4.定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“兄弟方程”.若关于$x$的方程$2x+3m-2=0$和$3x-5m+4=0$是“兄弟方程”,则$m=$.

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5. 定义:关于 $x$ 的方程 $ax-b=0$ 与方程 $bx-a=0$($a,b$ 均为不等于 0 的常数)称互为“错位方程”,例如,方程 $2x-1=0$ 与方程 $x-2=0$ 互为“错位方程”.
(1)若关于 $x$ 的方程 $2x-3=0$ 与方程 $3x-c=0$ 互为“错位方程”,则 $c=$;
(2)若关于 $x$ 的方程 $4x+3m+1=0$ 与方程 $5x-n+2=0$ 互为“错位方程”,求 $m,n$ 的值;
(3)若关于 $x$ 的方程 $3x-b=0$ 与其“错位方程”的解都是整数,求整数 $b$ 的值.

(2)解:将$4x+3m+1=0$写成$4x-(-3m-1)=0$的形式,
将$5x-n+2=0$写成$5x-(n-2)=0$的形式.
因为方程$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为“错位方程”,所以$-3m-1=5,n-2=4$,所以$m=-2,n=6$.
(3)解:$3x-b=0$的“错位方程”为$bx-3=0(b≠0)$,
由$3x-b=0$,得$x=\dfrac{b}{3}$.由$bx-3=0$,得$x=\dfrac{3}{b}$.
因为$3x-b=0$与$bx-3=0$的解均为整数,
所以$\dfrac{b}{3}$与$\dfrac{3}{b}$都为整数.
因为$b$也为整数,
所以当$b=3$时,$\dfrac{b}{3}=1,\dfrac{3}{b}=1$,都为整数,
当$b=-3$时,$\dfrac{b}{3}=-1,\dfrac{3}{b}=-1$,都为整数,
所以$b$的值为3或$-3$.

6. 定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如,方程
$4x=8$ 和 $x+1=0$ 为“美好方程”.
(1)若关于 $x$ 的方程 $3x+m=0$ 与方程 $4x-2=x+10$ 是“美好方程”,求 $m$ 的值;
(2)若“美好方程”的两个解的差为 8,其中一个解为 $n$,求 $n$ 的值;
(3)若关于 $x$ 的一元一次方程 $\dfrac{1}{2025}x+3=2x+k$ 和 $\dfrac{1}{2025}x+1=0$ 是“美好方程”,求关于 $y$ 的一元一次方程 $\dfrac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$ 的解.

(1)解方程$3x+m=0$,得$x=-\dfrac{m}{3}$;
解方程$4x-2=x+10$,得$x=4$.
因为关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,
所以$-\dfrac{m}{3}+4=1$,解得$m=9$.
(2)两个“美好方程”的其中一个的解为$n$,则另一个的解为$1-n$.
因为“美好方程”的两个解的差为8,
所以$n-(1-n)=8$或$(1-n)-n=8$,
解得$n=\dfrac{9}{2}$或$n=-\dfrac{7}{2}$.
(3)因为$\dfrac{1}{2025}x+1=0$,所以$x=-2025$.
因为关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2025}x+3=2x+k$和$\dfrac{1}{2025}x+1=0$是“美好方程”,
所以关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2025}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2025)=2026$.
因为关于$y$的一元一次方程$\dfrac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$可化为$\dfrac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k$,
所以$y+1=x=2026$,所以$y=2025$.