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一、选择题(每小题4分,共24分)
1. 下列各式：$\frac{a-b}{2},\frac{x-3}{x},\frac{5+y}{π},\frac{a+b}{a-b}$中，是分式的共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 下列各式：$\frac{a-b}{2},\frac{x-3}{x},\frac{5+y}{π},\frac{a+b}{a-b}$中，是分式的共有（
B
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断给定式子中分式的个数，首先需明确分式的判定标准：判断一个式子是不是分式，关键看分母中是否含有字母，注意π是圆周率，属于固定常数，不属于字母。接下来逐个分析每个式子的分母是否含字母，统计符合分式定义的式子数量即可。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），则$\frac{A}{B}$叫做分式，逐一分析如下：
1. $\frac{a-b}{2}$：分母为2，是常数，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x-3}{x}$：分母为x，含有字母，符合分式定义，是分式；
3. $\frac{5+y}{π}$：分母为π，π是固定常数，不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{a+b}{a-b}$：分母为$a-b$，含有字母，符合分式定义，是分式。
综上，分式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 代数式分类
【点评】
本题是基础概念题，主要考查分式的判定，易错点是容易误将π当作字母导致判断错误，只要牢记分式的判定核心是分母含字母、π为常数，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
要判断给定式子中分式的个数，首先需明确分式的判定标准：判断一个式子是不是分式，关键看分母中是否含有字母，注意π是圆周率，属于固定常数，不属于字母。接下来逐个分析每个式子的分母是否含字母，统计符合分式定义的式子数量即可。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），则$\frac{A}{B}$叫做分式，逐一分析如下：
1. $\frac{a-b}{2}$：分母为2，是常数，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x-3}{x}$：分母为x，含有字母，符合分式定义，是分式；
3. $\frac{5+y}{π}$：分母为π，π是固定常数，不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{a+b}{a-b}$：分母为$a-b$，含有字母，符合分式定义，是分式。
综上，分式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 代数式分类
【点评】
本题是基础概念题，主要考查分式的判定，易错点是容易误将π当作字母导致判断错误，只要牢记分式的判定核心是分母含字母、π为常数，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
2. 下列二次根式中,为最简二次根式的是(
A.$\sqrt{45}$
B.$\sqrt{a^2 + b^2}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
D.$\sqrt{3.6}$
B
).A.$\sqrt{45}$
B.$\sqrt{a^2 + b^2}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
D.$\sqrt{3.6}$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数为整数、因式为整式（即被开方数不含分母）；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需按照这两个条件逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{a^2+b^2}$的被开方数是整式，且不存在能开得尽方的因式，符合最简二次根式的要求；
C选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，化简得$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{3.6}=\sqrt{\dfrac{18}{5}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$，被开方数是小数（本质是分数），含分母，不是最简二次根式。
综上，只有B选项是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心考查对最简二次根式定义的理解，只要牢记判定规则逐一排查选项，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数为整数、因式为整式（即被开方数不含分母）；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需按照这两个条件逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{a^2+b^2}$的被开方数是整式，且不存在能开得尽方的因式，符合最简二次根式的要求；
C选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，化简得$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{3.6}=\sqrt{\dfrac{18}{5}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$，被开方数是小数（本质是分数），含分母，不是最简二次根式。
综上，只有B选项是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心考查对最简二次根式定义的理解，只要牢记判定规则逐一排查选项，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 把分式$\dfrac{ab}{2a+b}$中的$a$，$b$都扩大2倍，则分式的值（
A.缩小4倍
B.不变
C.缩小2倍
D.扩大2倍
D
）.A.缩小4倍
B.不变
C.缩小2倍
D.扩大2倍
答案
3.D
解析
【分析】
要判断分式中a、b都扩大2倍后分式值的变化，首先将原分式中的a替换为2a、b替换为2b，得到新的分式，再通过化简新分式，将其与原分式对比，即可得出分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的a、b都替换为2a、2b，代入可得新分式：
$\dfrac{(2a)·(2b)}{2·(2a)+2b}$
先计算分子：$(2a)·(2b)=4ab$
再化简分母：$2·(2a)+2b=4a+2b=2(2a+b)$
因此新分式可整理为：
$\dfrac{4ab}{2(2a+b)}=2·\dfrac{ab}{2a+b}$
对比原分式$\dfrac{ab}{2a+b}$，可知新分式的值是原分式值的2倍，即分式的值扩大2倍。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分
【点评】
本题考查分式值的变化规律，解题核心是按题意替换变量后化简，再与原式对比，属于基础题型，熟练掌握分式的运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断分式中a、b都扩大2倍后分式值的变化，首先将原分式中的a替换为2a、b替换为2b，得到新的分式，再通过化简新分式，将其与原分式对比，即可得出分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的a、b都替换为2a、2b，代入可得新分式：
$\dfrac{(2a)·(2b)}{2·(2a)+2b}$
先计算分子：$(2a)·(2b)=4ab$
再化简分母：$2·(2a)+2b=4a+2b=2(2a+b)$
因此新分式可整理为：
$\dfrac{4ab}{2(2a+b)}=2·\dfrac{ab}{2a+b}$
对比原分式$\dfrac{ab}{2a+b}$，可知新分式的值是原分式值的2倍，即分式的值扩大2倍。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分
【点评】
本题考查分式值的变化规律，解题核心是按题意替换变量后化简，再与原式对比，属于基础题型，熟练掌握分式的运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 下列根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是(
A.$\sqrt{9}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$
D
).A.$\sqrt{9}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$
答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪个根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，则为同类二次根式。因此解题步骤为：先逐个化简四个选项的根式，再对比化简后的被开方数是否为3即可。
【解析】
根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，逐个分析选项：
A. $\sqrt{9}=3$，化简后为整数，被开方数等价于1，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{6}$已是最简二次根式，被开方数为6，与3不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与3不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{\dfrac{1}{12}}=\sqrt{\dfrac{3}{12×3}}=\sqrt{\dfrac{3}{36}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式、二次根式的化简、最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式模块的基础题型，解题核心是牢记判断同类二次根式必须先将根式化为最简形式，再对比被开方数，切忌直接观察原式的被开方数判断，避免出现失误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，则为同类二次根式。因此解题步骤为：先逐个化简四个选项的根式，再对比化简后的被开方数是否为3即可。
【解析】
根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，逐个分析选项：
A. $\sqrt{9}=3$，化简后为整数，被开方数等价于1，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{6}$已是最简二次根式，被开方数为6，与3不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与3不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{\dfrac{1}{12}}=\sqrt{\dfrac{3}{12×3}}=\sqrt{\dfrac{3}{36}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式、二次根式的化简、最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式模块的基础题型，解题核心是牢记判断同类二次根式必须先将根式化为最简形式，再对比被开方数，切忌直接观察原式的被开方数判断，避免出现失误。
【难度系数】
0.7
5. (济宁中考)下列各式从左到右的变形中,因式分解正确的是(
A.$(a+3)^2=a^2+6a+9$
B.$a^2-4a+4=a(a-4)+4$
C.$5ax^2-5ay^2=5a(x+y)(x-y)$
D.$a^2-2a-8=(a-2)(a+4)$
C
).A.$(a+3)^2=a^2+6a+9$
B.$a^2-4a+4=a(a-4)+4$
C.$5ax^2-5ay^2=5a(x+y)(x-y)$
D.$a^2-2a-8=(a-2)(a+4)$
答案
5.C
解析
【分析】
解题首先要明确因式分解的核心判断标准：一是变形结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形前后的式子必须相等，且分解要彻底。解题时我们逐个分析选项：首先排除不符合“结果为乘积形式”的选项，再验证剩余选项的分解是否正确，最终选出正确答案。
【解析】
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们对每个选项逐一判断：
A选项：$(a+3)^2=a^2+6a+9$是整式的乘法运算，是从乘积形式转化为多项式形式，不属于因式分解，故A错误；
B选项：$a^2-4a+4=a(a-4)+4$的右边是和的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
C选项：先提取公因式$5a$，再利用平方差公式分解：$5ax^2-5ay^2=5a(x^2-y^2)=5a(x+y)(x-y)$，符合因式分解的要求，故C正确；
D选项：将右边$(a-2)(a+4)$展开得$a^2+2a-8$，和左边的$a^2-2a-8$不相等，分解错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的判断，属于基础常考题，需要同学们牢记因式分解的定义，熟练掌握提公因式法和公式法的应用，同时要注意验证分解后的结果是否和原式相等。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确因式分解的核心判断标准：一是变形结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形前后的式子必须相等，且分解要彻底。解题时我们逐个分析选项：首先排除不符合“结果为乘积形式”的选项，再验证剩余选项的分解是否正确，最终选出正确答案。
【解析】
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。我们对每个选项逐一判断：
A选项：$(a+3)^2=a^2+6a+9$是整式的乘法运算，是从乘积形式转化为多项式形式，不属于因式分解，故A错误；
B选项：$a^2-4a+4=a(a-4)+4$的右边是和的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
C选项：先提取公因式$5a$，再利用平方差公式分解：$5ax^2-5ay^2=5a(x^2-y^2)=5a(x+y)(x-y)$，符合因式分解的要求，故C正确；
D选项：将右边$(a-2)(a+4)$展开得$a^2+2a-8$，和左边的$a^2-2a-8$不相等，分解错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的判断，属于基础常考题，需要同学们牢记因式分解的定义，熟练掌握提公因式法和公式法的应用，同时要注意验证分解后的结果是否和原式相等。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $ x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, y=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $，则 $ x^2+xy+y^2 $ 的值为（
A.2
B.4
C.5
D.7
B
）。A.2
B.4
C.5
D.7
答案
6.B
解析
【分析】
直接将x、y代入原式计算会涉及大量二次根式的运算，容易出错。我们可以先利用完全平方公式对所求代数式变形：$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$，只需要先求出$x+y$和$xy$的值，再代入变形后的式子计算即可，大幅简化运算步骤。
【解析】
首先计算$x+y$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
再计算$xy$的值，利用平方差公式简化分子运算：
$xy=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5})^2-1^2}{4}=\frac{5-1}{4}=1$
将$x+y=\sqrt{5}$、$xy=1$代入变形后的代数式：
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=(\sqrt{5})^2-1=5-1=4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题属于代数式化简求值的典型题型，核心考查乘法公式的灵活运用，通过变形避免复杂的直接代入计算，能有效检验学生的运算技巧和对公式的掌握程度。
【难度系数】
0.7
直接将x、y代入原式计算会涉及大量二次根式的运算，容易出错。我们可以先利用完全平方公式对所求代数式变形：$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$，只需要先求出$x+y$和$xy$的值，再代入变形后的式子计算即可，大幅简化运算步骤。
【解析】
首先计算$x+y$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
再计算$xy$的值，利用平方差公式简化分子运算：
$xy=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5})^2-1^2}{4}=\frac{5-1}{4}=1$
将$x+y=\sqrt{5}$、$xy=1$代入变形后的代数式：
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=(\sqrt{5})^2-1=5-1=4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题属于代数式化简求值的典型题型，核心考查乘法公式的灵活运用，通过变形避免复杂的直接代入计算，能有效检验学生的运算技巧和对公式的掌握程度。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题4分,共24分)
7. 使二次根式$\sqrt{6-3x}$有意义的$x$的取值范围是________.
7. 使二次根式$\sqrt{6-3x}$有意义的$x$的取值范围是________.
答案
7.$x≤2$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式有意义的判定规则：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。首先提取题干中二次根式的被开方数为$6-3x$，根据规则列出不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可，注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{6-3x}$有意义，需满足被开方数为非负数，列不等式得：
$\begin{aligned}6-3x&≥0\\-3x&≥-6\\x&≤2\end{aligned}$
【答案】
$x≤2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，重点考查二次根式的取值要求，解题的易错点为解系数为负的一元一次不等式时忘记改变不等号方向，学习时要注意该类细节问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式有意义的判定规则：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。首先提取题干中二次根式的被开方数为$6-3x$，根据规则列出不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可，注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{6-3x}$有意义，需满足被开方数为非负数，列不等式得：
$\begin{aligned}6-3x&≥0\\-3x&≥-6\\x&≤2\end{aligned}$
【答案】
$x≤2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，重点考查二次根式的取值要求，解题的易错点为解系数为负的一元一次不等式时忘记改变不等号方向，学习时要注意该类细节问题。
【难度系数】
0.8
8. 已知一次函数$y=kx+6$经过点$(-1,3)$，那么$k$等于$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
8.3
解析
【分析】
解题思路：首先明确“一次函数图象经过某点”的含义是该点的坐标满足一次函数的解析式。我们可以将已知点的横坐标和纵坐标分别代入解析式中的x和y，得到只含有未知数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到k的值。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+6$经过点$(-1,3)$
∴将$x=-1$，$y=3$代入解析式，得：
$3 = -k + 6$
移项得：$-k = 3 - 6$
合并同类项得：$-k = -3$
系数化为1得：$k = 3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，核心考察代入法的应用，熟练掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系是解题的关键，这类题型是一次函数板块的常见基础考题，也是后续学习一次函数综合应用的基础。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确“一次函数图象经过某点”的含义是该点的坐标满足一次函数的解析式。我们可以将已知点的横坐标和纵坐标分别代入解析式中的x和y，得到只含有未知数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到k的值。
【解析】
解：
∵一次函数$y=kx+6$经过点$(-1,3)$
∴将$x=-1$，$y=3$代入解析式，得：
$3 = -k + 6$
移项得：$-k = 3 - 6$
合并同类项得：$-k = -3$
系数化为1得：$k = 3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，核心考察代入法的应用，熟练掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系是解题的关键，这类题型是一次函数板块的常见基础考题，也是后续学习一次函数综合应用的基础。
【难度系数】
0.9
9. 当$x=\_\_\_\_\_\_$时，分式$\dfrac{x^2 - 16}{4 - x}$的值为零。
答案
9.$-4$
解析
【分析】要使分式的值为零，需同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先求解分子等于0时x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的结果。
【解析】分式的值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 16 = 0$，因式分解得$(x+4)(x-4)=0$，解得$x=4$或$x=-4$；
2. 分母不等于0：$4 - x ≠ 0$，解得$x ≠ 4$。
综上，排除不符合条件的$x=4$，可得$x=-4$。
【答案】$-4$
【知识点】分式值为零的条件，分式有意义的条件，平方差公式
【点评】本题是分式部分的基础常考题，解题的易错点是仅考虑分子为0，忽略分母不能为0的前提，做题时要牢记两个条件需同时成立，避免出现多解错误。
【难度系数】0.7
【解析】分式的值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 - 16 = 0$，因式分解得$(x+4)(x-4)=0$，解得$x=4$或$x=-4$；
2. 分母不等于0：$4 - x ≠ 0$，解得$x ≠ 4$。
综上，排除不符合条件的$x=4$，可得$x=-4$。
【答案】$-4$
【知识点】分式值为零的条件，分式有意义的条件，平方差公式
【点评】本题是分式部分的基础常考题，解题的易错点是仅考虑分子为0，忽略分母不能为0的前提，做题时要牢记两个条件需同时成立，避免出现多解错误。
【难度系数】0.7
10. 若关于$ x $的分式方程$\frac{m - 1}{x - 1}=2$的解为非负数，则$ m $的取值范围是
$m≥-1$且$m≠1$
.答案
10. $m≥-1$且$m≠1$ 解析:去分母,得$m-1=2x-2$,
$\therefore 2x=m+1,\therefore x=\dfrac{m+1}{2}$.
根据题意,得$\dfrac{m+1}{2}≥0$,解得$m≥-1$.
$\because x-1≠0,\therefore x≠1$,
$\therefore \dfrac{m+1}{2}≠1$,解得$m≠1$.
故$m$的取值范围是$m≥-1$且$m≠1$.
$\therefore 2x=m+1,\therefore x=\dfrac{m+1}{2}$.
根据题意,得$\dfrac{m+1}{2}≥0$,解得$m≥-1$.
$\because x-1≠0,\therefore x≠1$,
$\therefore \dfrac{m+1}{2}≠1$,解得$m≠1$.
故$m$的取值范围是$m≥-1$且$m≠1$.
解析
【分析】
这道题是已知分式方程的解为非负数，求参数的取值范围。解题思路分为三步：首先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；然后根据“解为非负数”即x≥0，列出第一个不等式求出m的初步范围；最后要注意分式方程的分母不能为0，否则方程无意义，也就是x≠1，列出第二个不等式排除增根对应的m值，合并两个范围即可得到最终结果。
【解析】
解：对分式方程去分母（隐含条件x≠1），得：
$m - 1 = 2(x - 1)$
整理得：$2x = m + 1$
解得：$x = \frac{m + 1}{2}$
∵ 方程的解为非负数
∴ $\frac{m + 1}{2} ≥ 0$，解得$m ≥ -1$
又
∵ 分式分母不为0，即$x - 1 ≠ 0$，$x ≠ 1$
∴ $\frac{m + 1}{2} ≠ 1$，解得$m ≠ 1$
综上，m的取值范围是$m≥-1$且$m≠1$。
【答案】
$m≥-1$且$m≠1$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型基础题，易错点是容易忽略分式分母不能为0的限制条件，漏掉$m≠1$的情况，解题时要注意考虑全面，分式方程求参数范围时必须排除增根对应的参数值。
【难度系数】
0.6
这道题是已知分式方程的解为非负数，求参数的取值范围。解题思路分为三步：首先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；然后根据“解为非负数”即x≥0，列出第一个不等式求出m的初步范围；最后要注意分式方程的分母不能为0，否则方程无意义，也就是x≠1，列出第二个不等式排除增根对应的m值，合并两个范围即可得到最终结果。
【解析】
解：对分式方程去分母（隐含条件x≠1），得：
$m - 1 = 2(x - 1)$
整理得：$2x = m + 1$
解得：$x = \frac{m + 1}{2}$
∵ 方程的解为非负数
∴ $\frac{m + 1}{2} ≥ 0$，解得$m ≥ -1$
又
∵ 分式分母不为0，即$x - 1 ≠ 0$，$x ≠ 1$
∴ $\frac{m + 1}{2} ≠ 1$，解得$m ≠ 1$
综上，m的取值范围是$m≥-1$且$m≠1$。
【答案】
$m≥-1$且$m≠1$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型基础题，易错点是容易忽略分式分母不能为0的限制条件，漏掉$m≠1$的情况，解题时要注意考虑全面，分式方程求参数范围时必须排除增根对应的参数值。
【难度系数】
0.6
11. 若$x,y$为实数，且$|x-7|+(y+1)^2=0$，则$\sqrt{x-y}$的值是________.
答案
11.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构：等式左边是绝对值与平方的和，根据绝对值和平方的非负性可知，两个非负数的和为0时，每一个非负数都为0，据此可先求出x、y的值，再将x、y代入待求的二次根式中计算化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵绝对值和偶次平方都具有非负性，即$|x-7|≥0$，$(y+1)^2≥0$
又
∵$|x-7|+(y+1)^2=0$
∴$\begin{cases}x-7=0 \\ y+1=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=7 \\ y=-1\end{cases}$
将$x=7$，$y=-1$代入$\sqrt{x-y}$得：
$\sqrt{x-y}=\sqrt{7-(-1)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，二次根式化简
【点评】
本题是基础计算题，核心考点是非负数的性质，常见的非负数有绝对值、偶次幂、算术平方根三类，解题时要注意求$x-y$时符号的处理，以及二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的结构：等式左边是绝对值与平方的和，根据绝对值和平方的非负性可知，两个非负数的和为0时，每一个非负数都为0，据此可先求出x、y的值，再将x、y代入待求的二次根式中计算化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵绝对值和偶次平方都具有非负性，即$|x-7|≥0$，$(y+1)^2≥0$
又
∵$|x-7|+(y+1)^2=0$
∴$\begin{cases}x-7=0 \\ y+1=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=7 \\ y=-1\end{cases}$
将$x=7$，$y=-1$代入$\sqrt{x-y}$得：
$\sqrt{x-y}=\sqrt{7-(-1)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，二次根式化简
【点评】
本题是基础计算题，核心考点是非负数的性质，常见的非负数有绝对值、偶次幂、算术平方根三类，解题时要注意求$x-y$时符号的处理，以及二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
12. 若$mn=2,m-3n=3$,则$m^{3}n-6m^{2}n^{2}+9mn^{3}=$______.
答案
12.18
解析
【分析】
解题时先观察待求代数式的结构特征，已知$mn$和$m-3n$的值，因此考虑先对待求式进行因式分解，将其转化为含$mn$和$m-3n$的式子，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$m$、$n$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
首先对待求式因式分解：
1. 提取公因式$mn$：
$m^{3}n - 6m^{2}n^{2} + 9mn^{3} = mn(m^2 - 6mn + 9n^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对括号内的多项式分解：
$m^2 - 6mn + 9n^2 = (m - 3n)^2$
因此待求式可化简为：$mn · (m - 3n)^2$
将$mn=2$，$m-3n=3$代入化简后的式子：
原式$= 2 × 3^2 = 2 × 9 = 18$
【答案】
18
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式求值，核心是通过因式分解将待求式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入的思想计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤，体现了因式分解在整式运算中的简化作用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察待求代数式的结构特征，已知$mn$和$m-3n$的值，因此考虑先对待求式进行因式分解，将其转化为含$mn$和$m-3n$的式子，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$m$、$n$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
首先对待求式因式分解：
1. 提取公因式$mn$：
$m^{3}n - 6m^{2}n^{2} + 9mn^{3} = mn(m^2 - 6mn + 9n^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对括号内的多项式分解：
$m^2 - 6mn + 9n^2 = (m - 3n)^2$
因此待求式可化简为：$mn · (m - 3n)^2$
将$mn=2$，$m-3n=3$代入化简后的式子：
原式$= 2 × 3^2 = 2 × 9 = 18$
【答案】
18
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式求值，核心是通过因式分解将待求式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入的思想计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤，体现了因式分解在整式运算中的简化作用。
【难度系数】
0.7
三、解答题(本大题共52分)
13. (12分)计算:
(1)$\sqrt{12} - |\sqrt{3} - 3| + \sqrt{(-3)^2}$；
(2)$(3 + 2\sqrt{5})^2 - (4 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5})$。
13. (12分)计算:
(1)$\sqrt{12} - |\sqrt{3} - 3| + \sqrt{(-3)^2}$；
(2)$(3 + 2\sqrt{5})^2 - (4 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5})$。
答案
13. (1)原式$=3\sqrt{3}$. (2)原式$=18+12\sqrt{5}$.
解析
【分析】
（1）解这一问时，先分别化简三个部分：①把$\sqrt{12}$化为最简二次根式；②根据绝对值的性质，先判断$\sqrt{3}-3$的正负，再去掉绝对值符号；③计算$\sqrt{(-3)^2}$的结果，最后合并同类二次根式即可得到答案。
（2）解这一问时，先观察两个乘积项的结构：第一个项符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，第二个项符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，分别用公式展开计算后，再合并同类项就能得到结果，用公式计算比直接展开更简便，也能减少计算错误。
【解析】
（1）
第一步：化简各项
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
因为$\sqrt{3}＜3$，所以$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$，
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$。
第二步：代入原式计算
原式$=2\sqrt{3} - (3 - \sqrt{3}) + 3$
$=2\sqrt{3} - 3 + \sqrt{3} + 3$
$=(2\sqrt{3}+\sqrt{3}) + (-3+3)$
$=3\sqrt{3}$。
（2）
第一步：用乘法公式分别展开两个项
根据完全平方公式：$(3+2\sqrt{5})^2=3^2 + 2×3×2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2=9 + 12\sqrt{5} + 20=29 + 12\sqrt{5}$
根据平方差公式：$(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})=4^2 - (\sqrt{5})^2=16 - 5=11$
第二步：代入原式计算
原式$=(29 + 12\sqrt{5}) - 11$
$=29 - 11 + 12\sqrt{5}$
$=18 + 12\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$3\sqrt{3}$；(2)$18+12\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的运算，绝对值的性质，乘法公式的应用
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握二次根式化简规则、绝对值去号原则以及乘法公式的特征，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）解这一问时，先分别化简三个部分：①把$\sqrt{12}$化为最简二次根式；②根据绝对值的性质，先判断$\sqrt{3}-3$的正负，再去掉绝对值符号；③计算$\sqrt{(-3)^2}$的结果，最后合并同类二次根式即可得到答案。
（2）解这一问时，先观察两个乘积项的结构：第一个项符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，第二个项符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，分别用公式展开计算后，再合并同类项就能得到结果，用公式计算比直接展开更简便，也能减少计算错误。
【解析】
（1）
第一步：化简各项
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
因为$\sqrt{3}＜3$，所以$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$，
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$。
第二步：代入原式计算
原式$=2\sqrt{3} - (3 - \sqrt{3}) + 3$
$=2\sqrt{3} - 3 + \sqrt{3} + 3$
$=(2\sqrt{3}+\sqrt{3}) + (-3+3)$
$=3\sqrt{3}$。
（2）
第一步：用乘法公式分别展开两个项
根据完全平方公式：$(3+2\sqrt{5})^2=3^2 + 2×3×2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2=9 + 12\sqrt{5} + 20=29 + 12\sqrt{5}$
根据平方差公式：$(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})=4^2 - (\sqrt{5})^2=16 - 5=11$
第二步：代入原式计算
原式$=(29 + 12\sqrt{5}) - 11$
$=29 - 11 + 12\sqrt{5}$
$=18 + 12\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$3\sqrt{3}$；(2)$18+12\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的运算，绝对值的性质，乘法公式的应用
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握二次根式化简规则、绝对值去号原则以及乘法公式的特征，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
