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10. 某书城开展学生优惠购书活动:凡一次性购书不超过 200 元的一律九折优惠;超过200 元的,其中 200 元按九折算,超过200 元的部分按八折算.
(1) 甲同学一次性购书的标价总和为100 元,需付款
(2) 乙同学一次性购书的标价总和为$x$元$(x＞200)$,需付款
(3) 丙同学第一次去购书付款 63 元,第二次去购书享受了八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节约了 37 元,则丙同学第二次购书实际付款多少元?
思维大爆炸
(1) 甲同学一次性购书的标价总和为100 元,需付款
90
元.(2) 乙同学一次性购书的标价总和为$x$元$(x＞200)$,需付款
0.8x+20
元.(3) 丙同学第一次去购书付款 63 元,第二次去购书享受了八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节约了 37 元,则丙同学第二次购书实际付款多少元?
思维大爆炸
答案
10. (1) 90 (2) $(0.8x+20)$
(3) 解:因为 200×0.9=180(元),63＜180,所以第一次购书不超过 200 元,应享受九折优惠. 所以第一次购书的标价总和为 63÷0.9=70(元).
设丙同学第二次购书的标价为x元,则应付款为(0.8x+20)元. 根据题意,得(x+70)-[63+(0.8x+20)]=37,解得x=250.
所以0.8x+20=220.所以丙同学第二次购书实际付款220元.
(3) 解:因为 200×0.9=180(元),63＜180,所以第一次购书不超过 200 元,应享受九折优惠. 所以第一次购书的标价总和为 63÷0.9=70(元).
设丙同学第二次购书的标价为x元,则应付款为(0.8x+20)元. 根据题意,得(x+70)-[63+(0.8x+20)]=37,解得x=250.
所以0.8x+20=220.所以丙同学第二次购书实际付款220元.
解析
【分析】
这是典型的分段折扣计费问题，解题思路如下：
1. 第一问：已知购书总标价100元，对照优惠规则，100元未超过200元，直接按照九折计算付款金额即可。
2. 第二问：已知总标价x＞200，按照分段优惠规则，200元部分按九折计费，超出200的部分(x-200)按八折计费，合并化简即可得到付款的代数式。
3. 第三问：首先判断第一次购书的折扣区间，先算出200元打九折的付款额为180元，第一次付款63元小于180元，说明第一次仅享受九折，先算出第一次购书的原标价，再结合两次总共节约37元的条件，用两次总标价减去两次实际总付款等于总节约金额建立一元一次方程，求解得到第二次购书的原标价，最后代入第二问的计费公式算出第二次实际付款即可。
【解析】
(1) 因为100元＜200元，符合全部九折的优惠条件，所以需付款：
$100×0.9 = 90$ 元。
(2) 当$x＞200$时，200元部分按九折计费：$200×0.9=180$元，超出200元的部分为$(x-200)$元，按八折计费为$0.8(x-200)$元，总付款为：
$180 + 0.8(x-200) = 180 + 0.8x - 160 = 0.8x + 20$ 元。
(3) 首先判断第一次购书的折扣区间：
200元按九折优惠后的付款额为$200×0.9=180$元，由于$63＜180$，说明第一次购书总标价未超过200元，仅享受九折优惠，因此第一次购书的原标价为：
$63÷0.9 = 70$ 元。
设第二次购书的原标价为$x$元，已知第二次享受了八折优惠，说明$x＞200$，第二次实际付款为$(0.8x + 20)$元。
根据“两次共节约37元”，可得等量关系：两次总原标价 - 两次实际总付款 = 总节约金额，列方程：
$(70 + x) - [63 + (0.8x + 20)] = 37$
展开化简：$70 + x - 0.8x - 83 = 37$
$0.2x -13 = 37$
$0.2x = 50$
解得$x=250$
将$x=250$代入第二次实际付款公式：$0.8×250 + 20 = 220$ 元。
【答案】
(1) 90；(2) $(0.8x+20)$；(3) 丙同学第二次购书实际付款220元
【知识点】
分段计费，一元一次方程应用，折扣计算
【点评】
本题结合生活中的购书优惠场景命题，难度梯度设置合理，前两问侧重对分段规则的直接应用，第三问需要先判断消费对应的折扣区间再建立等量关系，易错点是学生容易忽略第一次购书的原价计算，搞错节约金额的对应关系，能很好地锻炼学生分类讨论和建立实际问题数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
这是典型的分段折扣计费问题，解题思路如下：
1. 第一问：已知购书总标价100元，对照优惠规则，100元未超过200元，直接按照九折计算付款金额即可。
2. 第二问：已知总标价x＞200，按照分段优惠规则，200元部分按九折计费，超出200的部分(x-200)按八折计费，合并化简即可得到付款的代数式。
3. 第三问：首先判断第一次购书的折扣区间，先算出200元打九折的付款额为180元，第一次付款63元小于180元，说明第一次仅享受九折，先算出第一次购书的原标价，再结合两次总共节约37元的条件，用两次总标价减去两次实际总付款等于总节约金额建立一元一次方程，求解得到第二次购书的原标价，最后代入第二问的计费公式算出第二次实际付款即可。
【解析】
(1) 因为100元＜200元，符合全部九折的优惠条件，所以需付款：
$100×0.9 = 90$ 元。
(2) 当$x＞200$时，200元部分按九折计费：$200×0.9=180$元，超出200元的部分为$(x-200)$元，按八折计费为$0.8(x-200)$元，总付款为：
$180 + 0.8(x-200) = 180 + 0.8x - 160 = 0.8x + 20$ 元。
(3) 首先判断第一次购书的折扣区间：
200元按九折优惠后的付款额为$200×0.9=180$元，由于$63＜180$，说明第一次购书总标价未超过200元，仅享受九折优惠，因此第一次购书的原标价为：
$63÷0.9 = 70$ 元。
设第二次购书的原标价为$x$元，已知第二次享受了八折优惠，说明$x＞200$，第二次实际付款为$(0.8x + 20)$元。
根据“两次共节约37元”，可得等量关系：两次总原标价 - 两次实际总付款 = 总节约金额，列方程：
$(70 + x) - [63 + (0.8x + 20)] = 37$
展开化简：$70 + x - 0.8x - 83 = 37$
$0.2x -13 = 37$
$0.2x = 50$
解得$x=250$
将$x=250$代入第二次实际付款公式：$0.8×250 + 20 = 220$ 元。
【答案】
(1) 90；(2) $(0.8x+20)$；(3) 丙同学第二次购书实际付款220元
【知识点】
分段计费，一元一次方程应用，折扣计算
【点评】
本题结合生活中的购书优惠场景命题，难度梯度设置合理，前两问侧重对分段规则的直接应用，第三问需要先判断消费对应的折扣区间再建立等量关系，易错点是学生容易忽略第一次购书的原价计算，搞错节约金额的对应关系，能很好地锻炼学生分类讨论和建立实际问题数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
11. 某销售商十月份销售 A,B,C 三种糖果的数量之比为 $2:1:1$,A,B,C 三种糖果的单价之比为 $1:3:4$. 十一月份该销售商加大了宣传力度,使三种糖果的营业额都有所增加,其中 A 种糖果增加的营业额占总增加营业额的$\dfrac{7}{15}$,A 种糖果的营业额与十一月份三种糖果的总营业额之比为 $3:$8. 若十一月份 B,C 两种糖果的营业额之比为 $2:3$,则十一月份 C 种糖果增加的营业额与十一月份的总营业额之比为
5:24
.答案
11. $5:24$ 提示:设十月份A,B,C三种糖果的销售数量分别为2a,a,a,单价分别为b,3b,4b,则十月份A,B,C三种糖果的营业额分别为2ab,3ab,4ab.因为A种糖果增加的营业额占总增加营业额的$\frac{7}{15}$,所以设十一月份A种糖果增加的营业额为7x,则十一月份总增加的营业额为15x.又因为A种糖果的营业额与十一月份三种糖果的总营业额之比为3:8,所以$(7x+2ab):(15x+9ab)=3:8$,解得x=ab,所以十一月份A种糖果的营业额为9ab,十一月份三种糖果的总营业额为24ab,所以十一月份B,C两种糖果的营业额之和为15ab.又因为十一月份B,C两种糖果的营业额之比为2:3,所以十一月份B,C两种糖果的营业额分别为6ab,9ab.所以十一月份C种糖果增加的营业额为9ab-4ab=5ab.所以十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份的总营业额之比为5ab:24ab=5:24.
解析
【分析】
这道题全程只给出各类比例关系，没有任何具体的数值，因此优先选用设辅助参数的“设而不求”思路解题：
1. 先根据十月份给出的数量比、单价比，设两个基础参数a、b，直接表示出十月份三种糖果各自的营业额，算出十月总营业额；
2. 再根据“A种糖果增加的营业额占总增加营业额的7/15”，设增量相关的参数x，把A的增量、总增量都用x表示；
3. 接着利用题目给出的“A的营业额和十一月总营业额的比值为3:8”列方程，解出x和ab的等量关系；
4. 后续依次推导十一月总营业额、B和C的营业额之和，再结合十一月B、C的营业额比得到C的当月营业额，减去十月C的原有营业额得到C的增量，最终所有参数都会约去，直接得到目标比值。
【解析】
1. 表示十月份各部分营业额
设十月份A、B、C三种糖果的销售数量分别为2a、a、a，单价分别为b、3b、4b：
A的十月营业额：$2a · b = 2ab$
B的十月营业额：$a · 3b = 3ab$
C的十月营业额：$a · 4b = 4ab$
十月份总营业额：$2ab+3ab+4ab=9ab$
2. 设增量参数并列方程
由A种糖果增加的营业额占总增加营业额的$\frac{7}{15}$，设A的增量为$7x$，则十一月总增量为$15x$：
十一月A的总营业额：$2ab+7x$
十一月全部糖果的总营业额：十月总营业额 + 总增量 = $9ab+15x$
根据“A的营业额与十一月总营业额之比为3:8”列比例式：
$\frac{2ab+7x}{9ab+15x}=\frac{3}{8}$
交叉相乘展开得：$8(2ab+7x)=3(9ab+15x)$
化简：$16ab+56x=27ab+45x$，移项得$11x=11ab$，即$x=ab$。
3. 推导十一月各部分营业额
将$x=ab$代入：
十一月A的营业额：$2ab+7ab=9ab$
十一月总营业额：$9ab+15ab=24ab$
因此十一月B、C的营业额之和为：$24ab-9ab=15ab$
已知十一月B、C营业额之比为2:3，可得：
十一月B的营业额：$15ab × \frac{2}{2+3}=6ab$
十一月C的营业额：$15ab × \frac{3}{2+3}=9ab$
4. 计算目标比值
C的增量 = 十一月C的营业额 - 十月C的营业额 = $9ab-4ab=5ab$
因此所求比值为：$5ab:24ab=5:24$
【答案】
$5:24$
【知识点】
比例的性质，设而不求参数法，代数式化简
【点评】
本题是典型的比例类应用题，属于初中数学高频的填空压轴题型，核心考察“设而不求”的参数思想，不需要计算参数的具体取值，所有辅助参数最终都会约去。解题的易错点是混淆“当月营业额”和“增加的营业额”两个概念，只要理清不同月份、不同类别的量的对应关系，逐步推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.3
这道题全程只给出各类比例关系，没有任何具体的数值，因此优先选用设辅助参数的“设而不求”思路解题：
1. 先根据十月份给出的数量比、单价比，设两个基础参数a、b，直接表示出十月份三种糖果各自的营业额，算出十月总营业额；
2. 再根据“A种糖果增加的营业额占总增加营业额的7/15”，设增量相关的参数x，把A的增量、总增量都用x表示；
3. 接着利用题目给出的“A的营业额和十一月总营业额的比值为3:8”列方程，解出x和ab的等量关系；
4. 后续依次推导十一月总营业额、B和C的营业额之和，再结合十一月B、C的营业额比得到C的当月营业额，减去十月C的原有营业额得到C的增量，最终所有参数都会约去，直接得到目标比值。
【解析】
1. 表示十月份各部分营业额
设十月份A、B、C三种糖果的销售数量分别为2a、a、a，单价分别为b、3b、4b：
A的十月营业额：$2a · b = 2ab$
B的十月营业额：$a · 3b = 3ab$
C的十月营业额：$a · 4b = 4ab$
十月份总营业额：$2ab+3ab+4ab=9ab$
2. 设增量参数并列方程
由A种糖果增加的营业额占总增加营业额的$\frac{7}{15}$，设A的增量为$7x$，则十一月总增量为$15x$：
十一月A的总营业额：$2ab+7x$
十一月全部糖果的总营业额：十月总营业额 + 总增量 = $9ab+15x$
根据“A的营业额与十一月总营业额之比为3:8”列比例式：
$\frac{2ab+7x}{9ab+15x}=\frac{3}{8}$
交叉相乘展开得：$8(2ab+7x)=3(9ab+15x)$
化简：$16ab+56x=27ab+45x$，移项得$11x=11ab$，即$x=ab$。
3. 推导十一月各部分营业额
将$x=ab$代入：
十一月A的营业额：$2ab+7ab=9ab$
十一月总营业额：$9ab+15ab=24ab$
因此十一月B、C的营业额之和为：$24ab-9ab=15ab$
已知十一月B、C营业额之比为2:3，可得：
十一月B的营业额：$15ab × \frac{2}{2+3}=6ab$
十一月C的营业额：$15ab × \frac{3}{2+3}=9ab$
4. 计算目标比值
C的增量 = 十一月C的营业额 - 十月C的营业额 = $9ab-4ab=5ab$
因此所求比值为：$5ab:24ab=5:24$
【答案】
$5:24$
【知识点】
比例的性质，设而不求参数法，代数式化简
【点评】
本题是典型的比例类应用题，属于初中数学高频的填空压轴题型，核心考察“设而不求”的参数思想，不需要计算参数的具体取值，所有辅助参数最终都会约去。解题的易错点是混淆“当月营业额”和“增加的营业额”两个概念，只要理清不同月份、不同类别的量的对应关系，逐步推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.3
12. 如图是2026年4月的月历，“T”形、“田”字形两个阴影图形分别覆盖其中四个方格(可以重叠覆盖)，设“T”形阴影覆盖的最小数字为$a$，四个数字之和为$S_1$，“田”字形阴影覆盖的最小数字为$b$，四个数字之和为$S_2$.
(1) $S_1$的值能否为79？若能，求出$a$的值；若不能，请说明理由.
(2) $S_1+S_2$的值能否为43？若能，求出$a$的值；若不能，请说明理由.
(3) 若$S_1+S_2=187$，则$S_1-S_2$的最小值为多少？
(1) $S_1$的值能否为79？若能，求出$a$的值；若不能，请说明理由.
(2) $S_1+S_2$的值能否为43？若能，求出$a$的值；若不能，请说明理由.
(3) 若$S_1+S_2=187$，则$S_1-S_2$的最小值为多少？
答案
12. 解:(1) 不能.理由如下:
设“T”形阴影覆盖的最小数字为a,则其他数字分别为a+1,a+2,a+8,所以$S_1=a+(a+1)+(a+2)+(a+8)=4a+11=79$,解得a=17.由月历可知,当a=17时,不能构成“T”阴影,即$S_1$的值不能为79.
(2) 能.a的值为1或2,理由如下:
由(1)可知,$S_1=4a+11$,设“田”字形阴影覆盖的最小数字为b,则其他数字分别为b+1,b+7,b+8,所以$S_2=b+(b+1)+(b+7)+(b+8)=4b+16$,所以$S_1+S_2=4a+11+4b+16=4a+4b+27=43$,整理,得a+b=4.因为a,b都是正整数,当a=1时,b=3,满足条件;当a=2时,b=2,满足条件;当a=3时,b=1,“T”形阴影条件不满足.综上所述,$S_1+S_2$的值能为43,此时a的值为1或2.
(3) 由(2)可知,$S_1=4a+11$,$S_2=4b+16$,$S_1+S_2=4a+4b+27$.因为$S_1+S_2=187$,所以4a+4b+27=187,整理,得a+b=40.因为a,b都是正整数,所以满足条件的a,b的值为$\begin{cases}a=19,\\b=21\end{cases}$或$\begin{cases}a=20,\\b=20\end{cases}$或$\begin{cases}a=21,\\b=19.\end{cases}$因为$S_1-S_2=4a+11-(4b+16)=4(a-b)-5$,即当a-b的值最小时,$S_1-S_2$最小,所以当a=19时,b=21时,$S_1-S_2$有最小值,为$4×(19-21)-5=-13$.
设“T”形阴影覆盖的最小数字为a,则其他数字分别为a+1,a+2,a+8,所以$S_1=a+(a+1)+(a+2)+(a+8)=4a+11=79$,解得a=17.由月历可知,当a=17时,不能构成“T”阴影,即$S_1$的值不能为79.
(2) 能.a的值为1或2,理由如下:
由(1)可知,$S_1=4a+11$,设“田”字形阴影覆盖的最小数字为b,则其他数字分别为b+1,b+7,b+8,所以$S_2=b+(b+1)+(b+7)+(b+8)=4b+16$,所以$S_1+S_2=4a+11+4b+16=4a+4b+27=43$,整理,得a+b=4.因为a,b都是正整数,当a=1时,b=3,满足条件;当a=2时,b=2,满足条件;当a=3时,b=1,“T”形阴影条件不满足.综上所述,$S_1+S_2$的值能为43,此时a的值为1或2.
(3) 由(2)可知,$S_1=4a+11$,$S_2=4b+16$,$S_1+S_2=4a+4b+27$.因为$S_1+S_2=187$,所以4a+4b+27=187,整理,得a+b=40.因为a,b都是正整数,所以满足条件的a,b的值为$\begin{cases}a=19,\\b=21\end{cases}$或$\begin{cases}a=20,\\b=20\end{cases}$或$\begin{cases}a=21,\\b=19.\end{cases}$因为$S_1-S_2=4a+11-(4b+16)=4(a-b)-5$,即当a-b的值最小时,$S_1-S_2$最小,所以当a=19时,b=21时,$S_1-S_2$有最小值,为$4×(19-21)-5=-13$.
解析
【分析】
我们首先利用月历的数字排布规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7，先根据图中阴影形状，分别用最小数a表示T形阴影的全部4个数字，用最小数b表示田字形阴影的全部4个数字，推导出S₁和S₂的代数式。后续分三小问逐步求解：
1. 第一问假设S₁=79，解方程得到a的取值后，对照月历验证该a是否能构造出符合要求的T形阴影，即可判断结论；
2. 第二问将S₁和S₂的代数式相加化简，得到关于a、b的整数方程，枚举所有正整数解，逐一验证对应的a、b都能在月历中构造出对应阴影，筛选出合法的a值；
3. 第三问先由S₁+S₂=187得到a+b的等式，找出所有满足月历构造要求的正整数(a,b)组合，再将S₁-S₂转化为关于a、b的代数式，代入所有合法组合计算得到最小值。
【解析】
(1) 不能，理由如下：
由T形阴影的排布特征，已知最小数为a，其余三个数分别为a+1、a+2、a+8，因此：
$S_1=a+(a+1)+(a+2)+(a+8)=4a+11$
令$S_1=79$，即$4a+11=79$，解得$a=17$。
对照月历可知，当a=17时，无法构造出符合要求的T形阴影，因此$S_1$的值不能为79。
(2) 能，推导如下：
由田字形阴影的排布特征，已知最小数为b，其余三个数分别为b+1、b+7、b+8，因此：
$S_2=b+(b+1)+(b+7)+(b+8)=4b+16$
因此$S_1+S_2=4a+11+4b+16=4a+4b+27$
令$S_1+S_2=43$，即$4a+4b+27=43$，整理得$a+b=4$。
a、b均为正整数，枚举验证：
当a=1时，b=3，可构造对应阴影，符合条件；
当a=2时，b=2，可构造对应阴影，符合条件；
当a=3时，b=1，无法构造符合要求的T形阴影，不符合条件。
因此$S_1+S_2$的值能为43，此时a的值为1或2。
(3) 由$S_1+S_2=187$，代入$S_1+S_2=4a+4b+27$得：
$4a+4b+27=187$，整理得$a+b=40$。
结合月历中两个阴影的构造限制，所有合法的(a,b)整数组合为：$\begin{cases}a=19\\b=21\end{cases}$、$\begin{cases}a=20\\b=20\end{cases}$、$\begin{cases}a=21\\b=19\end{cases}$。
将$S_1-S_2$化简：
$S_1-S_2=(4a+11)-(4b+16)=4(a-b)-5$
要让$S_1-S_2$最小，需让$a-b$取最小值，当a=19，b=21时，$a-b=-2$，代入得：
$S_1-S_2=4×(-2)-5=-13$，即最小值为-13。
【答案】
(1) 不能，理由见解析；(2) 能，a的值为1或2；(3) $S_1-S_2$的最小值为-13
【知识点】
月历数字规律；一元一次方程应用；代数式最值
【点评】
本题以月历为实际情境，结合整式运算、方程求解考察实际问题的分析能力，核心是先根据月历排布特征推导两个阴影的数字和表达式，易错点是得到方程的解后必须结合月历的实际限制验证解的合理性，不能直接取方程的数学解，第三问需要先枚举所有合法的整数对再求最值，避免漏解错解。
【难度系数】
0.45
我们首先利用月历的数字排布规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7，先根据图中阴影形状，分别用最小数a表示T形阴影的全部4个数字，用最小数b表示田字形阴影的全部4个数字，推导出S₁和S₂的代数式。后续分三小问逐步求解：
1. 第一问假设S₁=79，解方程得到a的取值后，对照月历验证该a是否能构造出符合要求的T形阴影，即可判断结论；
2. 第二问将S₁和S₂的代数式相加化简，得到关于a、b的整数方程，枚举所有正整数解，逐一验证对应的a、b都能在月历中构造出对应阴影，筛选出合法的a值；
3. 第三问先由S₁+S₂=187得到a+b的等式，找出所有满足月历构造要求的正整数(a,b)组合，再将S₁-S₂转化为关于a、b的代数式，代入所有合法组合计算得到最小值。
【解析】
(1) 不能，理由如下：
由T形阴影的排布特征，已知最小数为a，其余三个数分别为a+1、a+2、a+8，因此：
$S_1=a+(a+1)+(a+2)+(a+8)=4a+11$
令$S_1=79$，即$4a+11=79$，解得$a=17$。
对照月历可知，当a=17时，无法构造出符合要求的T形阴影，因此$S_1$的值不能为79。
(2) 能，推导如下：
由田字形阴影的排布特征，已知最小数为b，其余三个数分别为b+1、b+7、b+8，因此：
$S_2=b+(b+1)+(b+7)+(b+8)=4b+16$
因此$S_1+S_2=4a+11+4b+16=4a+4b+27$
令$S_1+S_2=43$，即$4a+4b+27=43$，整理得$a+b=4$。
a、b均为正整数，枚举验证：
当a=1时，b=3，可构造对应阴影，符合条件；
当a=2时，b=2，可构造对应阴影，符合条件；
当a=3时，b=1，无法构造符合要求的T形阴影，不符合条件。
因此$S_1+S_2$的值能为43，此时a的值为1或2。
(3) 由$S_1+S_2=187$，代入$S_1+S_2=4a+4b+27$得：
$4a+4b+27=187$，整理得$a+b=40$。
结合月历中两个阴影的构造限制，所有合法的(a,b)整数组合为：$\begin{cases}a=19\\b=21\end{cases}$、$\begin{cases}a=20\\b=20\end{cases}$、$\begin{cases}a=21\\b=19\end{cases}$。
将$S_1-S_2$化简：
$S_1-S_2=(4a+11)-(4b+16)=4(a-b)-5$
要让$S_1-S_2$最小，需让$a-b$取最小值，当a=19，b=21时，$a-b=-2$，代入得：
$S_1-S_2=4×(-2)-5=-13$，即最小值为-13。
【答案】
(1) 不能，理由见解析；(2) 能，a的值为1或2；(3) $S_1-S_2$的最小值为-13
【知识点】
月历数字规律；一元一次方程应用；代数式最值
【点评】
本题以月历为实际情境，结合整式运算、方程求解考察实际问题的分析能力，核心是先根据月历排布特征推导两个阴影的数字和表达式，易错点是得到方程的解后必须结合月历的实际限制验证解的合理性，不能直接取方程的数学解，第三问需要先枚举所有合法的整数对再求最值，避免漏解错解。
【难度系数】
0.45
