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三、解答题(本大题共52分)
13. (12分)计算:
(1)$3\sqrt{5} + 2\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{20} - \frac{1}{2}\sqrt{32}$；
(2)$(\sqrt{2} - 1)^2 + (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})$。
13. (12分)计算:
(1)$3\sqrt{5} + 2\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{20} - \frac{1}{2}\sqrt{32}$；
(2)$(\sqrt{2} - 1)^2 + (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})$。
答案
13.(1)原式$=3\sqrt{5}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}-2\sqrt{2}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$.
(2)原式$=2-2\sqrt{2}+1+1-2=2-2\sqrt{2}$.
(2)原式$=2-2\sqrt{2}+1+1-2=2-2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 解第一问时，遵循二次根式加减运算的基本思路：先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再找出被开方数相同的同类二次根式，最后合并同类二次根式即可。
(2) 解第二问时，先观察式子结构，第一个部分是两数差的平方，可直接用完全平方公式展开；第二个部分是两数和乘两数差，符合平方差公式的结构。先用乘法公式分别展开两个部分，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$2\sqrt{\frac{1}{2}}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，$\frac{1}{2}\sqrt{32}=\frac{1}{2}×\sqrt{16×2}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
代入原式得：
原式$=3\sqrt{5}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$=(3\sqrt{5}-2\sqrt{5})+(\sqrt{2}-2\sqrt{2})$
$=\sqrt{5}-\sqrt{2}$
(2) 分别用乘法公式展开：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(\sqrt{2}-1)^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2=2-2\sqrt{2}+1$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2})^2=1-2$
代入原式得：
原式$=2-2\sqrt{2}+1+1-2$
合并同类项得：
$=2-2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{5}-\sqrt{2}$；(2)$2-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简、同类二次根式合并、乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考察二次根式加减运算的基本步骤，以及完全平方公式、平方差公式在二次根式运算中的灵活运用，计算时只要注意先正确化简二次根式，合并同类项时符号不出错即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
(1) 解第一问时，遵循二次根式加减运算的基本思路：先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再找出被开方数相同的同类二次根式，最后合并同类二次根式即可。
(2) 解第二问时，先观察式子结构，第一个部分是两数差的平方，可直接用完全平方公式展开；第二个部分是两数和乘两数差，符合平方差公式的结构。先用乘法公式分别展开两个部分，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$2\sqrt{\frac{1}{2}}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，$\frac{1}{2}\sqrt{32}=\frac{1}{2}×\sqrt{16×2}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
代入原式得：
原式$=3\sqrt{5}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$=(3\sqrt{5}-2\sqrt{5})+(\sqrt{2}-2\sqrt{2})$
$=\sqrt{5}-\sqrt{2}$
(2) 分别用乘法公式展开：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(\sqrt{2}-1)^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2=2-2\sqrt{2}+1$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2})^2=1-2$
代入原式得：
原式$=2-2\sqrt{2}+1+1-2$
合并同类项得：
$=2-2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{5}-\sqrt{2}$；(2)$2-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简、同类二次根式合并、乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考察二次根式加减运算的基本步骤，以及完全平方公式、平方差公式在二次根式运算中的灵活运用，计算时只要注意先正确化简二次根式，合并同类项时符号不出错即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
14. (12分)解方程：
(1)$\frac{3x}{x-3}$1$+\frac{1}{3-x}$；
(2)$\frac{x}{x-1}$$\frac{2x-1}{x^2-1}$$=1$.
(1)$\frac{3x}{x-3}$1$+\frac{1}{3-x}$；
(2)$\frac{x}{x-1}$$\frac{2x-1}{x^2-1}$$=1$.
答案
14.(1)去分母,得$3x=x-3-1$,解得$x=-2$.
经检验,$x=-2$是原方程的解.
故原方程的解为$x=-2$.
(2)方程两边同乘$(x^2-1)$,得
$x(x+1)-(2x-1)=x^2-1$,解得$x=2$.
经检验,$x=2$是原方程的解.
故原方程的解是$x=2$.
经检验,$x=-2$是原方程的解.
故原方程的解为$x=-2$.
(2)方程两边同乘$(x^2-1)$,得
$x(x+1)-(2x-1)=x^2-1$,解得$x=2$.
经检验,$x=2$是原方程的解.
故原方程的解是$x=2$.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得根是否为增根（即使原方程分母为0的根，需要舍去）。
（1）观察方程分母，$x-3$与$3-x$互为相反数，先统一分母形式，确定最简公分母为$x-3$，两边同乘公分母消去分母得到整式方程，求解后检验即可；
（2）先对分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$x^2-1$，去分母时注意每一项都要乘公分母（包括等号右侧的常数1），得到整式方程后求解，最后检验。
【解析】
（1）原方程为$\frac{3x}{x-3}=1+\frac{1}{3-x}$，
方程两边同乘$(x-3)$（$x≠3$），得$3x=x-3-1$，
解得$x=-2$。
检验：将$x=-2$代入$x-3$，得$-2-3=-5≠0$，因此$x=-2$是原方程的解。
（2）原方程为$\frac{x}{x-1}-\frac{2x-1}{x^2-1}=1$，
方程两边同乘$(x^2-1)$（$x≠\pm1$），得$x(x+1)-(2x-1)=x^2-1$，
解得$x=2$。
检验：将$x=2$代入$x^2-1$，得$4-1=3≠0$，因此$x=2$是原方程的解。
【答案】
（1）$x=-2$；（2）$x=2$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.分式方程的验根 3.平方差公式因式分解
【点评】
这是分式方程求解的基础典型题，重点考察将分式方程转化为整式方程的化归思想，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，完成求解后必须验根，避免增根导致解题错误。
【难度系数】
0.75
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得根是否为增根（即使原方程分母为0的根，需要舍去）。
（1）观察方程分母，$x-3$与$3-x$互为相反数，先统一分母形式，确定最简公分母为$x-3$，两边同乘公分母消去分母得到整式方程，求解后检验即可；
（2）先对分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$x^2-1$，去分母时注意每一项都要乘公分母（包括等号右侧的常数1），得到整式方程后求解，最后检验。
【解析】
（1）原方程为$\frac{3x}{x-3}=1+\frac{1}{3-x}$，
方程两边同乘$(x-3)$（$x≠3$），得$3x=x-3-1$，
解得$x=-2$。
检验：将$x=-2$代入$x-3$，得$-2-3=-5≠0$，因此$x=-2$是原方程的解。
（2）原方程为$\frac{x}{x-1}-\frac{2x-1}{x^2-1}=1$，
方程两边同乘$(x^2-1)$（$x≠\pm1$），得$x(x+1)-(2x-1)=x^2-1$，
解得$x=2$。
检验：将$x=2$代入$x^2-1$，得$4-1=3≠0$，因此$x=2$是原方程的解。
【答案】
（1）$x=-2$；（2）$x=2$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.分式方程的验根 3.平方差公式因式分解
【点评】
这是分式方程求解的基础典型题，重点考察将分式方程转化为整式方程的化归思想，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，完成求解后必须验根，避免增根导致解题错误。
【难度系数】
0.75
15. (12 分)先化简,再求值:$\frac{1}{2}\sqrt{32x^3} + 2x\sqrt{\frac{x}{2}} - \sqrt{50x}$,其中 $x=\frac{3}{2}$.
答案
15.原式$=(3x-5)\sqrt{2x}$.
当$x=\frac{3}{2}$时,原式$=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
当$x=\frac{3}{2}$时,原式$=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
本题是二次根式的化简求值题，解题思路分为两步：第一步先将原式中每个二次根式化为最简二次根式，再合并其中的同类二次根式，得到化简后的式子；第二步将x的值代入化简后的式子计算结果。先化简再求值能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}\sqrt{32x^3} + 2x\sqrt{\frac{x}{2}} - \sqrt{50x}&=\frac{1}{2}\sqrt{16x^2· 2x} + 2x\sqrt{\frac{2x}{4}} - \sqrt{25· 2x}\\&=\frac{1}{2}×4x\sqrt{2x} + 2x×\frac{\sqrt{2x}}{2} -5\sqrt{2x}\\&=2x\sqrt{2x} + x\sqrt{2x} -5\sqrt{2x}\\&=(3x-5)\sqrt{2x}\end{aligned}$
将$x=\frac{3}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(3×\frac{3}{2}-5)×\sqrt{2×\frac{3}{2}}\\&=(\frac{9}{2}-\frac{10}{2})×\sqrt{3}\\&=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\&=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
原式化简为$(3x-5)\sqrt{2x}$，当$x=\frac{3}{2}$时，值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式求值
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题关键是先将各项二次根式化为最简再合并，避免直接代入数值带来的复杂计算，需要注意化简二次根式时要保证结果为最简形式，合并同类项时系数计算要准确。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的化简求值题，解题思路分为两步：第一步先将原式中每个二次根式化为最简二次根式，再合并其中的同类二次根式，得到化简后的式子；第二步将x的值代入化简后的式子计算结果。先化简再求值能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}\sqrt{32x^3} + 2x\sqrt{\frac{x}{2}} - \sqrt{50x}&=\frac{1}{2}\sqrt{16x^2· 2x} + 2x\sqrt{\frac{2x}{4}} - \sqrt{25· 2x}\\&=\frac{1}{2}×4x\sqrt{2x} + 2x×\frac{\sqrt{2x}}{2} -5\sqrt{2x}\\&=2x\sqrt{2x} + x\sqrt{2x} -5\sqrt{2x}\\&=(3x-5)\sqrt{2x}\end{aligned}$
将$x=\frac{3}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(3×\frac{3}{2}-5)×\sqrt{2×\frac{3}{2}}\\&=(\frac{9}{2}-\frac{10}{2})×\sqrt{3}\\&=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\&=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
原式化简为$(3x-5)\sqrt{2x}$，当$x=\frac{3}{2}$时，值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式求值
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题关键是先将各项二次根式化为最简再合并，避免直接代入数值带来的复杂计算，需要注意化简二次根式时要保证结果为最简形式，合并同类项时系数计算要准确。
【难度系数】
0.7
16. (16分)如图,直线$l_1$过点$A(0,4)$,点$D(4,0)$,直线$l_2:y=\frac{1}{2}x+1$与$x$轴交于点$C$,两直线$l_1,l_2$相交于点$B$.
(1)求直线$l_1$的函数关系式和点$B$的坐标;
(2)求$△ ABC$的面积.
(1)求直线$l_1$的函数关系式和点$B$的坐标;
(2)求$△ ABC$的面积.
答案
16.(1)设直线$l_1$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$.
$\because$ 直线$l_1$经过点$A(0,4),D(4,0)$,
$\therefore \begin{cases} b=4,\\4k+b=0 \end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$l_1$的函数关系式为$y=-x+4$.
$\because B$是直线$l_1$和直线$l_2$的交点,
$\therefore$ 联立$\begin{cases}y=-x+4,\\y=\frac{1}{2}x+1\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(2,2)$.
(2)$\because$ 点$C$是直线$l_2$与$x$轴的交点,
$\therefore$ 在$y=\frac{1}{2}x+1$中,令$y=0$,得$\frac{1}{2}x+1=0$,
解得$x=-2$,
$\therefore OC=2,CD=6$,
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}-S_{△ BCD}=\frac{1}{2}CD· OA-\frac{1}{2}CD· y_B$
$=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×6×2=12-6=6$.
$\because$ 直线$l_1$经过点$A(0,4),D(4,0)$,
$\therefore \begin{cases} b=4,\\4k+b=0 \end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$l_1$的函数关系式为$y=-x+4$.
$\because B$是直线$l_1$和直线$l_2$的交点,
$\therefore$ 联立$\begin{cases}y=-x+4,\\y=\frac{1}{2}x+1\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(2,2)$.
(2)$\because$ 点$C$是直线$l_2$与$x$轴的交点,
$\therefore$ 在$y=\frac{1}{2}x+1$中,令$y=0$,得$\frac{1}{2}x+1=0$,
解得$x=-2$,
$\therefore OC=2,CD=6$,
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}-S_{△ BCD}=\frac{1}{2}CD· OA-\frac{1}{2}CD· y_B$
$=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×6×2=12-6=6$.
解析
【分析】
(1) 求直线$l_1$的解析式时，已知直线过两个确定的点，可使用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入即可求解系数；求两直线交点$B$的坐标，只需联立两条直线的解析式，解二元一次方程组就能得到交点的横、纵坐标。
(2) 求$△ ABC$的面积，直接找对应底和高计算比较繁琐，可采用割补法：先求出直线$l_2$与$x$轴交点$C$的坐标，计算同底的$△ ACD$和$△ BCD$的面积，用大三角形面积减去小三角形面积即可得到$△ ABC$的面积，两个三角形的底为$CD$，高分别为点$A$的纵坐标和点$B$的纵坐标。
【解析】
(1) 设直线$l_1$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
$\because$ 直线$l_1$经过点$A(0,4),D(4,0)$，
$\therefore \begin{cases} b=4,\\4k+b=0 \end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$l_1$的函数关系式为$y=-x+4$。
$\because B$是直线$l_1$和直线$l_2$的交点，
$\therefore$ 联立$\begin{cases}y=-x+4,\\y=\frac{1}{2}x+1\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(2,2)$。
(2) $\because$ 点$C$是直线$l_2$与$x$轴的交点，
$\therefore$ 在$y=\frac{1}{2}x+1$中，令$y=0$，得$\frac{1}{2}x+1=0$，
解得$x=-2$，
$\therefore OC=2,CD=4 - (-2)=6$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}-S_{△ BCD}=\frac{1}{2}CD· OA-\frac{1}{2}CD· y_B$
$=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×6×2=12-6=6$。
【答案】
(1) 直线$l_1$的函数关系式为$\boldsymbol{y=-x+4}$，点$B$的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$；
(2) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点计算；坐标系图形面积计算
【点评】
本题是一次函数的经典综合题型，既考察了一次函数基础计算技能，也考察了利用割补法简化不规则图形面积计算的思路，掌握坐标系内图形面积的割补技巧能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线$l_1$的解析式时，已知直线过两个确定的点，可使用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入即可求解系数；求两直线交点$B$的坐标，只需联立两条直线的解析式，解二元一次方程组就能得到交点的横、纵坐标。
(2) 求$△ ABC$的面积，直接找对应底和高计算比较繁琐，可采用割补法：先求出直线$l_2$与$x$轴交点$C$的坐标，计算同底的$△ ACD$和$△ BCD$的面积，用大三角形面积减去小三角形面积即可得到$△ ABC$的面积，两个三角形的底为$CD$，高分别为点$A$的纵坐标和点$B$的纵坐标。
【解析】
(1) 设直线$l_1$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
$\because$ 直线$l_1$经过点$A(0,4),D(4,0)$，
$\therefore \begin{cases} b=4,\\4k+b=0 \end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$l_1$的函数关系式为$y=-x+4$。
$\because B$是直线$l_1$和直线$l_2$的交点，
$\therefore$ 联立$\begin{cases}y=-x+4,\\y=\frac{1}{2}x+1\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(2,2)$。
(2) $\because$ 点$C$是直线$l_2$与$x$轴的交点，
$\therefore$ 在$y=\frac{1}{2}x+1$中，令$y=0$，得$\frac{1}{2}x+1=0$，
解得$x=-2$，
$\therefore OC=2,CD=4 - (-2)=6$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACD}-S_{△ BCD}=\frac{1}{2}CD· OA-\frac{1}{2}CD· y_B$
$=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×6×2=12-6=6$。
【答案】
(1) 直线$l_1$的函数关系式为$\boldsymbol{y=-x+4}$，点$B$的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$；
(2) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点计算；坐标系图形面积计算
【点评】
本题是一次函数的经典综合题型，既考察了一次函数基础计算技能，也考察了利用割补法简化不规则图形面积计算的思路，掌握坐标系内图形面积的割补技巧能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
