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22.(8分)如图,点C在∠MON的一边OM上,过点C的直线AB//ON,CD平分∠OCB,CE⊥CD。
(1)若∠O=40°,求∠BCD的度数。
(2)求证:CE平分∠OCA。
(1)若∠O=40°,求∠BCD的度数。
(2)求证:CE平分∠OCA。
答案
22. (1)因为$AB//ON,∠O=40°$,所以$∠OCB=180°-∠O=140°$。因为$CD$平分$∠OCB$,所以$∠BCD=\dfrac{1}{2}∠OCB=70°$。
(2)因为$CE⊥CD$,所以$∠OCE+∠DCO=90°$。因为$∠ACB=180°$,所以$∠ECA+∠DCB=90°$。因为$CD$平分$∠OCB$,所以$∠DCB=∠DCO$。所以$∠ACE=∠ECO$。所以$CE$平分$∠OCA$。
(2)因为$CE⊥CD$,所以$∠OCE+∠DCO=90°$。因为$∠ACB=180°$,所以$∠ECA+∠DCB=90°$。因为$CD$平分$∠OCB$,所以$∠DCB=∠DCO$。所以$∠ACE=∠ECO$。所以$CE$平分$∠OCA$。
解析
【分析】
第(1)问：利用平行线的性质，AB//ON时，∠O与∠OCB是同旁内角，二者互补，先求出∠OCB的度数；再依据角平分线的定义，CD平分∠OCB，即可计算出∠BCD的度数。第(2)问：由CE⊥CD可得∠ECD=90°，结合平角∠ACB=180°，推导得出∠OCE + ∠DCO=90°、∠ACE + ∠DCB=90°；再根据CD平分∠OCB，得到∠DCO=∠DCB，进而推出∠ACE=∠OCE，完成CE平分∠OCA的证明。
【解析】
(1) 因为AB//ON，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠O + ∠OCB = 180°。已知∠O=40°，则∠OCB = 180° - 40° = 140°。又因为CD平分∠OCB，根据角平分线的定义，∠BCD = $\frac{1}{2}$∠OCB = $\frac{1}{2}$×140°=70°。
(2) 因为CE⊥CD，所以∠ECD=90°，即∠OCE + ∠DCO = 90°。又因为∠ACB为平角，所以∠ACE + ∠ECD + ∠DCB = 180°，代入∠ECD=90°，得∠ACE + ∠DCB = 90°。因为CD平分∠OCB，所以∠DCO=∠DCB。根据等角的余角相等，可得∠OCE=∠ACE，因此CE平分∠OCA。
【答案】
(1) ∠BCD的度数为70°；(2) CE平分∠OCA，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的基础几何题，重点考查学生对平行线性质、角平分线定义的应用能力，解题思路清晰，步骤明确，属于常规题型。
【难度系数】
0.7
第(1)问：利用平行线的性质，AB//ON时，∠O与∠OCB是同旁内角，二者互补，先求出∠OCB的度数；再依据角平分线的定义，CD平分∠OCB，即可计算出∠BCD的度数。第(2)问：由CE⊥CD可得∠ECD=90°，结合平角∠ACB=180°，推导得出∠OCE + ∠DCO=90°、∠ACE + ∠DCB=90°；再根据CD平分∠OCB，得到∠DCO=∠DCB，进而推出∠ACE=∠OCE，完成CE平分∠OCA的证明。
【解析】
(1) 因为AB//ON，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠O + ∠OCB = 180°。已知∠O=40°，则∠OCB = 180° - 40° = 140°。又因为CD平分∠OCB，根据角平分线的定义，∠BCD = $\frac{1}{2}$∠OCB = $\frac{1}{2}$×140°=70°。
(2) 因为CE⊥CD，所以∠ECD=90°，即∠OCE + ∠DCO = 90°。又因为∠ACB为平角，所以∠ACE + ∠ECD + ∠DCB = 180°，代入∠ECD=90°，得∠ACE + ∠DCB = 90°。因为CD平分∠OCB，所以∠DCO=∠DCB。根据等角的余角相等，可得∠OCE=∠ACE，因此CE平分∠OCA。
【答案】
(1) ∠BCD的度数为70°；(2) CE平分∠OCA，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的基础几何题，重点考查学生对平行线性质、角平分线定义的应用能力，解题思路清晰，步骤明确，属于常规题型。
【难度系数】
0.7
23.(10分)根据以下素材,完成任务。
答案
23. 任务一:根据题意得$\dfrac{18000}{5x}-\dfrac{7200}{6x}=160$,解得$x=15$,经检验,$x=15$是所列方程的解,且符合题意。所以$x$的值为15。
任务二:设$C$公司有$m$人,$D$公司有$n$人。因为$17850÷85=210$(人),$210＞200$,所以$m+n＞200$。当$100＜m≤200$时,$\begin{cases}85m+6×15n=18270,\\5×15(m+n)=17850,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=630,\\n=-392,\end{cases}$ (不符合题意,舍去);当$m＞200$时,$\begin{cases}5×15m+6×15n=18270,\\5×15(m+n)=17850,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=210,\\n=28。\end{cases}$ 所以$C$公司有210人,$D$公司有28人。
任务二:设$C$公司有$m$人,$D$公司有$n$人。因为$17850÷85=210$(人),$210＞200$,所以$m+n＞200$。当$100＜m≤200$时,$\begin{cases}85m+6×15n=18270,\\5×15(m+n)=17850,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=630,\\n=-392,\end{cases}$ (不符合题意,舍去);当$m＞200$时,$\begin{cases}5×15m+6×15n=18270,\\5×15(m+n)=17850,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=210,\\n=28。\end{cases}$ 所以$C$公司有210人,$D$公司有28人。
解析
【分析】
首先处理任务一：根据素材，A公司人数少于100，对应收费标准为6x元/人，花费7200元，因此A公司人数为$\frac{7200}{6x}$；B公司人数多于200，对应收费标准为5x元/人，花费18000元，因此B公司人数为$\frac{18000}{5x}$。又已知A公司比B公司少160人，据此列方程求解x，再检验解的合理性。
处理任务二：先结合已求出的x=15，根据C、D联合组团的花费17850元，计算C、D公司的总人数；再设C公司有m人，D公司有n人，根据C、D的人数范围（C多于100，D少于100）分情况讨论，结合各自单独花费总和与联合花费，列方程组求解，舍去不符合实际的解，得到结果。
【解析】
任务一：
根据题意，A公司人数为$\frac{7200}{6x}$，B公司人数为$\frac{18000}{5x}$，且A比B少160人，列方程：
$\frac{18000}{5x} - \frac{7200}{6x} = 160$
化简得：$\frac{3600}{x} - \frac{1200}{x} = 160$ → $\frac{2400}{x}=160$
解得：$x=15$
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合题意，故x的值为15。
任务二：
已知x=15，因此收费标准为：0＜a≤100时90元/人，100＜a≤200时85元/人，a＞200时75元/人。
C、D联合组团花费17850元，先计算总人数：
若总人数在100＜a≤200，费用为85元/人，则总人数为$\frac{17850}{85}=210$，但210＞200，不符合该区间；
若总人数a＞200，费用为75元/人，则总人数为$\frac{17850}{75}=238$，符合a＞200，故C、D总人数为238人。
设C公司有m人，D公司有n人，其中m＞100，n＜100，且m+n=238。
分情况讨论：
① 当100＜m≤200时，C收费85元/人，D收费90元/人，列方程组：
$\begin{cases}85m + 90n = 18270 \\ m + n = 238\end{cases}$
将n=238 - m代入第一个方程，解得m=630，n=-392，人数为负，不符合题意，舍去；
② 当m＞200时，C收费75元/人，D收费90元/人，列方程组：
$\begin{cases}75m + 90n = 18270 \\ m + n = 238\end{cases}$
将n=238 - m代入第一个方程，解得m=210，n=28，符合m＞200、n＜100的条件。
故C公司有210人，D公司有28人。
【答案】
任务一：x=15；任务二：C公司有210人，D公司有28人。
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组应用，分段计费问题
【点评】
本题结合旅游收费的分段计费场景，考查方程（组）的实际应用，需要通过分类讨论处理不同人数区间的收费标准，解题时需检验解的合理性，舍去不符合实际的结果，能有效锻炼学生的分类讨论能力与方程建模能力。
【难度系数】
0.5
首先处理任务一：根据素材，A公司人数少于100，对应收费标准为6x元/人，花费7200元，因此A公司人数为$\frac{7200}{6x}$；B公司人数多于200，对应收费标准为5x元/人，花费18000元，因此B公司人数为$\frac{18000}{5x}$。又已知A公司比B公司少160人，据此列方程求解x，再检验解的合理性。
处理任务二：先结合已求出的x=15，根据C、D联合组团的花费17850元，计算C、D公司的总人数；再设C公司有m人，D公司有n人，根据C、D的人数范围（C多于100，D少于100）分情况讨论，结合各自单独花费总和与联合花费，列方程组求解，舍去不符合实际的解，得到结果。
【解析】
任务一：
根据题意，A公司人数为$\frac{7200}{6x}$，B公司人数为$\frac{18000}{5x}$，且A比B少160人，列方程：
$\frac{18000}{5x} - \frac{7200}{6x} = 160$
化简得：$\frac{3600}{x} - \frac{1200}{x} = 160$ → $\frac{2400}{x}=160$
解得：$x=15$
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合题意，故x的值为15。
任务二：
已知x=15，因此收费标准为：0＜a≤100时90元/人，100＜a≤200时85元/人，a＞200时75元/人。
C、D联合组团花费17850元，先计算总人数：
若总人数在100＜a≤200，费用为85元/人，则总人数为$\frac{17850}{85}=210$，但210＞200，不符合该区间；
若总人数a＞200，费用为75元/人，则总人数为$\frac{17850}{75}=238$，符合a＞200，故C、D总人数为238人。
设C公司有m人，D公司有n人，其中m＞100，n＜100，且m+n=238。
分情况讨论：
① 当100＜m≤200时，C收费85元/人，D收费90元/人，列方程组：
$\begin{cases}85m + 90n = 18270 \\ m + n = 238\end{cases}$
将n=238 - m代入第一个方程，解得m=630，n=-392，人数为负，不符合题意，舍去；
② 当m＞200时，C收费75元/人，D收费90元/人，列方程组：
$\begin{cases}75m + 90n = 18270 \\ m + n = 238\end{cases}$
将n=238 - m代入第一个方程，解得m=210，n=28，符合m＞200、n＜100的条件。
故C公司有210人，D公司有28人。
【答案】
任务一：x=15；任务二：C公司有210人，D公司有28人。
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组应用，分段计费问题
【点评】
本题结合旅游收费的分段计费场景，考查方程（组）的实际应用，需要通过分类讨论处理不同人数区间的收费标准，解题时需检验解的合理性，舍去不符合实际的结果，能有效锻炼学生的分类讨论能力与方程建模能力。
【难度系数】
0.5
