1. 在$△ ABC$中，若$∠ A=2∠ B=3∠ C$，则$△ ABC$的形状是（）

A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定

1.A

【分析】
要判断三角形的形状，核心是确定三角形最大内角的度数范围。我们已知三角形内角和为180°，题目给出了三个内角的倍数关系，因此可以先将三个内角用同一个未知数表示，再根据内角和定理列方程求出最大角的度数，最后根据最大角的类型判断三角形形状。
【解析】
设$∠ A = x$，
$\because ∠ A = 2∠ B$，$\therefore ∠ B = \frac{1}{2}x$，
$\because ∠ A = 3∠ C$，$\therefore ∠ C = \frac{1}{3}x$，
根据三角形内角和为180°，可得：
$x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 180°$
通分计算得：$\frac{6x + 3x + 2x}{6} = 180°$，即$\frac{11x}{6}=180°$
解得$x = \frac{1080°}{11}≈98.2°$
最大角$∠ A$大于90°，属于钝角，因此$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题解题的关键是根据三个角的等量关系，将所有内角用同一个未知数表示，再结合三角形内角和定理列方程求解，通过最大角的类型即可快速判断三角形的形状。
【难度系数】
0.7

2.如果一个三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，周长为偶数，那么这样的三角形有()

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

2.C

【分析】
解题时可按以下思路推导：①首先设第三边长为x cm，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求出第三边x的取值范围；②结合周长为偶数的条件，分析已知两边的和的奇偶性，推导得出第三边x需满足的奇偶性要求；③在取值范围内找出符合奇偶性要求的x的个数，即可得到符合条件的三角形的数量。
【解析】
设该三角形的第三边长为x cm。
根据三角形三边关系可得：
$8 - 6 ＜ x ＜ 8 + 6$，即$2 ＜ x ＜ 14$。
三角形的周长为$6 + 8 + x = 14 + x$，已知周长为偶数，14是偶数，根据“偶数+偶数=偶数”可知，x必须为偶数。
在$2 ＜ x ＜ 14$的范围内，偶数有4、6、8、10、12，共5个取值，即符合条件的三角形有5个。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、奇偶数运算性质
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系，同时结合奇偶性的运算规则对第三边的取值进行筛选，注意第三边的取值范围不能取到边界值2和14，避免多算。
【难度系数】
0.7

3.下列说法正确的是()
①三角形的三条中线都在三角形的内部；②三角形的三条角的平分线都在三角形的内部；③三角形的三条高都在三角形的内部。

A.①②③
B.①②
C.②③
D.①③

3.B

【分析】
本题需要逐一判断3个关于三角形线段位置的说法是否正确，解题思路为：先分别回忆三角形中线、角平分线、高的定义，再结合锐角、直角、钝角三类三角形的特点，判断对应线段的位置是否都在三角形内部，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 分析①：三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，无论是锐角、直角还是钝角三角形，三条中线都在三角形内部，该说法正确。
2. 分析②：本题提到的三角形的角平分线指内角平分线，是从内角顶点出发、交对边于一点的线段，所有三角形的三条内角平分线都在三角形内部，该说法正确。
3. 分析③：三角形的高的位置随三角形类型变化：锐角三角形的三条高都在内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此“三条高都在三角形内部”的说法错误。
综上，①②正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三类三角形中不同线段的位置特点，易错点是容易忽略直角三角形、钝角三角形高的特殊位置，误判说法③正确。
【难度系数】
0.8

4.下列三角形中一定全等的是()

A.各有一个角是 $45°$的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.各有一个角是 $45°$,腰长都是3 cm的两个等腰三角形
D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形

4.D

【分析】
解题时先回忆全等三角形的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、ASA（两角及夹边对应相等）、AAS（两角及对边对应相等），再结合等腰三角形的性质逐一分析每个选项，判断是否满足全等判定条件：
1. 首先判断选项中对应角、对应边是否确定相等，注意等腰三角形的已知角可能是顶角也可能是底角，需分类讨论是否存在不对应的情况；
2. 最后筛选出一定满足全等判定的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 各有一个角是$45°$的两个等腰三角形：$45°$既可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，两个三角形的对应角不一定全部相等，也没有对应边相等的条件，因此不一定全等；
B. 两个等边三角形：等边三角形的三个角都是$60°$，但边长不一定相等，因此不一定全等；
C. 各有一个角是$45°$，腰长都是3 cm的两个等腰三角形：若其中一个三角形的$45°$是顶角，另一个三角形的$45°$是底角，两个三角形的内角分别为$45°、67.5°、67.5°$和$45°、45°、90°$，形状不同，因此不一定全等；
D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形：两个等腰三角形的腰对应相等，即两条对应边相等，顶角是两条腰的夹角，夹角也对应相等，符合全等三角形SAS的判定定理，因此一定全等。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形中已知角可能为顶角或底角的两种情况，解题时需明确全等三角形的判定必须满足对应边、对应角都对应相等，避免误选不满足对应关系的选项。
【难度系数】
0.7

5.如图是某个蔬菜大棚的构架图，那么图中共有个三角形。

5.7

【分析】
数三角形个数时要遵循分类计数、有序计数的原则，避免重复计数或者遗漏。我们可以先数单个的最小的三角形，再数由多个小三角形组合形成的三角形，最后把各类数量相加得到总个数。
【解析】
我们按从小到大的顺序分类计数：
1. 单个的小三角形：$△ ABH$、$△ BCH$、$△ CDF$、$△ DEF$，共4个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：$△ ACH$（$△ ABH$和$△ BCH$组合）、$△ CEF$（$△ CDF$和$△ DEF$组合），共2个；
3. 剩余的单独三角形：$△ HCF$，共1个。
总个数为$4+2+1=7$。
【答案】
7
【知识点】
三角形的定义，分类计数法
【点评】
本题属于基础的几何计数题型，解题关键是养成有序、分类计数的习惯，按照一定顺序排查图形，就能有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7

6.如图所示，△ABC中BC边上的高是，△ACD中CD边上的高是，△BCE中BC边上的高是，以CF为高的三角形分别是。

6.AD AD BE △ABC,△CBF,△ACF

【分析】
解题的核心是掌握三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。求解时先明确对应的三角形和需要找高的边，再找该边所在直线的垂线段，且垂线段的一个端点是三角形的第三个顶点即可。
【解析】
1. 求△ABC中BC边上的高：BC为指定边，对应顶点是A，由图可知AD⊥DC，BC在直线DC上，因此A到BC所在直线的垂线段是AD，即△ABC中BC边上的高为AD。
2. 求△ACD中CD边上的高：CD为指定边，对应顶点是A，AD⊥CD，因此A到CD的垂线段是AD，即△ACD中CD边上的高为AD。
3. 求△BCE中BC边上的高：BC为指定边，对应顶点是E，EB⊥BC，因此E到BC的垂线段是BE，即△BCE中BC边上的高为BE。
4. 找以CF为高的三角形：由图可知CF⊥直线AB，因此只要三角形有一条边在直线AB上、第三个顶点为C，CF就是该三角形的高，符合条件的三角形为△ABC、△CBF、△ACF。
【答案】
AD；AD；BE；△ABC,△CBF,△ACF
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题主要考查三角形高的识别，解题时要注意高的位置可以在三角形内部、外部或边上，找以某条线段为高的三角形时要避免漏解。
【难度系数】
0.7

7. 如图所示，如果$△ ABC ≌ △ ABD$，$AC=AD$，$∠ C=60°$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，那么$∠ D$的度数为________，$DB=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$。

7.60° 3

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。结合题目给出的已知条件AC=AD，可以确定AC与AD是一组对应边，由此可推出∠C和∠D是对应角，BC和DB是对应边，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵$△ ABC ≌ △ ABD$，且$AC=AD$，
∴$∠ C$与$∠ D$是对应角，$BC$与$DB$是对应边。
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ D=∠ C=60°$；
根据全等三角形对应边相等，可得$DB=BC=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$60°$；$3$
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是先根据已知的对应边准确找到全等三角形的对应角和对应边，再结合性质直接计算即可。
【难度系数】
0.9