练4-1 嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的符殊平行四边形之间的关系。以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是 （）


A.有一个内角是$90°$
B.有一组邻边相等
C.对角线互相平分
D.对角线相等

C

【分析】
本题考查特殊平行四边形的关系，需明确平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与判定条件，解题思路是逐一分析A、B、C、D对应的转化条件是否符合图形逻辑，找出错误选项。
【解析】
1. 分析A：平行四边形中，若有一个内角是90°，则该平行四边形为矩形，因此A处填写“有一个内角是90°”正确。
2. 分析B：平行四边形中，若有一组邻边相等，则该平行四边形为菱形，因此B处填写“有一组邻边相等”正确。
3. 分析C：矩形的性质包含对角线互相平分，这是所有平行四边形都具备的性质，并非矩形转化为正方形的条件；正方形是特殊的矩形，需在矩形基础上增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件，因此C处填写“对角线互相平分”错误。
4. 分析D：菱形中，若对角线相等，则该菱形为正方形，因此D处填写“对角线相等”正确。
综上，错误的选项是C。
【答案】
C
【知识点】
特殊平行四边形关系、矩形判定、菱形判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的从属关系与判定条件，需准确区分各类特殊平行四边形的专属判定，理清转化逻辑，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

练4-2 如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连结MD,AN。
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
(2)在点M移动过程中。
①当四边形AMDN为矩形时,求AM的长;
②当四边形AMDN为菱形时,求AM的长。

解：
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ND//AM，
∴ ∠NDE = ∠MAE，∠DNE = ∠AME，
∵ 点E是AD边的中点，
∴ DE = AE，
在△NDE和△MAE中，
$\{\begin{array}{l}∠NDE=∠MAE \\∠DNE=∠AME \\DE=AE\end{array} $
∴ △NDE ≌ △MAE (AAS)，
∴ ND = MA，
又∵ ND//MA，
∴ 四边形AMDN是平行四边形。
(2) ① 当四边形AMDN为矩形时，∠AMD = 90°，
∵ AD = AB = 2，∠DAB = 60°，
在Rt△AMD中，∠ADM = 90° - ∠DAB = 30°，
∴ AM = $\frac{1}{2}$AD = 1。
② 当四边形AMDN为菱形时，AM = DM，
∵ ∠DAB = 60°，
∴ △AMD是等边三角形，
∴ AM = AD = 2。
综上，① AM的长为1；② AM的长为2。

【分析】
要证明四边形AMDN是平行四边形，需利用菱形对边平行的性质，结合中点条件通过AAS证明三角形全等，得到一组对边平行且相等；对于特殊情况，矩形需满足直角，利用直角三角形30°角的性质求AM，菱形需满足邻边相等，结合60°角得到等边三角形求AM。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ND//AM，
∴ ∠NDE = ∠MAE，∠DNE = ∠AME，
∵ 点E是AD边的中点，
∴ DE = AE，
在△NDE和△MAE中，
$\{\begin{array}{l}∠NDE=∠MAE \\∠DNE=∠AME \\DE=AE\end{array} $
∴ △NDE ≌ △MAE (AAS)，
∴ ND = MA，
又
∵ ND//MA，
∴ 四边形AMDN是平行四边形。
(2) ① 当四边形AMDN为矩形时，∠AMD = 90°，
∵ 菱形ABCD中，AD = AB = 2，∠DAB = 60°，
在Rt△AMD中，∠ADM = 90° - ∠DAB = 30°，
∴ AM = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}×2 = 1$；
② 当四边形AMDN为菱形时，AM = DM，
∵ ∠DAB = 60°，
∴ △AMD是等边三角形，
∴ AM = AD = 2。
【答案】
① 1；② 2
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定与性质，结合全等三角形和直角、等边三角形的性质，是一道基础与中等难度结合的题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6