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1. 一个水池有甲、乙两个水龙头. 单独开甲水龙头，2 h 可把空池灌满；单独开乙水龙头，3 h 可把空池灌满. 若要灌满水池的$\dfrac{2}{3}$，则需同时开甲、乙两水龙头的时间为（
A.$\dfrac{8}{3}\ \mathrm{h}$
B.$\dfrac{4}{5}\ \mathrm{h}$
C.$4\ \mathrm{h}$
D.$\dfrac{8}{5}\ \mathrm{h}$
B
）A.$\dfrac{8}{3}\ \mathrm{h}$
B.$\dfrac{4}{5}\ \mathrm{h}$
C.$4\ \mathrm{h}$
D.$\dfrac{8}{5}\ \mathrm{h}$
答案
1. B
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，我们可以按照工程问题的常规思路来思考：第一步先把灌满整个水池的总工作量看作单位“1”，根据单独工作的时长，分别算出甲、乙两个水龙头的工作效率；第二步计算两个水龙头同时开启的总工作效率，也就是两个效率相加；第三步利用“工作时间=总工作量÷总工作效率”的关系，或者设未知数列一元一次方程求解，就能得到灌满水池2/3所需的时间。
【解析】
解：设同时开甲、乙两水龙头的时间为$ x $ 小时。
由题意可知，甲水龙头的工作效率为每小时灌满水池的$ \frac{1}{2} $，乙水龙头的工作效率为每小时灌满水池的$ \frac{1}{3} $。
两龙头同时开启$ x $小时的总灌水量为甲的灌水量加乙的灌水量，据此列方程：
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}$
对左侧通分合并：
$\frac{3x + 2x}{6} = \frac{2}{3} \implies \frac{5x}{6} = \frac{2}{3}$
两边同乘6得：$ 5x = 4 $，解得$ x = \frac{4}{5} $。
因此所需时间为$ \frac{4}{5}\ \mathrm{h} $，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
工程问题基本关系；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的工程类应用题，核心考点是将总工作量设为单位1来计算工作效率，难度较低，是初中一元一次方程应用题的常见入门题型，解题时注意不要混淆单独工作效率和合作总效率的计算逻辑即可。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类应用题，我们可以按照工程问题的常规思路来思考：第一步先把灌满整个水池的总工作量看作单位“1”，根据单独工作的时长，分别算出甲、乙两个水龙头的工作效率；第二步计算两个水龙头同时开启的总工作效率，也就是两个效率相加；第三步利用“工作时间=总工作量÷总工作效率”的关系，或者设未知数列一元一次方程求解，就能得到灌满水池2/3所需的时间。
【解析】
解：设同时开甲、乙两水龙头的时间为$ x $ 小时。
由题意可知，甲水龙头的工作效率为每小时灌满水池的$ \frac{1}{2} $，乙水龙头的工作效率为每小时灌满水池的$ \frac{1}{3} $。
两龙头同时开启$ x $小时的总灌水量为甲的灌水量加乙的灌水量，据此列方程：
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}$
对左侧通分合并：
$\frac{3x + 2x}{6} = \frac{2}{3} \implies \frac{5x}{6} = \frac{2}{3}$
两边同乘6得：$ 5x = 4 $，解得$ x = \frac{4}{5} $。
因此所需时间为$ \frac{4}{5}\ \mathrm{h} $，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
工程问题基本关系；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的工程类应用题，核心考点是将总工作量设为单位1来计算工作效率，难度较低，是初中一元一次方程应用题的常见入门题型，解题时注意不要混淆单独工作效率和合作总效率的计算逻辑即可。
【难度系数】
0.8
2. 若9人10天完成了一件工作的一半，而剩下的工作要在6天内完成，假设所有人的工作效率相同且保持不变，则需增加的人数为（
A.4
B.5
C.6
D.8
C
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
2. C
解析
【分析】
这是典型的多人工程问题，解题时我们可以先把单人单日的工作效率设为单位1，简化计算：第一步先根据“9人10天完成一半工作”的条件，算出一半工作对应的总工作量数值；第二步再用剩余的工作量除以要求的6天工期，算出完成剩余工作总共需要的总人数；最后用需要的总人数减去原本已有的9人，就能得到需要新增的人数，也可以通过设未知数列一元一次方程验证结果。
【解析】
1. 设定基准：设每人每天的工作效率为1份。
2. 计算已完成的工作量：9人工作10天的总工作量为 $9×10×1=90$ 份，题目说明该部分是总工作的一半，因此剩余未完成的工作量同样为90份。
3. 计算完成剩余工作需要的总人数：要在6天内完成90份工作，所需总人数为 $90÷6÷1=15$ 人。
4. 计算需增加的人数：原有9人，因此需要新增的人数为 $15-9=6$ 人。
也可通过方程验证：设需增加x人，列等式 $(9+x)×6=9×10$，解得x=6，结果一致。
【答案】C
【知识点】多人工程问题，一元一次方程应用
【点评】本题属于工程问题的基础题型，核心是通过设单人效率为单位1跳过复杂的参数计算，理清工作量、人数、工作时长三者的对应关系即可快速求解，计算门槛低，不易出错。
【难度系数】0.8
这是典型的多人工程问题，解题时我们可以先把单人单日的工作效率设为单位1，简化计算：第一步先根据“9人10天完成一半工作”的条件，算出一半工作对应的总工作量数值；第二步再用剩余的工作量除以要求的6天工期，算出完成剩余工作总共需要的总人数；最后用需要的总人数减去原本已有的9人，就能得到需要新增的人数，也可以通过设未知数列一元一次方程验证结果。
【解析】
1. 设定基准：设每人每天的工作效率为1份。
2. 计算已完成的工作量：9人工作10天的总工作量为 $9×10×1=90$ 份，题目说明该部分是总工作的一半，因此剩余未完成的工作量同样为90份。
3. 计算完成剩余工作需要的总人数：要在6天内完成90份工作，所需总人数为 $90÷6÷1=15$ 人。
4. 计算需增加的人数：原有9人，因此需要新增的人数为 $15-9=6$ 人。
也可通过方程验证：设需增加x人，列等式 $(9+x)×6=9×10$，解得x=6，结果一致。
【答案】C
【知识点】多人工程问题，一元一次方程应用
【点评】本题属于工程问题的基础题型，核心是通过设单人效率为单位1跳过复杂的参数计算，理清工作量、人数、工作时长三者的对应关系即可快速求解，计算门槛低，不易出错。
【难度系数】0.8
3. 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2 h,水流速度增加一倍后,再从甲港到乙港航行需3 h,水流速度增加后,从乙港返回甲港需航行（
A.0.5 h
B.1 h
C.1.2 h
D.1.5 h
B
）A.0.5 h
B.1 h
C.1.2 h
D.1.5 h
答案
3. B
解析
【分析】
这是典型的流水行船问题，解题核心思路是抓住甲乙两港的距离始终不变这个等量关系：首先我们可以设船在静水中的速度、初始水流速度两个未知量，利用两次不同水流速度下逆流航行的路程相等，推导得出船静水速度和水流速度的数量关系，接着用这个关系表示出甲乙两港的总路程，最后计算水流速度翻倍后顺流从乙港返回甲港的速度，用总路程除以顺流速度就能得到所需航行时间，全程不需要算出速度和路程的具体数值，通过比例关系就可以求解。
【解析】
解：设船在静水中的航行速度为$v$，原来的水流速度为$u$，甲乙两港之间的距离为$S$。
1. 第一次逆流航行时，逆水速度 = 船静水速度 - 水流速度，即$v-u$，已知航行时间为2h，根据路程=速度×时间可得：
$S = 2(v-u)$ ①
2. 水流速度增加一倍后，新的水流速度为$2u$，此时逆流航行时间为3h，同理可得：
$S = 3(v-2u)$ ②
3. 联立①②，两式右侧相等：
$2(v-u) = 3(v-2u)$
展开整理得：$2v - 2u = 3v -6u$，移项后解得$v=4u$
4. 将$v=4u$代入①式，计算甲乙两港距离：
$S=2×(4u - u)=6u$
5. 水流速度增加后，从乙港返回甲港为顺流航行，顺流速度=船静水速度+新水流速度，即：
$v_{顺}=v + 2u = 4u + 2u =6u$
6. 计算返回所需时间：
$t=\frac{S}{v_{顺}}=\frac{6u}{6u}=1\ \mathrm{h}$
所以水流速度增加后从乙港返回甲港需航行1h，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
流水行船公式；路程速度时间关系
【点评】
本题属于流水行船的基础变形题，不需要求解速度、路程的具体数值，仅通过路程不变的等量关系推导速度间的比例关系即可快速消元求解，重点考察学生对流水行船顺逆速度公式的掌握，以及利用不变量建立方程的思维。
【难度系数】
0.6
这是典型的流水行船问题，解题核心思路是抓住甲乙两港的距离始终不变这个等量关系：首先我们可以设船在静水中的速度、初始水流速度两个未知量，利用两次不同水流速度下逆流航行的路程相等，推导得出船静水速度和水流速度的数量关系，接着用这个关系表示出甲乙两港的总路程，最后计算水流速度翻倍后顺流从乙港返回甲港的速度，用总路程除以顺流速度就能得到所需航行时间，全程不需要算出速度和路程的具体数值，通过比例关系就可以求解。
【解析】
解：设船在静水中的航行速度为$v$，原来的水流速度为$u$，甲乙两港之间的距离为$S$。
1. 第一次逆流航行时，逆水速度 = 船静水速度 - 水流速度，即$v-u$，已知航行时间为2h，根据路程=速度×时间可得：
$S = 2(v-u)$ ①
2. 水流速度增加一倍后，新的水流速度为$2u$，此时逆流航行时间为3h，同理可得：
$S = 3(v-2u)$ ②
3. 联立①②，两式右侧相等：
$2(v-u) = 3(v-2u)$
展开整理得：$2v - 2u = 3v -6u$，移项后解得$v=4u$
4. 将$v=4u$代入①式，计算甲乙两港距离：
$S=2×(4u - u)=6u$
5. 水流速度增加后，从乙港返回甲港为顺流航行，顺流速度=船静水速度+新水流速度，即：
$v_{顺}=v + 2u = 4u + 2u =6u$
6. 计算返回所需时间：
$t=\frac{S}{v_{顺}}=\frac{6u}{6u}=1\ \mathrm{h}$
所以水流速度增加后从乙港返回甲港需航行1h，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
流水行船公式；路程速度时间关系
【点评】
本题属于流水行船的基础变形题，不需要求解速度、路程的具体数值，仅通过路程不变的等量关系推导速度间的比例关系即可快速消元求解，重点考察学生对流水行船顺逆速度公式的掌握，以及利用不变量建立方程的思维。
【难度系数】
0.6
4. 如图是某月的月历，用U形框（如阴影部分所示）覆盖任意七个数并求它们的和，则这七个数的和不可能是 （
A.63
B.84
C.133
D.161
A
）A.63
B.84
C.133
D.161
答案
4. A 提示:设包括U形框内部两个数在内的九个数正中间的数为x,则U形框覆盖的七个数分别是$x-8,x-6,x-1,x+1,x+6,x+7,x+8$,所以这七个数的和是$7x+7$. 由$7x+7=63$,得$x=8$,此时U形框只覆盖6个数,不符合题意;由$7x+7=84$,得$x=11$,符合题意;由$7x+7=133$,得$x=18$,符合题意;由$7x+7=161$,得$x=22$,符合题意,所以这七个数的和不可能是63.
解析
【分析】
解题时首先要利用月历的数字排布规律：同一行相邻两个日期数相差1，同一列相邻两个日期数相差7。我们可以设U形框对应的九宫格（包含框内2个空白数）的正中间数为参考量x，将U形框覆盖的7个数全部用x表示，化简得到7个数的总和表达式。之后将每个选项的和代入表达式求出对应的x，验证该x对应的所有7个日期是否都在月历中合法存在，即可判断出不可能的和。
【解析】
解：设U形框所对应的包含内部2个空白数的九宫格的正中间的数为x，根据月历的数字规律：
同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，可得U形框覆盖的7个数分别为：$x-8$、$x-6$、$x-1$、$x+1$、$x+6$、$x+7$、$x+8$。
对7个数求和：
$\begin{aligned}总和&=(x-8)+(x-6)+(x-1)+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\&=7x+7\end{aligned}$
逐个代入选项验证：
1. 若总和为63：$7x+7=63$，解得$x=8$，此时$x-8=0$，不存在该日期，U形框仅能覆盖6个有效数，不符合覆盖7个数的要求，不成立。
2. 若总和为84：$7x+7=84$，解得$x=11$，对应7个数全部为月历中存在的合法日期，符合题意。
3. 若总和为133：$7x+7=133$，解得$x=18$，对应7个数全部为月历中存在的合法日期，符合题意。
4. 若总和为161：$7x+7=161$，解得$x=22$，对应7个数全部为月历中存在的合法日期，符合题意。
因此这七个数的和不可能是63。
【答案】
A
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程应用
【点评】
本题是月历规律类的典型变形题，核心技巧是通过设九宫格中间数为参考量，大幅简化7个数的代数表达，避免逐个设元的繁琐。解题的易错点是求出x后必须验证所有对应日期的合法性，不能直接根据方程的解就判定成立，忽略月历中不存在0号这类无效日期的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先要利用月历的数字排布规律：同一行相邻两个日期数相差1，同一列相邻两个日期数相差7。我们可以设U形框对应的九宫格（包含框内2个空白数）的正中间数为参考量x，将U形框覆盖的7个数全部用x表示，化简得到7个数的总和表达式。之后将每个选项的和代入表达式求出对应的x，验证该x对应的所有7个日期是否都在月历中合法存在，即可判断出不可能的和。
【解析】
解：设U形框所对应的包含内部2个空白数的九宫格的正中间的数为x，根据月历的数字规律：
同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，可得U形框覆盖的7个数分别为：$x-8$、$x-6$、$x-1$、$x+1$、$x+6$、$x+7$、$x+8$。
对7个数求和：
$\begin{aligned}总和&=(x-8)+(x-6)+(x-1)+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\&=7x+7\end{aligned}$
逐个代入选项验证：
1. 若总和为63：$7x+7=63$，解得$x=8$，此时$x-8=0$，不存在该日期，U形框仅能覆盖6个有效数，不符合覆盖7个数的要求，不成立。
2. 若总和为84：$7x+7=84$，解得$x=11$，对应7个数全部为月历中存在的合法日期，符合题意。
3. 若总和为133：$7x+7=133$，解得$x=18$，对应7个数全部为月历中存在的合法日期，符合题意。
4. 若总和为161：$7x+7=161$，解得$x=22$，对应7个数全部为月历中存在的合法日期，符合题意。
因此这七个数的和不可能是63。
【答案】
A
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程应用
【点评】
本题是月历规律类的典型变形题，核心技巧是通过设九宫格中间数为参考量，大幅简化7个数的代数表达，避免逐个设元的繁琐。解题的易错点是求出x后必须验证所有对应日期的合法性，不能直接根据方程的解就判定成立，忽略月历中不存在0号这类无效日期的情况。
【难度系数】
0.6
5. 学校组织全国文明城市知识问答活动，共设有20道选择题，各题分值相同，答对得分，答错倒扣分，每题必答. 下表记录了A，B，D三名参赛学生的得分情况，则参赛的另一名学生E的得分可能是 （
A.93
B.87
C.66
D.40
D
）A.93
B.87
C.66
D.40
答案
5. D 提示:根据题表数据可知,答对一题得5分,答错一题倒扣1分.设参赛学生E答错x道题($0≤ x≤20$,且x为整数),则其答对$(20-x)$道题,其得分为$5(20-x)-x=(100-6x)$分.令$100-6x=93$,解得$x=\dfrac{7}{6}$;令$100-6x=87$,解得$x=\dfrac{13}{6}$;令$100-6x=66$,解得$x=\dfrac{17}{3}$;令$100-6x=40$,解得$x=10$.因为x为整数,所以选项D符合题意.
解析
【分析】
解题时首先要从表格给出的全对参赛者A的得分，算出答对1题的分值，再通过参赛者B的得分，推算出答错1题倒扣的分值，还可以用参赛者D的得分验证规则是否正确。接下来设学生E答错x道题，x必须是0到20之间的整数，写出E的总得分表达式，再将四个选项的得分分别代入表达式，判断解出的x是否为符合取值范围的整数，就能选出正确答案。
【解析】
1. 推导答题得分规则：
由参赛者A答对20题得100分，可得答对1题的得分为：$100÷20=5$分。
再由参赛者B答对19题、答错1题得94分，可得答错1题倒扣的分数为：$19×5 - 94 = 1$分。
验证参赛者D的得分：$14×5 - 6×1 = 70 - 6 = 64$，与表格数据一致，说明得分规则正确。
2. 构造E的得分表达式：
设学生E答错$x$道题，其中$0≤ x≤20$，且$x$为整数，则E答对$(20-x)$道题，总得分可表示为：
$5(20-x) - x = 100 - 6x$
3. 逐一验证选项：
选项A：令$100-6x=93$，解得$x=\frac{7}{6}$，不是整数，不符合要求；
选项B：令$100-6x=87$，解得$x=\frac{13}{6}$，不是整数，不符合要求；
选项C：令$100-6x=66$，解得$x=\frac{17}{3}$，不是整数，不符合要求；
选项D：令$100-6x=40$，解得$x=10$，是0到20之间的整数，符合要求。
因此正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；整数性质
【点评】
本题是典型的竞赛得分类应用题，核心是先从已知数据提取出答题的得分倒扣规则，再利用“答错题数必须为非负整数”这个隐含条件筛选选项，避免了复杂计算，能有效锻炼学生从表格提取信息、挖掘题目隐含约束条件的解题思维。
【难度系数】
0.6
解题时首先要从表格给出的全对参赛者A的得分，算出答对1题的分值，再通过参赛者B的得分，推算出答错1题倒扣的分值，还可以用参赛者D的得分验证规则是否正确。接下来设学生E答错x道题，x必须是0到20之间的整数，写出E的总得分表达式，再将四个选项的得分分别代入表达式，判断解出的x是否为符合取值范围的整数，就能选出正确答案。
【解析】
1. 推导答题得分规则：
由参赛者A答对20题得100分，可得答对1题的得分为：$100÷20=5$分。
再由参赛者B答对19题、答错1题得94分，可得答错1题倒扣的分数为：$19×5 - 94 = 1$分。
验证参赛者D的得分：$14×5 - 6×1 = 70 - 6 = 64$，与表格数据一致，说明得分规则正确。
2. 构造E的得分表达式：
设学生E答错$x$道题，其中$0≤ x≤20$，且$x$为整数，则E答对$(20-x)$道题，总得分可表示为：
$5(20-x) - x = 100 - 6x$
3. 逐一验证选项：
选项A：令$100-6x=93$，解得$x=\frac{7}{6}$，不是整数，不符合要求；
选项B：令$100-6x=87$，解得$x=\frac{13}{6}$，不是整数，不符合要求；
选项C：令$100-6x=66$，解得$x=\frac{17}{3}$，不是整数，不符合要求；
选项D：令$100-6x=40$，解得$x=10$，是0到20之间的整数，符合要求。
因此正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；整数性质
【点评】
本题是典型的竞赛得分类应用题，核心是先从已知数据提取出答题的得分倒扣规则，再利用“答错题数必须为非负整数”这个隐含条件筛选选项，避免了复杂计算，能有效锻炼学生从表格提取信息、挖掘题目隐含约束条件的解题思维。
【难度系数】
0.6
6. 某服装厂要生产一批某种型号的工作服，已知3 m长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套.若计划用600 m长的这种布料生产工作服，则用其中
240
m 布料生产裤子，才能恰好配套.答案
6. 240 提示:每件上衣需要布料$3÷2=\dfrac{3}{2}(\mathrm{m})$,每条裤子需要布料$3÷3=1(\mathrm{m})$.设用x m布料生产上衣,则用$(600-x)\mathrm{m}$布料生产裤子.根据题意,得$\dfrac{x}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{600-x}{1}$,解得$x=360$.所以$600-360=240(\mathrm{m})$,即用其中240 m布料生产裤子,才能恰好配套.
解析
【分析】
这是典型的配套类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步先根据已知条件算出单件上衣、单件裤子各自需要的布料长度，已知3m布料可做2件上衣、3条裤子，直接用除法就能算出单件用料；第二步抓住“恰好配套”的核心要求：生产出的上衣总数量和裤子总数量必须相等，因为1套工作服需要1件上衣搭配1条裤子；第三步设未知数，用总布料600m表示出生产上衣和裤子的布料长度，分别计算出上衣总数量、裤子总数量，根据两者相等列一元一次方程，解方程就能得到生产裤子的布料长度。
【解析】
1. 计算单件产品的布料消耗量：
每件上衣需要的布料长度：$3÷2=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$
每条裤子需要的布料长度：$3÷3=1\ \mathrm{m}$
2. 设未知数并列方程：
设用$x\ \mathrm{m}$布料生产上衣，则生产裤子的布料长度为$(600-x)\ \mathrm{m}$。
生产出的上衣总数量为$\frac{x}{\frac{3}{2}}$件，生产出的裤子总数量为$\frac{600-x}{1}$条，恰好配套时上衣数量等于裤子数量，因此列方程：
$\frac{x}{\frac{3}{2}} = 600-x$
3. 解方程：
化简方程得：$2x=3(600-x)$
展开得：$2x=1800-3x$
移项合并得：$5x=1800$
解得：$x=360$
因此生产裤子的布料长度为$600-360=240\ \mathrm{m}$。
【答案】
240
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题等量关系
【点评】
本题是初中数学方程应用板块的常规基础题型，核心易错点是容易混淆上衣、裤子的单件用料数值，只要牢牢抓住“恰好配套时上衣和裤子总数量相等”的核心等量关系，先算出单件产品的布料消耗量再列方程，就能顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是典型的配套类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步先根据已知条件算出单件上衣、单件裤子各自需要的布料长度，已知3m布料可做2件上衣、3条裤子，直接用除法就能算出单件用料；第二步抓住“恰好配套”的核心要求：生产出的上衣总数量和裤子总数量必须相等，因为1套工作服需要1件上衣搭配1条裤子；第三步设未知数，用总布料600m表示出生产上衣和裤子的布料长度，分别计算出上衣总数量、裤子总数量，根据两者相等列一元一次方程，解方程就能得到生产裤子的布料长度。
【解析】
1. 计算单件产品的布料消耗量：
每件上衣需要的布料长度：$3÷2=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$
每条裤子需要的布料长度：$3÷3=1\ \mathrm{m}$
2. 设未知数并列方程：
设用$x\ \mathrm{m}$布料生产上衣，则生产裤子的布料长度为$(600-x)\ \mathrm{m}$。
生产出的上衣总数量为$\frac{x}{\frac{3}{2}}$件，生产出的裤子总数量为$\frac{600-x}{1}$条，恰好配套时上衣数量等于裤子数量，因此列方程：
$\frac{x}{\frac{3}{2}} = 600-x$
3. 解方程：
化简方程得：$2x=3(600-x)$
展开得：$2x=1800-3x$
移项合并得：$5x=1800$
解得：$x=360$
因此生产裤子的布料长度为$600-360=240\ \mathrm{m}$。
【答案】
240
【知识点】
一元一次方程应用，配套问题等量关系
【点评】
本题是初中数学方程应用板块的常规基础题型，核心易错点是容易混淆上衣、裤子的单件用料数值，只要牢牢抓住“恰好配套时上衣和裤子总数量相等”的核心等量关系，先算出单件产品的布料消耗量再列方程，就能顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.8
7. 已知粗蜡烛和细蜡烛的长度一样，粗蜡烛可以点5 h，细蜡烛可以点4 h，如果同时点燃这两支蜡烛，过了一段时间后，剩余粗蜡烛的长度是细蜡烛长度的2倍，那么这两支蜡烛已点燃的时间是
$\dfrac{10}{3}$
h.答案
7. $\dfrac{10}{3}$ 提示:设这两支蜡烛已点燃的时间是x h.根据题意,得$1-\dfrac{x}{5}=2(1-\dfrac{x}{4})$,解得$x=\dfrac{10}{3}$.所以这两支蜡烛已点燃的时间是$\dfrac{10}{3}$ h.
解析
【分析】
这道题是典型的一元一次方程实际应用题，我们可以按照以下思路思考：
1. 题目没有给出蜡烛的具体初始长度，仅说明两根蜡烛初始长度相等，我们可以将蜡烛的总长度设为单位“1”，简化计算，不需要额外引入长度类未知数。
2. 结合两根蜡烛的总燃烧时长，算出各自的燃烧速率：粗蜡烛5小时燃尽，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{5}$；细蜡烛4小时燃尽，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{4}$。
3. 设已经点燃的时间为$x$小时，分别表示出$x$小时后两根蜡烛的剩余长度：剩余粗蜡烛长度=总长度-已燃烧长度，即$1-\frac{x}{5}$；剩余细蜡烛长度为$1-\frac{x}{4}$。
4. 利用题目给出的等量关系“剩余粗蜡烛的长度是细蜡烛长度的2倍”列出一元一次方程，求解$x$即可得到答案。
【解析】
解：设这两支蜡烛已点燃的时间是$x\ \mathrm{h}$。
将两根蜡烛的初始长度均看作单位1，可得粗蜡烛每小时燃烧总长度的$\frac{1}{5}$，细蜡烛每小时燃烧总长度的$\frac{1}{4}$。
根据题意列方程：
$1-\frac{x}{5}=2(1-\frac{x}{4})$
去括号得：$1-\frac{x}{5}=2-\frac{x}{2}$
移项合并同类项得：$\frac{3x}{10}=1$
解得：$x=\frac{10}{3}$
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
一元一次方程实际应用，单位“1”设定
【点评】
本题是经典的蜡烛燃烧类应用题，核心技巧是通过将未知的蜡烛总长度设为单位1，规避多余未知量，只需要抓住剩余长度的倍数关系就能快速建立等量关系，重点考察学生用方程解决实际问题的建模思维。
【难度系数】
0.6
这道题是典型的一元一次方程实际应用题，我们可以按照以下思路思考：
1. 题目没有给出蜡烛的具体初始长度，仅说明两根蜡烛初始长度相等，我们可以将蜡烛的总长度设为单位“1”，简化计算，不需要额外引入长度类未知数。
2. 结合两根蜡烛的总燃烧时长，算出各自的燃烧速率：粗蜡烛5小时燃尽，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{5}$；细蜡烛4小时燃尽，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{4}$。
3. 设已经点燃的时间为$x$小时，分别表示出$x$小时后两根蜡烛的剩余长度：剩余粗蜡烛长度=总长度-已燃烧长度，即$1-\frac{x}{5}$；剩余细蜡烛长度为$1-\frac{x}{4}$。
4. 利用题目给出的等量关系“剩余粗蜡烛的长度是细蜡烛长度的2倍”列出一元一次方程，求解$x$即可得到答案。
【解析】
解：设这两支蜡烛已点燃的时间是$x\ \mathrm{h}$。
将两根蜡烛的初始长度均看作单位1，可得粗蜡烛每小时燃烧总长度的$\frac{1}{5}$，细蜡烛每小时燃烧总长度的$\frac{1}{4}$。
根据题意列方程：
$1-\frac{x}{5}=2(1-\frac{x}{4})$
去括号得：$1-\frac{x}{5}=2-\frac{x}{2}$
移项合并同类项得：$\frac{3x}{10}=1$
解得：$x=\frac{10}{3}$
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
一元一次方程实际应用，单位“1”设定
【点评】
本题是经典的蜡烛燃烧类应用题，核心技巧是通过将未知的蜡烛总长度设为单位1，规避多余未知量，只需要抓住剩余长度的倍数关系就能快速建立等量关系，重点考察学生用方程解决实际问题的建模思维。
【难度系数】
0.6
8. 在环形自行车赛场内,甲、乙、丙三人骑自行车进行训练,他们的速度分别是甲每分钟骑$\dfrac{2}{3}$圈,乙每分钟骑$\dfrac{3}{4}$圈,丙每分钟骑$\dfrac{1}{2}$圈,三人同时出发,起点如图所示(甲、乙、丙分别从点$A$,$B$,$C$出发),沿环形赛场顺时针运动,则出发后第
1
min 甲、丙第一次相遇;出发后第7
min 三人第一次相遇.答案
8. 1 7 提示:①设出发后第x min甲、丙第一次相遇,则$\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{6}$,解得$x=1$,即出发后第1 min甲、丙第一次相遇;②设出发后第y min乙、丙第一次相遇,则$\dfrac{3}{4}y-\dfrac{1}{2}y=1-\dfrac{1}{4}$,解得$y=3$,即出发后第3 min乙、丙第一次相遇;③设出发后第z min甲、乙第一次相遇,则$\dfrac{3}{4}z-\dfrac{2}{3}z=1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}$,解得$z=7$,即出发后第7 min甲、乙第一次相遇.因为$1÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2})=6(\min)$,$1÷(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2})=4(\min)$,所以甲、丙第一次相遇后每隔6 min相遇一次,乙、丙第一次相遇后每隔4 min相遇一次,所以出发后第7 min,甲、丙再次相遇,此时甲、乙第一次相遇,即此时三人第一次相遇.
解析
【分析】
这是环形同向追及问题，解题思路如下：
1. 求甲、丙第一次相遇时间：先确定初始状态下，顺时针方向甲落后丙的路程差，从题图可知甲从A点出发、丙从C点出发，A到C的顺时针距离为$\frac{1}{6}$圈，也就是甲需要比丙多走$\frac{1}{6}$圈才能追上丙。结合两人的速度，利用追及公式“路程差=速度差×追及时间”设未知数列方程，即可求出第一空结果。
2. 求三人第一次相遇的时间：先分别算出乙和丙、甲和乙的初始路程差，同理用追及公式算出两两第一次相遇的时间，再结合环形同向追及的规律：每多走1整圈两人就会再次相遇，后续相遇间隔为1圈除以两人速度差，得到三对两两相遇的所有时间序列，找到同时满足三对都相遇的最小正时间，就是三人第一次相遇的时间。
【解析】
解：① 计算甲、丙第一次相遇时间：
设出发后第$x\ \mathrm{min}$甲、丙第一次相遇。
甲速度比丙快，初始时甲顺时针落后丙$\frac{1}{6}$圈，甲比丙多走$\frac{1}{6}$圈时两人第一次相遇，列方程：
$\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{6}$
化简得$\frac{1}{6}x=\frac{1}{6}$，解得$x=1$。
② 计算三人第一次相遇时间：
先求乙、丙的相遇规律：设出发后第$y\ \mathrm{min}$乙、丙第一次相遇，初始时乙顺时针落后丙$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$圈，列方程：
$$\frac{3}{4}y - \frac{1}{2}y = \frac{3}{4}$ 解得$y=3$。乙丙速度差为$\frac{1}{4}$圈/分钟，后续每间隔$1÷\frac{1}{4}=4\ \mathrm{min}$再次相遇，乙丙相遇时间序列为：3,7,11,15...再求甲、乙的相遇规律：初始时乙顺时针落后甲的总距离为$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$圈，设出发后第$z\ \mathrm{min}$甲、乙第一次相遇，列方程： $$\frac{3}{4}z - \frac{2}{3}z = \frac{7}{12}$
解得$z=7$。甲乙速度差为$\frac{1}{12}$圈/分钟，后续每间隔$1÷\frac{1}{12}=12\ \mathrm{min}$再次相遇，甲乙相遇时间序列为：7,19,31...
甲丙速度差为$\frac{1}{6}$圈/分钟，后续每间隔$1÷\frac{1}{6}=6\ \mathrm{min}$再次相遇，甲丙相遇时间序列为：1,7,13,19...
对比三个序列，最小的公共时间为7，即出发后第7min三人第一次相遇。
【答案】1；7
【知识点】环形追及问题，一元一次方程应用
【点评】本题是不同起点的环形同向追及问题，易错点是搞错初始状态下三人的路程差，不需要列复杂的多变量方程，通过先推导两两相遇的时间序列、找最小公共值的方法，计算过程更简便，也能有效避免错误。
【难度系数】0.4
这是环形同向追及问题，解题思路如下：
1. 求甲、丙第一次相遇时间：先确定初始状态下，顺时针方向甲落后丙的路程差，从题图可知甲从A点出发、丙从C点出发，A到C的顺时针距离为$\frac{1}{6}$圈，也就是甲需要比丙多走$\frac{1}{6}$圈才能追上丙。结合两人的速度，利用追及公式“路程差=速度差×追及时间”设未知数列方程，即可求出第一空结果。
2. 求三人第一次相遇的时间：先分别算出乙和丙、甲和乙的初始路程差，同理用追及公式算出两两第一次相遇的时间，再结合环形同向追及的规律：每多走1整圈两人就会再次相遇，后续相遇间隔为1圈除以两人速度差，得到三对两两相遇的所有时间序列，找到同时满足三对都相遇的最小正时间，就是三人第一次相遇的时间。
【解析】
解：① 计算甲、丙第一次相遇时间：
设出发后第$x\ \mathrm{min}$甲、丙第一次相遇。
甲速度比丙快，初始时甲顺时针落后丙$\frac{1}{6}$圈，甲比丙多走$\frac{1}{6}$圈时两人第一次相遇，列方程：
$\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{6}$
化简得$\frac{1}{6}x=\frac{1}{6}$，解得$x=1$。
② 计算三人第一次相遇时间：
先求乙、丙的相遇规律：设出发后第$y\ \mathrm{min}$乙、丙第一次相遇，初始时乙顺时针落后丙$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$圈，列方程：
$$\frac{3}{4}y - \frac{1}{2}y = \frac{3}{4}$ 解得$y=3$。乙丙速度差为$\frac{1}{4}$圈/分钟，后续每间隔$1÷\frac{1}{4}=4\ \mathrm{min}$再次相遇，乙丙相遇时间序列为：3,7,11,15...再求甲、乙的相遇规律：初始时乙顺时针落后甲的总距离为$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$圈，设出发后第$z\ \mathrm{min}$甲、乙第一次相遇，列方程： $$\frac{3}{4}z - \frac{2}{3}z = \frac{7}{12}$
解得$z=7$。甲乙速度差为$\frac{1}{12}$圈/分钟，后续每间隔$1÷\frac{1}{12}=12\ \mathrm{min}$再次相遇，甲乙相遇时间序列为：7,19,31...
甲丙速度差为$\frac{1}{6}$圈/分钟，后续每间隔$1÷\frac{1}{6}=6\ \mathrm{min}$再次相遇，甲丙相遇时间序列为：1,7,13,19...
对比三个序列，最小的公共时间为7，即出发后第7min三人第一次相遇。
【答案】1；7
【知识点】环形追及问题，一元一次方程应用
【点评】本题是不同起点的环形同向追及问题，易错点是搞错初始状态下三人的路程差，不需要列复杂的多变量方程，通过先推导两两相遇的时间序列、找最小公共值的方法，计算过程更简便，也能有效避免错误。
【难度系数】0.4
9. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加. 若开放一个检票口，则要20 min检票口前的队伍才消失；若同时开放两个检票口，则8 min队伍就消失. 设检票的速度是一定的. 若同时开放三个检票口，则队伍消失要几分钟？
答案
9. 解:设检票开始时,等候检票的队伍有a人,每个检票口每分钟检票x人,队伍每分钟增加y人,则$\dfrac{a}{x-y}=20$,$\dfrac{a}{2x-y}=8$,所以$20(x-y)=8(2x-y)$,解得$x=3y$.所以同时开放三个检票口,等候检票的队伍消失的时间是$\dfrac{a}{3x-y}=\dfrac{20(x-y)}{3x-y}=\dfrac{20(3y-y)}{3×3y-y}=\dfrac{20×2}{8}=5(\min)$.所以若同时开放三个检票口,则队伍消失要5 min.
解析
【分析】
这是典型的“牛吃草”类排队应用题，解题思路如下：首先明确核心逻辑：检票过程中排队人数一边被检票口消耗，一边有新的人员加入排队，因此排队人数的净减少速度 = 所有检票口每分钟总检票量 - 每分钟新增的排队人数。题目没有给出初始排队人数、单个检票口检票速度、新增排队速度的具体数值，我们可以设这三个量为未知数，无需算出它们的具体值，仅通过题目给出的两种检票场景的条件推导变量间的比例关系，最后代入开放3个检票口的场景就能算出队伍消失的时间。先根据1个检票口20分钟消队、2个检票口8分钟消队的条件列等式，消去初始总人数的未知数，得到检票速度和新增人数速度的关系，再代入三个检票口的公式计算即可。
【解析】
解：设检票开始时，原有等候排队的人数为$a$，每个检票口每分钟可检票$x$人，每分钟新增前来排队的人数为$y$人。
根据“队伍完全消失的时间 = 初始排队人数 ÷ 每分钟排队人数的净减少量”，结合已知条件可得：
1. 开放1个检票口，20分钟队伍消失：$\frac{a}{x - y} = 20$，整理得 $a = 20(x - y)$
2. 开放2个检票口，8分钟队伍消失：$\frac{a}{2x - y} = 8$，整理得 $a = 8(2x - y)$
联立两式消去$a$：
$20(x - y) = 8(2x - y)$
展开后移项合并同类项：
$20x - 20y = 16x - 8y$
$4x = 12y$
解得 $x = 3y$
计算开放3个检票口时队伍消失的时间$t$：
$t = \frac{a}{3x - y}$
将$a=20(x-y)$、$x=3y$代入上式：
$t = \frac{20(x - y)}{3x - y} = \frac{20(3y - y)}{3×3y - y} = \frac{20× 2y}{8y} = 5\ (\mathrm{min})$
【答案】若同时开放三个检票口，队伍消失要5分钟。
【知识点】牛吃草模型，设而不求消元，分式方程应用
【点评】本题是经典的排队检票类应用题，核心技巧是“设而不求”，不需要计算出所有未知量的具体数值，仅通过等量关系推导变量的比例关系即可求解，解题时要注意不能忽略排队人数持续新增的条件，避免直接用初始人数除以检票速度的常见错误。
【难度系数】0.6
这是典型的“牛吃草”类排队应用题，解题思路如下：首先明确核心逻辑：检票过程中排队人数一边被检票口消耗，一边有新的人员加入排队，因此排队人数的净减少速度 = 所有检票口每分钟总检票量 - 每分钟新增的排队人数。题目没有给出初始排队人数、单个检票口检票速度、新增排队速度的具体数值，我们可以设这三个量为未知数，无需算出它们的具体值，仅通过题目给出的两种检票场景的条件推导变量间的比例关系，最后代入开放3个检票口的场景就能算出队伍消失的时间。先根据1个检票口20分钟消队、2个检票口8分钟消队的条件列等式，消去初始总人数的未知数，得到检票速度和新增人数速度的关系，再代入三个检票口的公式计算即可。
【解析】
解：设检票开始时，原有等候排队的人数为$a$，每个检票口每分钟可检票$x$人，每分钟新增前来排队的人数为$y$人。
根据“队伍完全消失的时间 = 初始排队人数 ÷ 每分钟排队人数的净减少量”，结合已知条件可得：
1. 开放1个检票口，20分钟队伍消失：$\frac{a}{x - y} = 20$，整理得 $a = 20(x - y)$
2. 开放2个检票口，8分钟队伍消失：$\frac{a}{2x - y} = 8$，整理得 $a = 8(2x - y)$
联立两式消去$a$：
$20(x - y) = 8(2x - y)$
展开后移项合并同类项：
$20x - 20y = 16x - 8y$
$4x = 12y$
解得 $x = 3y$
计算开放3个检票口时队伍消失的时间$t$：
$t = \frac{a}{3x - y}$
将$a=20(x-y)$、$x=3y$代入上式：
$t = \frac{20(x - y)}{3x - y} = \frac{20(3y - y)}{3×3y - y} = \frac{20× 2y}{8y} = 5\ (\mathrm{min})$
【答案】若同时开放三个检票口，队伍消失要5分钟。
【知识点】牛吃草模型，设而不求消元，分式方程应用
【点评】本题是经典的排队检票类应用题，核心技巧是“设而不求”，不需要计算出所有未知量的具体数值，仅通过等量关系推导变量的比例关系即可求解，解题时要注意不能忽略排队人数持续新增的条件，避免直接用初始人数除以检票速度的常见错误。
【难度系数】0.6
