登录
21.【观察思考】
$2^3=3+5$；
$3^3=7+9+11$；
$4^3=13+15+17+19$；
$5^3=21+23+25+27+29$；
……
【尝试探索】
(1)将$6^3$写成6个连续奇数的和：
【规律表达】
(2)任意大于1的正整数$m$的三次幂可以写成$m$个连续奇数的和，则这$m$个连续奇数中最大的数可以表示为
【规律应用】
(3)若$m^3$可以写成$m$个连续奇数的和，其中有一个奇数是2025，求$m$的值.
$2^3=3+5$；
$3^3=7+9+11$；
$4^3=13+15+17+19$；
$5^3=21+23+25+27+29$；
……
【尝试探索】
(1)将$6^3$写成6个连续奇数的和：
$6^3=31+33+35+37+39+41$
.【规律表达】
(2)任意大于1的正整数$m$的三次幂可以写成$m$个连续奇数的和，则这$m$个连续奇数中最大的数可以表示为
$m^2+m-1$
（用含$m$的代数式表示）.【规律应用】
(3)若$m^3$可以写成$m$个连续奇数的和，其中有一个奇数是2025，求$m$的值.
答案
21. 解:(1)$6^3=31+33+35+37+39+41$.(3分)
(2)$m^2+m−1$.(6分)
(3)$\because 45^2+45−1=2069＞2025,44^2+44−1=1979＜2025$，
$\therefore m=45$.(8分)
(2)$m^2+m−1$.(6分)
(3)$\because 45^2+45−1=2069＞2025,44^2+44−1=1979＜2025$，
$\therefore m=45$.(8分)
解析
【分析】
首先观察题目给出的立方数与连续奇数和的对应例子，总结规律：对于大于1的正整数m，m³可写成m个连续奇数的和，需先推导每个m对应的连续奇数的最大数规律，再利用规律解决问题。
【解析】
(1) 分析已知例子的规律：
m=2时，2³=3+5，最大奇数为5=2²+2-1；
m=3时，3³=7+9+11，最大奇数为11=3²+3-1；
m=4时，4³=13+15+17+19，最大奇数为19=4²+4-1；
m=5时，5³=21+23+25+27+29，最大奇数为29=5²+5-1；
由此可得，m个连续奇数的最大数为m²+m-1。当m=6时，最大奇数为6²+6-1=41，6个连续奇数为31、33、35、37、39、41，故6³=31+33+35+37+39+41。
(2) 由上述规律，任意大于1的正整数m对应的m个连续奇数中最大的数为m²+m-1。
(3) 已知存在奇数2025，计算不同m对应的最大奇数：
m=44时，最大奇数为44²+44-1=1979；
m=45时，最大奇数为45²+45-1=2069；
因为1979＜2025＜2069，所以2025在m=45的序列中，故m=45。
【答案】
(1)31+33+35+37+39+41；(2)m²+m−1；(3)45
【知识点】
数字规律探究、代数式表示、奇数性质
【点评】
本题通过立方数与连续奇数和的对应关系考查规律归纳能力，解题关键是准确推导最大奇数的表达式，需学生具备细致观察和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
首先观察题目给出的立方数与连续奇数和的对应例子，总结规律：对于大于1的正整数m，m³可写成m个连续奇数的和，需先推导每个m对应的连续奇数的最大数规律，再利用规律解决问题。
【解析】
(1) 分析已知例子的规律：
m=2时，2³=3+5，最大奇数为5=2²+2-1；
m=3时，3³=7+9+11，最大奇数为11=3²+3-1；
m=4时，4³=13+15+17+19，最大奇数为19=4²+4-1；
m=5时，5³=21+23+25+27+29，最大奇数为29=5²+5-1；
由此可得，m个连续奇数的最大数为m²+m-1。当m=6时，最大奇数为6²+6-1=41，6个连续奇数为31、33、35、37、39、41，故6³=31+33+35+37+39+41。
(2) 由上述规律，任意大于1的正整数m对应的m个连续奇数中最大的数为m²+m-1。
(3) 已知存在奇数2025，计算不同m对应的最大奇数：
m=44时，最大奇数为44²+44-1=1979；
m=45时，最大奇数为45²+45-1=2069；
因为1979＜2025＜2069，所以2025在m=45的序列中，故m=45。
【答案】
(1)31+33+35+37+39+41；(2)m²+m−1；(3)45
【知识点】
数字规律探究、代数式表示、奇数性质
【点评】
本题通过立方数与连续奇数和的对应关系考查规律归纳能力，解题关键是准确推导最大奇数的表达式，需学生具备细致观察和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
