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8. (2025·扬州)为角逐市校园“音乐达人”大赛,小红和小丽参加了校内选拔赛,10位评委的评分情况如下(单位:分).
表1 评委评分数据
|选手|评委评分|
| ---- | ---- |
|小红|7 8 7 8 7 7 7 8 7 9|
|小丽|7 7 6 8 8 8 8 8 7 8|
表2 评委评分数据分析
|选手|平均数|中位数|众数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|小红|7.5|b|7|
|小丽|a|8|c|
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表2中$a=$
(2)你认为小红和小丽谁的成绩较好?请说明理由.
表1 评委评分数据
|选手|评委评分|
| ---- | ---- |
|小红|7 8 7 8 7 7 7 8 7 9|
|小丽|7 7 6 8 8 8 8 8 7 8|
表2 评委评分数据分析
|选手|平均数|中位数|众数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|小红|7.5|b|7|
|小丽|a|8|c|
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表2中$a=$
7.5
,$b=$7
,$c=$8
;(2)你认为小红和小丽谁的成绩较好?请说明理由.
答案
(1)7.5 7 8
(2)解:小丽的成绩较好,理由如下:
因为两个人的平均数相同,但小丽的成绩的中位数和众数均高于小红,所以小丽的成绩较好.
(2)解:小丽的成绩较好,理由如下:
因为两个人的平均数相同,但小丽的成绩的中位数和众数均高于小红,所以小丽的成绩较好.
解析
【分析】
这道题是统计模块的基础应用题，解题思路如下：
1. 第一问求三个统计量：首先求小丽的平均数a，直接用所有评分的总和除以评委总人数10即可；接着求小红的中位数b，需要先把小红的10个评分从小到大排序，偶数个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均值；最后求小丽的众数c，只需统计小丽所有评分里出现次数最多的分数即可。
2. 第二问比较两人成绩，先对比两人的平均数，发现二者平均数相等，说明平均水平一致，此时再结合中位数、众数的数值大小，判断谁的整体得分表现更优，就能得出结论。
【解析】
(1) 计算a：小丽的评分总和为$7+7+6+8+8+8+8+8+7+8=75$，总共有10个评分，因此平均数$a=\frac{75}{10}=7.5$。
计算b：先将小红的评分从小到大排序：7、7、7、7、7、7、8、8、8、9，共10个数据，取排序后第5位和第6位的数求平均，即$b=\frac{7+7}{2}=7$。
计算c：统计小丽各分数出现的次数：6出现1次，7出现3次，8出现6次，出现次数最多的是8，因此众数$c=8$。
(2) 对比两人的统计量：小红和小丽的平均数均为7.5，二人的平均得分水平相同，但小丽的中位数是8、众数是8，均高于小红的中位数7、众数7，说明小丽的整体得分表现更好。
【答案】
(1)7.5 7 8
(2)小丽的成绩较好,理由如下:因为两个人的平均数相同,但小丽的成绩的中位数和众数均高于小红,所以小丽的成绩较好.
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，统计量数据分析
【点评】
本题属于统计部分的基础考题，核心考察三个常用统计量的计算规则和实际意义，易错点是计算中位数前忘记对原始数据排序，整体难度低，能帮助学生理解不同统计量在实际场景中的对比作用。
【难度系数】
0.8
这道题是统计模块的基础应用题，解题思路如下：
1. 第一问求三个统计量：首先求小丽的平均数a，直接用所有评分的总和除以评委总人数10即可；接着求小红的中位数b，需要先把小红的10个评分从小到大排序，偶数个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均值；最后求小丽的众数c，只需统计小丽所有评分里出现次数最多的分数即可。
2. 第二问比较两人成绩，先对比两人的平均数，发现二者平均数相等，说明平均水平一致，此时再结合中位数、众数的数值大小，判断谁的整体得分表现更优，就能得出结论。
【解析】
(1) 计算a：小丽的评分总和为$7+7+6+8+8+8+8+8+7+8=75$，总共有10个评分，因此平均数$a=\frac{75}{10}=7.5$。
计算b：先将小红的评分从小到大排序：7、7、7、7、7、7、8、8、8、9，共10个数据，取排序后第5位和第6位的数求平均，即$b=\frac{7+7}{2}=7$。
计算c：统计小丽各分数出现的次数：6出现1次，7出现3次，8出现6次，出现次数最多的是8，因此众数$c=8$。
(2) 对比两人的统计量：小红和小丽的平均数均为7.5，二人的平均得分水平相同，但小丽的中位数是8、众数是8，均高于小红的中位数7、众数7，说明小丽的整体得分表现更好。
【答案】
(1)7.5 7 8
(2)小丽的成绩较好,理由如下:因为两个人的平均数相同,但小丽的成绩的中位数和众数均高于小红,所以小丽的成绩较好.
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，统计量数据分析
【点评】
本题属于统计部分的基础考题，核心考察三个常用统计量的计算规则和实际意义，易错点是计算中位数前忘记对原始数据排序，整体难度低，能帮助学生理解不同统计量在实际场景中的对比作用。
【难度系数】
0.8
9. 某校组织学生参加“消防安全知识竞赛”，为了了解某班学生在这次竞赛中的表现，现随机抽取该班10名同学的竞赛成绩制表如下：
请根据表中信息，解答下列问题：
(1)这10名学生竞赛成绩的平均数是
(2)甲、乙两人分别用样本的平均数和中位数来推断该班全体学生本次竞赛的情况，请你写出甲、乙两人的推断结论；
(3)指出(2)中谁的推断能较为合理地反映该班全体学生本次竞赛的真实水平，并说出另一个人的推断不合理的原因.
请根据表中信息，解答下列问题：
(1)这10名学生竞赛成绩的平均数是
99
分，中位数是87
分；(2)甲、乙两人分别用样本的平均数和中位数来推断该班全体学生本次竞赛的情况，请你写出甲、乙两人的推断结论；
(3)指出(2)中谁的推断能较为合理地反映该班全体学生本次竞赛的真实水平，并说出另一个人的推断不合理的原因.
答案
(1)99 87
(2)解:甲:由样本平均数为99分,估计该班全体学生本次竞赛的平均成绩为99分;
乙:由样本中位数为87分,估计该班全体学生本次竞赛有一半学生的成绩超过87分,有一半学生的成绩不足87分.
(3)解:乙的推断比较合理.
由题意知样本中的10名学生中,只有3名学生的成绩在100分以上,且该样本数据极差较大,所以平均数不能真实地反映实际情况.
(2)解:甲:由样本平均数为99分,估计该班全体学生本次竞赛的平均成绩为99分;
乙:由样本中位数为87分,估计该班全体学生本次竞赛有一半学生的成绩超过87分,有一半学生的成绩不足87分.
(3)解:乙的推断比较合理.
由题意知样本中的10名学生中,只有3名学生的成绩在100分以上,且该样本数据极差较大,所以平均数不能真实地反映实际情况.
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分三步梳理：首先第一问要计算加权平均数和中位数，计算平均数时，用每个成绩乘对应的人数求和，再除以总人数10即可得到加权平均数；计算中位数时，先把所有10个成绩从小到大排序，10个数据的中位数是排序后第5和第6个数据的平均值，找到对应数值计算即可。第二问根据平均数、中位数的统计意义，分别对应写出甲、乙用样本估计总体的推断结论。第三问观察数据特征，发现存在148、121这类远高于其他数值的极端高分，极端值会拉高平均数，导致平均数无法代表多数学生的真实水平，而中位数不受极端值影响，由此判断谁的推断更合理，再解释不合理的原因。
【解析】
(1) 计算平均数：
总分数 = 148×1 + 121×2 + 90×1 + 88×1 + 86×1 + 85×3 + 81×1 = 148+242+90+88+86+255+81 = 990
总人数 = 1+2+1+1+1+3+1 = 10
因此平均数 = 990÷10 = 99分。
将10名学生的成绩从小到大排列为：81，85，85，85，86，88，90，121，121，148，处于第5位的数是86，第6位的数是88，因此中位数 = (86+88)÷2 = 87分。
(2) 甲用样本平均数推断总体：由样本平均数为99分，估计该班全体学生本次竞赛的平均成绩为99分；
乙用样本中位数推断总体：由样本中位数为87分，估计该班全体学生本次竞赛有一半学生的成绩超过87分，有一半学生的成绩不足87分。
(3) 乙的推断比较合理。样本中的10名学生里，只有3名学生的成绩在100分以上，其余7名学生成绩都在90分及以下，样本数据极差很大，存在极端高分拉高了平均数，因此平均数不能真实反映该班多数学生的竞赛实际水平，而中位数不受极端值的影响，更能代表整体的真实情况。
【答案】
(1)99 87
(2)甲:由样本平均数为99分,估计该班全体学生本次竞赛的平均成绩为99分;乙:由样本中位数为87分,估计该班全体学生本次竞赛有一半学生的成绩超过87分,有一半学生的成绩不足87分。
(3)乙的推断比较合理。由题意知样本中的10名学生中,只有3名学生的成绩在100分以上,且该样本数据极差较大,所以平均数不能真实地反映实际情况。
【知识点】
加权平均数，中位数，统计量选择
【点评】
本题是统计部分的基础应用题，既考察加权平均数、中位数的基础计算，又考察两个统计量的实际意义辨析，易错点是计算中位数时容易忽略排序步骤，同时需要学生理解极端值对平均数的影响，明确不同统计量的适用场景，结合实际场景选择合适的统计量描述数据特征。
【难度系数】
0.7
这道题的解题思路可以分三步梳理：首先第一问要计算加权平均数和中位数，计算平均数时，用每个成绩乘对应的人数求和，再除以总人数10即可得到加权平均数；计算中位数时，先把所有10个成绩从小到大排序，10个数据的中位数是排序后第5和第6个数据的平均值，找到对应数值计算即可。第二问根据平均数、中位数的统计意义，分别对应写出甲、乙用样本估计总体的推断结论。第三问观察数据特征，发现存在148、121这类远高于其他数值的极端高分，极端值会拉高平均数，导致平均数无法代表多数学生的真实水平，而中位数不受极端值影响，由此判断谁的推断更合理，再解释不合理的原因。
【解析】
(1) 计算平均数：
总分数 = 148×1 + 121×2 + 90×1 + 88×1 + 86×1 + 85×3 + 81×1 = 148+242+90+88+86+255+81 = 990
总人数 = 1+2+1+1+1+3+1 = 10
因此平均数 = 990÷10 = 99分。
将10名学生的成绩从小到大排列为：81，85，85，85，86，88，90，121，121，148，处于第5位的数是86，第6位的数是88，因此中位数 = (86+88)÷2 = 87分。
(2) 甲用样本平均数推断总体：由样本平均数为99分，估计该班全体学生本次竞赛的平均成绩为99分；
乙用样本中位数推断总体：由样本中位数为87分，估计该班全体学生本次竞赛有一半学生的成绩超过87分，有一半学生的成绩不足87分。
(3) 乙的推断比较合理。样本中的10名学生里，只有3名学生的成绩在100分以上，其余7名学生成绩都在90分及以下，样本数据极差很大，存在极端高分拉高了平均数，因此平均数不能真实反映该班多数学生的竞赛实际水平，而中位数不受极端值的影响，更能代表整体的真实情况。
【答案】
(1)99 87
(2)甲:由样本平均数为99分,估计该班全体学生本次竞赛的平均成绩为99分;乙:由样本中位数为87分,估计该班全体学生本次竞赛有一半学生的成绩超过87分,有一半学生的成绩不足87分。
(3)乙的推断比较合理。由题意知样本中的10名学生中,只有3名学生的成绩在100分以上,且该样本数据极差较大,所以平均数不能真实地反映实际情况。
【知识点】
加权平均数，中位数，统计量选择
【点评】
本题是统计部分的基础应用题，既考察加权平均数、中位数的基础计算，又考察两个统计量的实际意义辨析，易错点是计算中位数时容易忽略排序步骤，同时需要学生理解极端值对平均数的影响，明确不同统计量的适用场景，结合实际场景选择合适的统计量描述数据特征。
【难度系数】
0.7
