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1.若四边形ABCD的对角线AC与BD相等且互相平分,则下列关于四边形ABCD的形状判断正确的是（）
A.一定是矩形,但不一定是正方形
B.一定是菱形
C.一定是平行四边形,但不可能是矩形
D.一定是正方形
A.一定是矩形,但不一定是正方形
B.一定是菱形
C.一定是平行四边形,但不可能是矩形
D.一定是正方形
答案
A
解析
【分析】
要判断四边形ABCD的形状，需结合特殊四边形的判定定理逐步推导：首先，回忆平行四边形的判定规则——对角线互相平分的四边形是平行四边形，由此确定该四边形是平行四边形；接着，矩形的判定定理指出：对角线相等的平行四边形是矩形，因此该平行四边形为矩形；最后，正方形是特殊的矩形（需满足邻边相等或对角线垂直等额外条件），仅对角线相等无法推出正方形的条件，据此判断选项。
【解析】
1. 根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知AC与BD互相平分，故四边形ABCD是平行四边形；
2. 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，已知AC与BD相等，因此该平行四边形是矩形；
3. 正方形是邻边相等且有一个内角为直角的矩形，仅对角线相等无法推出邻边相等，故该四边形不一定是正方形；
综上，四边形ABCD一定是矩形，但不一定是正方形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形判定、矩形判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，核心是掌握对角线与四边形形状的关系，区分矩形与正方形的判定条件，属于基础题型，需牢记相关定理避免混淆。
【难度系数】
0.6
要判断四边形ABCD的形状，需结合特殊四边形的判定定理逐步推导：首先，回忆平行四边形的判定规则——对角线互相平分的四边形是平行四边形，由此确定该四边形是平行四边形；接着，矩形的判定定理指出：对角线相等的平行四边形是矩形，因此该平行四边形为矩形；最后，正方形是特殊的矩形（需满足邻边相等或对角线垂直等额外条件），仅对角线相等无法推出正方形的条件，据此判断选项。
【解析】
1. 根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知AC与BD互相平分，故四边形ABCD是平行四边形；
2. 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，已知AC与BD相等，因此该平行四边形是矩形；
3. 正方形是邻边相等且有一个内角为直角的矩形，仅对角线相等无法推出邻边相等，故该四边形不一定是正方形；
综上，四边形ABCD一定是矩形，但不一定是正方形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形判定、矩形判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，核心是掌握对角线与四边形形状的关系，区分矩形与正方形的判定条件，属于基础题型，需牢记相关定理避免混淆。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AC,BD上的点,且$OE=OF$,连结AF,BE,EF。若$∠AFE=25°$,则$∠CBE$的度数为 （）
A.$50°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
A.$50°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，需先利用正方形的性质得到对角线的关系，再结合等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质来推导角度。首先，正方形的对角线互相垂直平分且相等，据此得到边和角的等量关系；接着由OE=OF判断△OEF为等腰直角三角形，求出相关角度；再通过SAS证明三角形全等，转化角的度数，最终计算出∠CBE。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ OA=OB，AC⊥BD，∠OBC=45°，即∠AOF=∠BOE=90°。
又
∵ OE=OF，
∴ △OEF是等腰直角三角形，
∴ ∠OFE=45°。
∵ ∠AFE=25°，
∴ ∠AFO=∠AFE + ∠OFE=25°+45°=70°。
在△AOF中，∠OAF=90°−∠AFO=90°−70°=20°。
在△AOF和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠AOF=∠BOE \\OF=OE\end{array} $
∴ △AOF≌△BOE（SAS），
∴ ∠OBE=∠OAF=20°。
∴ ∠CBE=∠OBC + ∠OBE=45°+20°=65°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合正方形的性质与全等三角形的判定，通过角度转化求解目标角，核心是利用正方形对角线的特性得到边和角的等量关系，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先利用正方形的性质得到对角线的关系，再结合等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质来推导角度。首先，正方形的对角线互相垂直平分且相等，据此得到边和角的等量关系；接着由OE=OF判断△OEF为等腰直角三角形，求出相关角度；再通过SAS证明三角形全等，转化角的度数，最终计算出∠CBE。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ OA=OB，AC⊥BD，∠OBC=45°，即∠AOF=∠BOE=90°。
又
∵ OE=OF，
∴ △OEF是等腰直角三角形，
∴ ∠OFE=45°。
∵ ∠AFE=25°，
∴ ∠AFO=∠AFE + ∠OFE=25°+45°=70°。
在△AOF中，∠OAF=90°−∠AFO=90°−70°=20°。
在△AOF和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠AOF=∠BOE \\OF=OE\end{array} $
∴ △AOF≌△BOE（SAS），
∴ ∠OBE=∠OAF=20°。
∴ ∠CBE=∠OBC + ∠OBE=45°+20°=65°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合正方形的性质与全等三角形的判定，通过角度转化求解目标角，核心是利用正方形对角线的特性得到边和角的等量关系，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.5
3. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠ B=45°$,$BC=2\sqrt{3}$,点$E,F$分别是边$CD,BC$上的动点,连结$AE$和$EF$,点$G,H$分别为$AE,EF$的中点,连结$GH$,则$GH$的最小值为 （）
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D.$1$
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D.$1$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用三角形中位线定理将GH的长度转化为AF长度的一半，从而把求GH最小值的问题转化为求AF最小值的问题；再根据“点到直线的距离中垂线段最短”，确定AF最短的情况是AF垂直于BC，最后结合菱形的性质和三角函数计算AF的长度，进而得到GH的最小值。
【解析】
1. 由三角形中位线定理：因为G、H分别为AE、EF的中点，所以GH是△AEF的中位线，因此$GH=\frac{1}{2}AF$，故求GH的最小值等价于求AF的最小值。
2. 确定AF的最小值：点A是定点，F在BC上运动，根据“垂线段最短”，当$AF⊥BC$时，AF取得最小值，此时AF是点A到BC的垂线段。
3. 结合菱形性质计算：菱形ABCD中，$AB=BC=2\sqrt{3}$，$∠B=45°$，在$Rt△ABF$（$AF⊥BC$）中，$AF=AB·sin∠B=2\sqrt{3}×sin45°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}$。
4. 计算GH：$GH=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线、菱形性质、垂线段最短
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、菱形的性质及垂线段最短的应用，核心是通过中位线转化问题，将线段最小值问题转化为定点到定直线的垂线段长度计算，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先利用三角形中位线定理将GH的长度转化为AF长度的一半，从而把求GH最小值的问题转化为求AF最小值的问题；再根据“点到直线的距离中垂线段最短”，确定AF最短的情况是AF垂直于BC，最后结合菱形的性质和三角函数计算AF的长度，进而得到GH的最小值。
【解析】
1. 由三角形中位线定理：因为G、H分别为AE、EF的中点，所以GH是△AEF的中位线，因此$GH=\frac{1}{2}AF$，故求GH的最小值等价于求AF的最小值。
2. 确定AF的最小值：点A是定点，F在BC上运动，根据“垂线段最短”，当$AF⊥BC$时，AF取得最小值，此时AF是点A到BC的垂线段。
3. 结合菱形性质计算：菱形ABCD中，$AB=BC=2\sqrt{3}$，$∠B=45°$，在$Rt△ABF$（$AF⊥BC$）中，$AF=AB·sin∠B=2\sqrt{3}×sin45°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}$。
4. 计算GH：$GH=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线、菱形性质、垂线段最短
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、菱形的性质及垂线段最短的应用，核心是通过中位线转化问题，将线段最小值问题转化为定点到定直线的垂线段长度计算，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.5
4. 如图,将一个直角边长为$\sqrt{10}$的等腰直角三角板摆放在正方形$ABCD$内部,使三角板的一个顶点与正方形$ABCD$的顶点$A$重合,直角顶点$E$落在对角线$BD$上,点$F$落在边$CD$上。若$DF=2$,则$BE$的长为（）
A.$\sqrt{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{5}-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
A.$\sqrt{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{5}-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，可通过建立平面直角坐标系，结合正方形、等腰直角三角形的性质，利用坐标与代数运算求解。步骤为：1. 设定正方形边长，建立坐标系确定各点坐标；2. 根据DF=2得到点F的坐标；3. 利用等腰直角三角板的直角顶点E，结合直角条件和边长相等关系建立方程；4. 结合三角板直角边长求出正方形边长，进而计算BE的长度。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ b $，建立平面直角坐标系：令$ B(0,0) $，$ A(0,b) $，$ C(b,0) $，$ D(b,b) $，对角线BD的方程为$ y=x $，故点$ E $坐标为$ (e,e) $。
因$ DF=2 $，F在CD上（CD为$ x=b $），则F点坐标为$ (b, b-2) $。
由于$ △ AEF $是直角边长为$ \sqrt{10} $的等腰直角三角形，$ ∠ AEF=90° $，因此：
1. 向量垂直条件：$ \overrightarrow{EA} · \overrightarrow{EF}=0 $，其中$ \overrightarrow{EA}=(-e, b-e) $，$ \overrightarrow{EF}=(b-e, b-2-e) $，代入得：
$ (-e)(b-e)+(b-e)(b-2-e)=0 $，提取公因子得$ (b-e)(b-2-2e)=0 $，因$ E $在正方形内部，$ b ≠ e $，故$ b-2-2e=0 $，即$ e=\frac{b-2}{2} $；
2. 边长相等条件：$ AE=EF $，故$ AE^2=EF^2 $，代入坐标得：
$ e^2+(b-e)^2=(b-e)^2+(b-2-e)^2 $，化简得$ e^2=(b-2-e)^2 $，结合上述$ e=\frac{b-2}{2} $验证成立；
又三角板直角边长为$ \sqrt{10} $，故$ AE^2=10 $，代入$ e=\frac{b-2}{2} $：
$ (\frac{b-2}{2})^2 + (b-\frac{b-2}{2})^2=10 $，解得$ b=4 $；
则$ e=\frac{4-2}{2}=1 $，即$ E(1,1) $，$ B(0,0) $，因此$ BE=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2} $。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、等腰直角三角形性质、坐标法解几何题
【点评】
本题通过坐标法将几何关系转化为代数计算，核心是利用等腰直角三角形的垂直和边长条件建立方程，适合用代数方法简化几何问题，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，可通过建立平面直角坐标系，结合正方形、等腰直角三角形的性质，利用坐标与代数运算求解。步骤为：1. 设定正方形边长，建立坐标系确定各点坐标；2. 根据DF=2得到点F的坐标；3. 利用等腰直角三角板的直角顶点E，结合直角条件和边长相等关系建立方程；4. 结合三角板直角边长求出正方形边长，进而计算BE的长度。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$ b $，建立平面直角坐标系：令$ B(0,0) $，$ A(0,b) $，$ C(b,0) $，$ D(b,b) $，对角线BD的方程为$ y=x $，故点$ E $坐标为$ (e,e) $。
因$ DF=2 $，F在CD上（CD为$ x=b $），则F点坐标为$ (b, b-2) $。
由于$ △ AEF $是直角边长为$ \sqrt{10} $的等腰直角三角形，$ ∠ AEF=90° $，因此：
1. 向量垂直条件：$ \overrightarrow{EA} · \overrightarrow{EF}=0 $，其中$ \overrightarrow{EA}=(-e, b-e) $，$ \overrightarrow{EF}=(b-e, b-2-e) $，代入得：
$ (-e)(b-e)+(b-e)(b-2-e)=0 $，提取公因子得$ (b-e)(b-2-2e)=0 $，因$ E $在正方形内部，$ b ≠ e $，故$ b-2-2e=0 $，即$ e=\frac{b-2}{2} $；
2. 边长相等条件：$ AE=EF $，故$ AE^2=EF^2 $，代入坐标得：
$ e^2+(b-e)^2=(b-e)^2+(b-2-e)^2 $，化简得$ e^2=(b-2-e)^2 $，结合上述$ e=\frac{b-2}{2} $验证成立；
又三角板直角边长为$ \sqrt{10} $，故$ AE^2=10 $，代入$ e=\frac{b-2}{2} $：
$ (\frac{b-2}{2})^2 + (b-\frac{b-2}{2})^2=10 $，解得$ b=4 $；
则$ e=\frac{4-2}{2}=1 $，即$ E(1,1) $，$ B(0,0) $，因此$ BE=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2} $。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、等腰直角三角形性质、坐标法解几何题
【点评】
本题通过坐标法将几何关系转化为代数计算，核心是利用等腰直角三角形的垂直和边长条件建立方程，适合用代数方法简化几何问题，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
5. 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, 过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$, $∠ DAC=29°$, 则 $∠ BDE$ 的度数为 $\_\_\_\_\_\_°$。
答案
32
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合矩形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的角度关系推导：首先利用矩形对角线互相平分且相等，得到OA=OD，进而推出等腰△OAD的底角相等；再计算出∠AOD的度数，通过邻补角得到∠DOE的度数；最后结合DE⊥AC（△ODE为直角三角形），求出∠BDE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，且OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，
∴ OA=OD，即△OAD为等腰三角形，
∴ ∠OAD=∠ODA=29°。
在△AOD中，根据三角形内角和为180°：
∠AOD=180°−∠OAD−∠ODA=180°−29°−29°=122°，
∴ ∠DOE=180°−∠AOD=180°−122°=58°。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠OED=90°，即△ODE是直角三角形，
在Rt△ODE中，∠ODE=90°−∠DOE=90°−58°=32°，
即∠BDE=32°。
【答案】
32
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查矩形对角线的性质、等腰三角形的角度特征及直角三角形的角度计算，解题关键是利用矩形对角线的关系建立角度联系，逐步推导得出结果。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合矩形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的角度关系推导：首先利用矩形对角线互相平分且相等，得到OA=OD，进而推出等腰△OAD的底角相等；再计算出∠AOD的度数，通过邻补角得到∠DOE的度数；最后结合DE⊥AC（△ODE为直角三角形），求出∠BDE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，且OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，
∴ OA=OD，即△OAD为等腰三角形，
∴ ∠OAD=∠ODA=29°。
在△AOD中，根据三角形内角和为180°：
∠AOD=180°−∠OAD−∠ODA=180°−29°−29°=122°，
∴ ∠DOE=180°−∠AOD=180°−122°=58°。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠OED=90°，即△ODE是直角三角形，
在Rt△ODE中，∠ODE=90°−∠DOE=90°−58°=32°，
即∠BDE=32°。
【答案】
32
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查矩形对角线的性质、等腰三角形的角度特征及直角三角形的角度计算，解题关键是利用矩形对角线的关系建立角度联系，逐步推导得出结果。
【难度系数】
0.5
6. 如图，由两个全等菱形（菱形 $ABCD$ 与菱形 $EFGH$）组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形（阴影部分），点 $A,C$ 在 $EG$ 上，点 $F,H$ 在 $BD$ 上，若 $CE=1$，则 $BD$ 的长为 ______。
答案
$\boldsymbol{2+\sqrt{2}}$
解析
【分析】
本题需结合菱形与正八边形的性质解题：两个全等菱形的重叠部分为正八边形，因此正八边形各边相等、内角为135°，由此可得菱形的邻角互补，即菱形内角为45°和135°，且两菱形边长相等。利用图形对称性，可将BD拆分为几段线段，结合已知CE=1，通过等腰直角三角形的边长关系求出各段长度，进而得到BD的长。
【解析】
1. 由题意，重叠部分是正八边形，故正八边形各边相等、内角为135°，菱形邻角互补，因此菱形的内角为45°和135°，且两个菱形全等，边长相等。
2. 观察图形对称性，可得$ BH = FD = CE = 1 $；因菱形内角为45°，相邻边构成等腰直角三角形，故正八边形的边长$ HF = \sqrt{2} × 1 = \sqrt{2} $。
3. 因此$ BD = BH + HF + FD = 1 + \sqrt{2} + 1 = 2 + \sqrt{2} $。
【答案】
$ 2+\sqrt{2} $
【知识点】
菱形性质、正八边形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题结合两种图形的性质，利用对称性简化计算，关键是找到线段间的关系，难度适中，需掌握图形性质与几何推导能力。
【难度系数】
0.4
本题需结合菱形与正八边形的性质解题：两个全等菱形的重叠部分为正八边形，因此正八边形各边相等、内角为135°，由此可得菱形的邻角互补，即菱形内角为45°和135°，且两菱形边长相等。利用图形对称性，可将BD拆分为几段线段，结合已知CE=1，通过等腰直角三角形的边长关系求出各段长度，进而得到BD的长。
【解析】
1. 由题意，重叠部分是正八边形，故正八边形各边相等、内角为135°，菱形邻角互补，因此菱形的内角为45°和135°，且两个菱形全等，边长相等。
2. 观察图形对称性，可得$ BH = FD = CE = 1 $；因菱形内角为45°，相邻边构成等腰直角三角形，故正八边形的边长$ HF = \sqrt{2} × 1 = \sqrt{2} $。
3. 因此$ BD = BH + HF + FD = 1 + \sqrt{2} + 1 = 2 + \sqrt{2} $。
【答案】
$ 2+\sqrt{2} $
【知识点】
菱形性质、正八边形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题结合两种图形的性质，利用对称性简化计算，关键是找到线段间的关系，难度适中，需掌握图形性质与几何推导能力。
【难度系数】
0.4
