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24.(12分)一般情况下,一个分式通过适当的变形,可以化成一个整式和一个分子为整数的分式的和的形式,例如:
①$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$；
②$\frac{x^2}{x-2}=\frac{x^2-4+4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)+4}{x-2}=(x+2)+\frac{4}{x-2}$；
③$\frac{x^3}{x-1}=\frac{x^3-x^2+x^2}{x-1}=x^2+\frac{x^2}{x-1}=······$
(1)仿照上述方法,试将分式$\frac{x+7}{x+3},\frac{2x^2-1}{x+1}$化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式。
(2)仿照上述方法,把$\frac{x^3}{x+3}$化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式。
(3)已知$x,y$均为正整数,$M=\frac{x}{x-5},N=\frac{7y}{7y-5}$,且$M,N$均为正数。若$M+N=3$,请求出$x,y$的值。
①$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$；
②$\frac{x^2}{x-2}=\frac{x^2-4+4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)+4}{x-2}=(x+2)+\frac{4}{x-2}$；
③$\frac{x^3}{x-1}=\frac{x^3-x^2+x^2}{x-1}=x^2+\frac{x^2}{x-1}=······$
(1)仿照上述方法,试将分式$\frac{x+7}{x+3},\frac{2x^2-1}{x+1}$化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式。
(2)仿照上述方法,把$\frac{x^3}{x+3}$化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式。
(3)已知$x,y$均为正整数,$M=\frac{x}{x-5},N=\frac{7y}{7y-5}$,且$M,N$均为正数。若$M+N=3$,请求出$x,y$的值。
答案
24. (1)$\frac{x+7}{x+3}=\frac{x+3+4}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$;$\frac{2x^2-1}{x+1}=\frac{2x^2-2+1}{x+1}=\frac{2(x+1)(x-1)+1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$。
(2)$\frac{x^3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2-3x^2}{x+3}=\frac{x^2(x+3)-3x^2+27-27}{x+3}=x^2+\frac{-3(x+3)(x-3)-27}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$。
(3)因为$M=\frac{x}{x-5}=\frac{x-5+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$,$N=\frac{7y}{7y-5}=\frac{7y-5+5}{7y-5}=1+\frac{5}{7y-5}$,$M+N=3$,所以$1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{5}{7y-5}=3$,即$\frac{5}{x-5}+\frac{5}{7y-5}=1$。令$x-5=a$,$7y-5=b$,所以$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=1$。所以$ab-5a-5b=0$。所以$ab-5a-5b+25=25$。所以$(ab-5a)-(5b-25)=25$。所以$a(b-5)-5(b-5)=25$。所以$(a-5)(b-5)=25$。因为$M,N$均为正数,$x,y$均为正整数,所以$a,b$为正整数。所以$\begin{cases}a-5=1,\\b-5=25\end{cases}$ 或$\begin{cases}a-5=5,\\b-5=5\end{cases}$ 或$\begin{cases}a-5=25,\\b-5=1。\end{cases}$
所以$\begin{cases}a=6,\\b=30\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=10,\\b=10\end{cases}$ $(此时y=\frac{15}{7},舍去)$或$\begin{cases}a=30,\\b=6\end{cases}$ $(此时y=\frac{11}{7},舍去)$。
所以$x=11,y=5$,经检验,符合题意。
(2)$\frac{x^3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2-3x^2}{x+3}=\frac{x^2(x+3)-3x^2+27-27}{x+3}=x^2+\frac{-3(x+3)(x-3)-27}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$。
(3)因为$M=\frac{x}{x-5}=\frac{x-5+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$,$N=\frac{7y}{7y-5}=\frac{7y-5+5}{7y-5}=1+\frac{5}{7y-5}$,$M+N=3$,所以$1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{5}{7y-5}=3$,即$\frac{5}{x-5}+\frac{5}{7y-5}=1$。令$x-5=a$,$7y-5=b$,所以$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=1$。所以$ab-5a-5b=0$。所以$ab-5a-5b+25=25$。所以$(ab-5a)-(5b-25)=25$。所以$a(b-5)-5(b-5)=25$。所以$(a-5)(b-5)=25$。因为$M,N$均为正数,$x,y$均为正整数,所以$a,b$为正整数。所以$\begin{cases}a-5=1,\\b-5=25\end{cases}$ 或$\begin{cases}a-5=5,\\b-5=5\end{cases}$ 或$\begin{cases}a-5=25,\\b-5=1。\end{cases}$
所以$\begin{cases}a=6,\\b=30\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=10,\\b=10\end{cases}$ $(此时y=\frac{15}{7},舍去)$或$\begin{cases}a=30,\\b=6\end{cases}$ $(此时y=\frac{11}{7},舍去)$。
所以$x=11,y=5$,经检验,符合题意。
解析
【分析】
本题核心是利用分式的拆分变形，将假分式转化为“整式+分子为整数的分式”的形式，再结合整数性质求解未知数。解题思路：(1)(2)问通过拆分分子构造含分母的因式，约分后得到目标形式；(3)问先将M、N按上述方法变形，代入等式后换元，通过因式分解得到整数乘积，再结合正整数、分式为正的条件筛选符合要求的解。
【解析】
(1) 对$\frac{x+7}{x+3}$，拆分分子为$(x+3)+4$，则：
$\frac{x+7}{x+3}=\frac{(x+3)+4}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$；
对$\frac{2x^2-1}{x+1}$，拆分分子为$2(x+1)(x-1)+1$，则：
$\frac{2x^2-1}{x+1}=\frac{2(x+1)(x-1)+1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$。
(2) 对$\frac{x^3}{x+3}$，逐步拆分分子：
$\frac{x^3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2-3x^2}{x+3}=x^2+\frac{-3x^2}{x+3}$，
再拆分$\frac{-3x^2}{x+3}=\frac{-3(x^2-9)-27}{x+3}=-3(x-3)-\frac{27}{x+3}$，
因此$\frac{x^3}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$。
(3) 先变形M、N：
$M=\frac{x}{x-5}=\frac{(x-5)+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$，
$N=\frac{7y}{7y-5}=\frac{(7y-5)+5}{7y-5}=1+\frac{5}{7y-5}$，
代入$M+N=3$得：$1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{5}{7y-5}=3$，
化简得$\frac{5}{x-5}+\frac{5}{7y-5}=1$。
令$a=x-5$，$b=7y-5$，则$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=1$，整理得$ab-5a-5b=0$，
两边加25因式分解：$(a-5)(b-5)=25$。
因$x,y$为正整数，M、N为正数，故$a,b$为正整数，$a-5,b-5$为正整数且乘积为25。
25的正整数因数对为$(1,25),(5,5),(25,1)$：
$a-5=1,b-5=25$→$a=6,b=30$→$x=11,y=5$；
$a-5=5,b-5=5$→$a=10,b=10$→$y=\frac{15}{7}$（非正整数，舍去）；
$a-5=25,b-5=1$→$a=30,b=6$→$y=\frac{11}{7}$（非正整数，舍去）。
综上，$x=11,y=5$。
【答案】
(1)$\frac{x+7}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$，$\frac{2x^2-1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$；
(2)$\frac{x^3}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$；
(3)$x=11,y=5$
【知识点】
分式变形、因式分解、整数解应用
【点评】
本题通过分式拆分考查代数变形能力，第三问结合换元与因式分解求整数解，需注意“正整数”“分式为正”的条件筛选解，对学生代数运算与逻辑分析能力要求较高。
【难度系数】
0.4
本题核心是利用分式的拆分变形，将假分式转化为“整式+分子为整数的分式”的形式，再结合整数性质求解未知数。解题思路：(1)(2)问通过拆分分子构造含分母的因式，约分后得到目标形式；(3)问先将M、N按上述方法变形，代入等式后换元，通过因式分解得到整数乘积，再结合正整数、分式为正的条件筛选符合要求的解。
【解析】
(1) 对$\frac{x+7}{x+3}$，拆分分子为$(x+3)+4$，则：
$\frac{x+7}{x+3}=\frac{(x+3)+4}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$；
对$\frac{2x^2-1}{x+1}$，拆分分子为$2(x+1)(x-1)+1$，则：
$\frac{2x^2-1}{x+1}=\frac{2(x+1)(x-1)+1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$。
(2) 对$\frac{x^3}{x+3}$，逐步拆分分子：
$\frac{x^3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2-3x^2}{x+3}=x^2+\frac{-3x^2}{x+3}$，
再拆分$\frac{-3x^2}{x+3}=\frac{-3(x^2-9)-27}{x+3}=-3(x-3)-\frac{27}{x+3}$，
因此$\frac{x^3}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$。
(3) 先变形M、N：
$M=\frac{x}{x-5}=\frac{(x-5)+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$，
$N=\frac{7y}{7y-5}=\frac{(7y-5)+5}{7y-5}=1+\frac{5}{7y-5}$，
代入$M+N=3$得：$1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{5}{7y-5}=3$，
化简得$\frac{5}{x-5}+\frac{5}{7y-5}=1$。
令$a=x-5$，$b=7y-5$，则$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=1$，整理得$ab-5a-5b=0$，
两边加25因式分解：$(a-5)(b-5)=25$。
因$x,y$为正整数，M、N为正数，故$a,b$为正整数，$a-5,b-5$为正整数且乘积为25。
25的正整数因数对为$(1,25),(5,5),(25,1)$：
$a-5=1,b-5=25$→$a=6,b=30$→$x=11,y=5$；
$a-5=5,b-5=5$→$a=10,b=10$→$y=\frac{15}{7}$（非正整数，舍去）；
$a-5=25,b-5=1$→$a=30,b=6$→$y=\frac{11}{7}$（非正整数，舍去）。
综上，$x=11,y=5$。
【答案】
(1)$\frac{x+7}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$，$\frac{2x^2-1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$；
(2)$\frac{x^3}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$；
(3)$x=11,y=5$
【知识点】
分式变形、因式分解、整数解应用
【点评】
本题通过分式拆分考查代数变形能力，第三问结合换元与因式分解求整数解，需注意“正整数”“分式为正”的条件筛选解，对学生代数运算与逻辑分析能力要求较高。
【难度系数】
0.4
