【例 1】（第七届“学用杯”全国

数学知识应用竞赛初赛)如图所示的徽
标,是我国古代弦图的变形,该图
是由其中的一个 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 绕中
心点$O$顺时针连续旋转 3 次,每次旋转$90°$得到
的,如果中间小正方形的面积为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm^2}}$,这个图形
的总面积为$\boldsymbol{113\ \mathrm{cm^2}}$,且$AD=2\ \mathrm{cm}$,请问徽标的
外围周长为$\mathrm{cm}$.
解析: 设 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的较长直角边为 $a$,较短直角边为 $b$,斜边为 $c$.
依题意,得 $a-b=3$,$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{113-1}{4}$.
又由勾股定理,得 $c^2=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=3^2+112=121$,
所以 $c=11\ \mathrm{cm}$.
所以徽标的外围周长$=4×(11+2)=52(\mathrm{cm})$.
答案: 52

解析: 设 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的较长直角边为 $a$,较短直角边为 $b$,斜边为 $c$.
依题意,得 $a-b=3$,$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{113-1}{4}$.
又由勾股定理,得 $c^2=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=3^2+112=121$,
所以 $c=11\ \mathrm{cm}$.
所以徽标的外围周长$=4×(11+2)=52(\mathrm{cm})$.
答案: 52

【例2】（第二十一届省初中数学竞赛）一个直角三角形三边的长 $a,b,c$ 都是整数，且满足 $a＜b＜c,a+c=49$，则这个直角三角形的面积为.
解析：$\because a^2+b^2=c^2,a+c=49,$
$\therefore a^2+b^2=(49-a)^2,$
即 $b^2=49×(49-2a).$
由题意，得 $49-2a=1,4,9,16,25,36,$
解得整数 $a=24,20,12,\therefore c=25,29,37.$
由勾股定理，得 $b=7,21,35.$
$\because a＜b＜c,$
$\therefore a=12,b=35,c=37$ 或 $a=20,b=21,c=29.$
故直角三角形的面积为 $\dfrac{1}{2}×12×35=210$ 或 $\dfrac{1}{2}×20×21=210.$
答案：210

解析：$\because a^2+b^2=c^2,a+c=49,$
$\therefore a^2+b^2=(49-a)^2,$
即 $b^2=49×(49-2a).$
由题意，得 $49-2a=1,4,9,16,25,36,$
解得整数 $a=24,20,12,\therefore c=25,29,37.$
由勾股定理，得 $b=7,21,35.$
$\because a＜b＜c,$
$\therefore a=12,b=35,c=37$ 或 $a=20,b=21,c=29.$
故直角三角形的面积为 $\dfrac{1}{2}×12×35=210$ 或 $\dfrac{1}{2}×20×21=210.$
答案：210

1. (“学用杯”全国数学知识应用竞赛初赛)为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里(城中村)的一座高 50 m 的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部 10 m 的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上m 处折断.

1. 24
解析：设应从底部向上x米处折断，则另外两边分别为(50−x)米，10米，
由勾股定理，得 $10^2+x^2=(50-x)^2$，解得 $x=24$。故烟囱应从底部向上24米处折断。

2.(时代学习报数学文化复赛)如图(1)是一面长方形彩旗完全展平时的示意图(单位:cm),其中长方形$ABCD$是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤,阴影部分$CDEF$为长方形绸缎旗面,如图(2),将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆顶端到地面的高度为220 cm,在无风的天气里,求彩旗自然下垂时最低处离地面的高度$h$.

2. h=70 cm
解析：如图，连接DF。
在Rt△DEF中，
∵EF=90 cm，ED=120 cm，
∴DF²=EF²+DE²=90²+120²=22500，
∴DF=150 cm，
∴h=220−150=70(cm)。
故在无风的天气里，彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h为70 cm。