22. (10分)综合与实践
【问题情境】
自行车的尾灯自身并不发光,但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去,从而起到提醒汽车驾驶员的目的.这一效果正是利用了角反射器的原理.最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的.
【数学探究】
如图,入射光线DE经过两次反射后,得到光线FG,已知∠AED=∠BEF,∠EFB=∠GFC.

(1) 如图1,AB,BC是两个互相垂直的平面镜,∠ABC=90°.
①若∠AED=70°,求∠GFC的度数;
②试判断入射光线DE和反射光线FG是否平行,并说明理由;
(2) 如图2,改变镜子位置,设平面镜AB,BC的夹角∠ABC=α(α＜90°),∠AED=β,90°＜α+β＜180°,求∠DEF+∠EFG的值(用含有α或β的代数式表示).

22. 解：(1)①$\because ∠ AED=70°,\therefore ∠ BEF=∠ AED=70°$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BFE=180°-∠ ABC-∠ BEF=20°$，
$\therefore ∠ GFC=∠ BFE=20°$。
②$DE// FG$，理由如下：$\because ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$，
$∠ 2+∠ 3=90°,\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°$。
$\because ∠ 1+∠ 2+∠ DEF+∠ 3+∠ 4+∠ EFG=360°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ EFG=180°,\therefore DE// FG$。

(2)$\because ∠ AED=∠ BEF=β$，
$\therefore ∠ DEF=180°-∠ AED-∠ BEF=180°-2β$。
$\because ∠ ABC=α(α＜90°)$，
$\therefore ∠ EFB=∠ GFC=180°-α-β$，
$\therefore ∠ EFG=180°-∠ EFB-∠ GFC=180°-2(180°-α-β)=2α+2β-180°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ EFG=2α$。

【分析】
本题是结合实际应用的几何综合题，核心利用“反射角等于入射角”的性质，结合三角形内角和、四边形内角和、平行线的判定定理解题。
(1)①问：根据反射性质得∠AED=∠BEF，在Rt△BEF中用三角形内角和算出∠BFE，再利用∠EFB=∠GFC，即可得∠GFC；
(1)②问：要判断DE与FG平行，需证明同旁内角互补，利用反射角相等，结合四边形内角和推导∠DEF+∠EFG=180°，从而得平行；
(2)问：当平面镜夹角为α时，先由反射性质表示∠DEF和∠EFG，再计算两者之和，用α表示结果。
【解析】
(1)①
∵∠AED=70°，且∠AED=∠BEF（反射角等于入射角），
∴∠BEF=70°，
又
∵∠ABC=90°，在△BEF中，∠BEF+∠BFE+∠ABC=180°，
∴∠BFE=180°-90°-70°=20°，
∵∠EFB=∠GFC（反射角等于入射角），
∴∠GFC=20°。
②DE//FG，理由如下：
∵∠AED=∠BEF，∠EFB=∠GFC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)=180°，
又
∵四边形内角和为360°，即∠1+∠2+∠DEF+∠3+∠4+∠EFG=360°，
∴∠DEF+∠EFG=360°-180°=180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，得DE//FG。
(2)
∵∠AED=∠BEF=β（反射角等于入射角），
∴∠DEF=180°-∠AED-∠BEF=180°-2β，
又
∵∠ABC=α，在△BEF中，∠BEF+∠BFE+∠ABC=180°，
∴∠BFE=180°-α-β，
∵∠EFB=∠GFC，
∴∠EFG=180°-∠EFB-∠GFC=180°-2(180°-α-β)=2α+2β-180°，
∴∠DEF+∠EFG=(180°-2β)+(2α+2β-180°)=2α。
【答案】
22. 解：(1)①$\because ∠ AED=70°,\therefore ∠ BEF=∠ AED=70°$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BFE=180°-∠ ABC-∠ BEF=20°$，
$\therefore ∠ GFC=∠ BFE=20°$。
②$DE// FG$，理由如下：$\because ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$，
$∠ 2+∠ 3=90°,\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°$。
$\because ∠ 1+∠ 2+∠ DEF+∠ 3+∠ 4+∠ EFG=360°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ EFG=180°,\therefore DE// FG$。

(2)$\because ∠ AED=∠ BEF=β$，
$\therefore ∠ DEF=180°-∠ AED-∠ BEF=180°-2β$。
$\because ∠ ABC=α(α＜90°)$，
$\therefore ∠ EFB=∠ GFC=180°-α-β$，
$\therefore ∠ EFG=180°-∠ EFB-∠ GFC=180°-2(180°-α-β)=2α+2β-180°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ EFG=2α$。
【知识点】
平行线的判定、三角形内角和定理、四边形内角和定理
【点评】
本题结合实际应用考查几何知识，核心是利用反射角等于入射角的性质，结合三角形、四边形内角和及平行线判定定理解题，需理清角之间的关系，步骤逻辑清晰，是初中几何的中档综合题。
【难度系数】
0.5