x + m = 0$，得：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
计算得$1 - 3 + m = 0$，解得$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
根与系数的关系；方程根的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是先通过韦达定理得到两根和的关系式，再联立已知等式求出方程的根，进而求得参数值，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
14.若方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，则$(x_1 +1)(x_2 +1)$的值为
-2
。答案
-2 [解析]
∵方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=2$,$x_1 x_2=-5$.
∴$(x_1+1)(x_2+1)=x_1 x_2 + x_1 + x_2 +1=-5+2+1=-2$.
∵方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=2$,$x_1 x_2=-5$.
∴$(x_1+1)(x_2+1)=x_1 x_2 + x_1 + x_2 +1=-5+2+1=-2$.
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根构成的代数式的值，无需直接求解方程得到两根的具体数值，首先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理为用两根和、两根积表示的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$，
将所求代数式展开得：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 +1$，
把$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=-5+2+1=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式化简求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，采用整体代入的方法计算，避免了求解方程的繁琐步骤，是一元二次方程模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根构成的代数式的值，无需直接求解方程得到两根的具体数值，首先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理为用两根和、两根积表示的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$，
将所求代数式展开得：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 +1$，
把$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=-5+2+1=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式化简求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，采用整体代入的方法计算，避免了求解方程的繁琐步骤，是一元二次方程模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
15. 若一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两根为$α,β$，则$2α^2 - 3α + 3β$的值为
10
。答案
10 [解析]将$x=α$代入原方程,得$2α^2 -6α -1=0$,
∴$2α^2 -6α=1$.
∵一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,
∴$α+β=3$,
∴$2α^2 -3α +3β=(2α^2 -6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
∴$2α^2 -6α=1$.
∵一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,
∴$α+β=3$,
∴$2α^2 -3α +3β=(2α^2 -6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
解析
【分析】
本题要求含方程两根的代数式的值，解题思路分三步：首先利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程，得到含α的代数式的值，实现高次项降次；其次回忆一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和α+β的值；最后将所求代数式拆分为包含上述两个已知结论的形式，整体代入计算即可，无需直接求解方程得到α、β的具体值，简化运算。
【解析】
解：
∵α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根，
将$x=α$代入原方程，得：
$2α^2 - 6α - 1 = 0$，
∴$2α^2 - 6α = 1$。
又
∵α、β是方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3$。
对所求代数式变形可得：
$2α^2 - 3α + 3β=(2α^2 - 6α)+3α + 3β=(2α^2 - 6α)+3(α+β)$，
将$2α^2 - 6α=1$，$α+β=3$代入上式得：
原式$=1 + 3×3=1+9=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程中典型的代数式求值问题，核心解题技巧是利用根的定义降次、结合根与系数关系，通过代数式变形实现整体代入，规避了直接求根的复杂计算，是考察学生知识综合运用能力的常考题型。
【难度系数】
0.6
本题要求含方程两根的代数式的值，解题思路分三步：首先利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程，得到含α的代数式的值，实现高次项降次；其次回忆一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和α+β的值；最后将所求代数式拆分为包含上述两个已知结论的形式，整体代入计算即可，无需直接求解方程得到α、β的具体值，简化运算。
【解析】
解：
∵α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根，
将$x=α$代入原方程，得：
$2α^2 - 6α - 1 = 0$，
∴$2α^2 - 6α = 1$。
又
∵α、β是方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3$。
对所求代数式变形可得：
$2α^2 - 3α + 3β=(2α^2 - 6α)+3α + 3β=(2α^2 - 6α)+3(α+β)$，
将$2α^2 - 6α=1$，$α+β=3$代入上式得：
原式$=1 + 3×3=1+9=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程中典型的代数式求值问题，核心解题技巧是利用根的定义降次、结合根与系数关系，通过代数式变形实现整体代入，规避了直接求根的复杂计算，是考察学生知识综合运用能力的常考题型。
【难度系数】
0.6
16. 若关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 4mx + m = 0$有两个不同的实数根$x_1, x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = \frac{3}{16}$，则$m =$
$-\frac{1}{8}$
。答案
$-\frac{1}{8}$ [解析]
∵关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 4mx + m = 0$有两个不同的实数根$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=-2m$,$x_1 · x_2=\frac{m}{2}$,$Δ=b^2-4ac=(4m)^2-4×2m=16m^2-8m＞0$.
∵$x_1^2 + x_2^2=\frac{3}{16}$,
∴$(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=\frac{3}{16}$,
∴$4m^2 -2×\frac{m}{2}=\frac{3}{16}$,
∴$(8m-3)(8m+1)=0$,解得 $m_1=\frac{3}{8}$,$m_2=-\frac{1}{8}$. 当$m_1=\frac{3}{8}$时,$Δ=16×\frac{9}{64}-8×\frac{3}{8}=-\frac{3}{4}＜0$,不符合题意,舍去. 当$m_2=-\frac{1}{8}$时,$Δ=16×\frac{1}{64}-8×(-\frac{1}{8})=\frac{5}{4}＞0$,符合题意. 综上,$m=-\frac{1}{8}$.
∵关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 4mx + m = 0$有两个不同的实数根$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=-2m$,$x_1 · x_2=\frac{m}{2}$,$Δ=b^2-4ac=(4m)^2-4×2m=16m^2-8m＞0$.
∵$x_1^2 + x_2^2=\frac{3}{16}$,
∴$(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=\frac{3}{16}$,
∴$4m^2 -2×\frac{m}{2}=\frac{3}{16}$,
∴$(8m-3)(8m+1)=0$,解得 $m_1=\frac{3}{8}$,$m_2=-\frac{1}{8}$. 当$m_1=\frac{3}{8}$时,$Δ=16×\frac{9}{64}-8×\frac{3}{8}=-\frac{3}{4}＜0$,不符合题意,舍去. 当$m_2=-\frac{1}{8}$时,$Δ=16×\frac{1}{64}-8×(-\frac{1}{8})=\frac{5}{4}＞0$,符合题意. 综上,$m=-\frac{1}{8}$.
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的“一元二次方程有两个不同实数根”的条件，明确两个核心依据：1. 根的判别式Δ＞0，保证方程有两个不等实根；2. 一元二次方程根与系数的关系，可直接写出两根之和、两根之积的表达式。接下来观察待求的$x_1^2+x_2^2$，可通过完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将根与系数关系得到的式子代入变形后的等式，即可得到关于m的方程，解出m的可能值后，必须代入判别式Δ验证，舍去不符合Δ＞0的解，最终得到正确的m值。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$2x^2 + 4mx + m = 0$有两个不同的实数根$x_1,x_2$，
∴根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4m}{2}=-2m$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{2}$，
同时根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(4m)^2-4×2×m=16m^2-8m＞0$。
∵$x_1^2 + x_2^2=\frac{3}{16}$，
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得：$(-2m)^2 -2×\frac{m}{2}=\frac{3}{16}$，
整理得：$4m^2 - m=\frac{3}{16}$，即$64m^2-16m-3=0$，
因式分解得$(8m-3)(8m+1)=0$，
解得 $m_1=\frac{3}{8}$，$m_2=-\frac{1}{8}$。
检验：当$m_1=\frac{3}{8}$时，$\Delta=16×(\frac{3}{8})^2 -8×\frac{3}{8}=-\frac{3}{4}＜0$，不符合两个不同实根的条件，舍去；
当$m_2=-\frac{1}{8}$时，$\Delta=16×(-\frac{1}{8})^2 -8×(-\frac{1}{8})=\frac{5}{4}＞0$，符合题意。
综上，$m=-\frac{1}{8}$。
【答案】
$-\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，易错点是求解出m的数值后，容易忽略题目中“两个不同的实数根”的限制条件，忘记代入判别式检验，导致出现增解。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合题目给出的“一元二次方程有两个不同实数根”的条件，明确两个核心依据：1. 根的判别式Δ＞0，保证方程有两个不等实根；2. 一元二次方程根与系数的关系，可直接写出两根之和、两根之积的表达式。接下来观察待求的$x_1^2+x_2^2$，可通过完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将根与系数关系得到的式子代入变形后的等式，即可得到关于m的方程，解出m的可能值后，必须代入判别式Δ验证，舍去不符合Δ＞0的解，最终得到正确的m值。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$2x^2 + 4mx + m = 0$有两个不同的实数根$x_1,x_2$，
∴根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4m}{2}=-2m$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{2}$，
同时根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(4m)^2-4×2×m=16m^2-8m＞0$。
∵$x_1^2 + x_2^2=\frac{3}{16}$，
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得：$(-2m)^2 -2×\frac{m}{2}=\frac{3}{16}$，
整理得：$4m^2 - m=\frac{3}{16}$，即$64m^2-16m-3=0$，
因式分解得$(8m-3)(8m+1)=0$，
解得 $m_1=\frac{3}{8}$，$m_2=-\frac{1}{8}$。
检验：当$m_1=\frac{3}{8}$时，$\Delta=16×(\frac{3}{8})^2 -8×\frac{3}{8}=-\frac{3}{4}＜0$，不符合两个不同实根的条件，舍去；
当$m_2=-\frac{1}{8}$时，$\Delta=16×(-\frac{1}{8})^2 -8×(-\frac{1}{8})=\frac{5}{4}＞0$，符合题意。
综上，$m=-\frac{1}{8}$。
【答案】
$-\frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，易错点是求解出m的数值后，容易忽略题目中“两个不同的实数根”的限制条件，忘记代入判别式检验，导致出现增解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17.设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
17.设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
(1)把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,
∴$m=±\sqrt{6}$.
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2 -3x -4=0$.
∴$(x-4)(x+1)=0$.
∴$x_1=-1$,$x_2=4$.
∴$x_2=4$,$m=±\sqrt{6}$.
(2)方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2 -3x +2 -m^2=0$.
∵$Δ=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$,即$x^2 -3x +2 -m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=3$,$x_1 · x_2=2-m^2$.
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1 x_2 -(x_1+x_2)+1=2-m^2 -3 +1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
∴$m=±\sqrt{6}$.
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2 -3x -4=0$.
∴$(x-4)(x+1)=0$.
∴$x_1=-1$,$x_2=4$.
∴$x_2=4$,$m=±\sqrt{6}$.
(2)方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2 -3x +2 -m^2=0$.
∵$Δ=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$,即$x^2 -3x +2 -m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=3$,$x_1 · x_2=2-m^2$.
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1 x_2 -(x_1+x_2)+1=2-m^2 -3 +1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
解析
【分析】
（1）已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程根的定义，将$x_1$代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程即可求出另一根$x_2$。
（2）要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，把两根和、两根积代入化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
∴$m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代回原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，
整理得$x^2 -3x -4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2 -3x +2 -m^2=0$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$，因此方程总有两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=3$，$x_1 · x_2=2-m^2$，
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 -(x_1+x_2)+1$，
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$代入上式：
原式$=2-m^2 -3 +1=-m^2$，
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，既考查了代入求值、解一元二次方程的基础运算能力，也考查了利用根与系数关系进行代数变形、逻辑证明的能力，是该模块的典型常考题。
【难度系数】
0.7
（1）已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程根的定义，将$x_1$代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程即可求出另一根$x_2$。
（2）要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，把两根和、两根积代入化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
∴$m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代回原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，
整理得$x^2 -3x -4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2 -3x +2 -m^2=0$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$，因此方程总有两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=3$，$x_1 · x_2=2-m^2$，
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 -(x_1+x_2)+1$，
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$代入上式：
原式$=2-m^2 -3 +1=-m^2$，
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，既考查了代入求值、解一元二次方程的基础运算能力，也考查了利用根与系数关系进行代数变形、逻辑证明的能力，是该模块的典型常考题。
【难度系数】
0.7
