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三、解答题
8.已知:$a^2+4a-1=0$,求$2a^3+11a^2+10a-2017$的值。
8.已知:$a^2+4a-1=0$,求$2a^3+11a^2+10a-2017$的值。
答案
8.解:
∵a²+4a−1=0,
∴a²+4a=1。
∴2a³+11a²+10a−2017=2a³+8a²+3a²+12a−2a−2017=2a(a²+4a)+3(a²+4a)−2a−2017=2a×1+3×1−2a−2017=−2014。
∵a²+4a−1=0,
∴a²+4a=1。
∴2a³+11a²+10a−2017=2a³+8a²+3a²+12a−2a−2017=2a(a²+4a)+3(a²+4a)−2a−2017=2a×1+3×1−2a−2017=−2014。
解析
【分析】
本题已知关于a的二次等式，求三次多项式的值，若直接求解a的值代入计算会非常繁琐，因此采用整体代入降次的思路。首先将已知等式变形得到$a^2+4a=1$，再将所求的三次多项式拆项分组，凑出含有$a^2+4a$的整式结构，再把$a^2+4a$作为整体代入计算，即可快速得到结果，避免复杂运算。
【解析】
解：$\because a^2+4a-1=0$，
$\therefore a^2+4a=1$。
对所求多项式拆项变形：
$2a^3+11a^2+10a-2017$
$=2a^3+8a^2+3a^2+12a-2a-2017$
$=2a(a^2+4a)+3(a^2+4a)-2a-2017$
将$a^2+4a=1$代入上式：
$=2a×1 + 3×1 -2a -2017$
$=2a + 3 -2a -2017$
$=3-2017$
$=-2014$
【答案】
$-2014$
【知识点】
代数式求值、整体代入法、整式变形
【点评】
本题是整式求值类的典型题型，解题关键是灵活运用整体代入的思想，通过拆项凑出已知条件中的整式结构，不需要求解未知数的值即可简化运算，能够很好地考查学生对整式变形的掌握程度和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
本题已知关于a的二次等式，求三次多项式的值，若直接求解a的值代入计算会非常繁琐，因此采用整体代入降次的思路。首先将已知等式变形得到$a^2+4a=1$，再将所求的三次多项式拆项分组，凑出含有$a^2+4a$的整式结构，再把$a^2+4a$作为整体代入计算，即可快速得到结果，避免复杂运算。
【解析】
解：$\because a^2+4a-1=0$，
$\therefore a^2+4a=1$。
对所求多项式拆项变形：
$2a^3+11a^2+10a-2017$
$=2a^3+8a^2+3a^2+12a-2a-2017$
$=2a(a^2+4a)+3(a^2+4a)-2a-2017$
将$a^2+4a=1$代入上式：
$=2a×1 + 3×1 -2a -2017$
$=2a + 3 -2a -2017$
$=3-2017$
$=-2014$
【答案】
$-2014$
【知识点】
代数式求值、整体代入法、整式变形
【点评】
本题是整式求值类的典型题型，解题关键是灵活运用整体代入的思想，通过拆项凑出已知条件中的整式结构，不需要求解未知数的值即可简化运算，能够很好地考查学生对整式变形的掌握程度和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
9.在$△ ABC$中，D是BC的中点，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，垂足分别是点E，F，$BE=CF$。
(1)图中有几对全等三角形？请一一列出。
(2)选择一对你认为全等的三角形进行说明。
(1)图中有几对全等三角形？请一一列出。
(2)选择一对你认为全等的三角形进行说明。
答案
9.解:(1)图中有3对全等三角形,分别是△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF。
(2)选择证明△BDE≌△CDF。证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°。又
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,在Rt△BDE和Rt△CDF中$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$,
∴△BDE≌△CDF。
(2)选择证明△BDE≌△CDF。证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°。又
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,在Rt△BDE和Rt△CDF中$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$,
∴△BDE≌△CDF。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC可得两组直角相等，还有已知BE=CF。首先先判定最易证的△BDE和△CDF全等，利用直角三角形全等的HL定理即可证明；由这组全等可推出∠B=∠C、DE=DF，进而得到AB=AC，结合AD公共边可证△ABD≌△ACD；再结合AD公共边、DE=DF，可证Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出所有全等三角形。第二问选择其中一对，利用对应判定定理证明即可。
【解析】
(1) 推导全等三角形：
① 由D为BC中点得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC得∠BED=∠CFD=90°，结合已知BE=CF，可证△BDE≌△CDF；
② 由△BDE≌△CDF得∠B=∠C，故AB=AC，结合BD=CD、AD=AD，可证△ABD≌△ACD；
③ 由△BDE≌△CDF得DE=DF，结合AD=AD、∠AED=∠AFD=90°，可证△ADE≌△ADF。
因此共有3对全等三角形。
(2) 选择证明△BDE≌△CDF：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中：
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（HL）。
【答案】
(1) 图中有3对全等三角形，分别是$△ ABD≌△ ACD$，$△ ADE≌△ ADF$，$△ BDE≌△ CDF$。
(2) 以$△ BDE≌△ CDF$为例，证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$，
∴△BDE≌△CDF。
【知识点】
全等三角形的判定、HL判定定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，需要从已知条件出发逐步推导边角的相等关系，再结合全等判定定理确认全等三角形，能够有效巩固全等判定的相关知识，训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC可得两组直角相等，还有已知BE=CF。首先先判定最易证的△BDE和△CDF全等，利用直角三角形全等的HL定理即可证明；由这组全等可推出∠B=∠C、DE=DF，进而得到AB=AC，结合AD公共边可证△ABD≌△ACD；再结合AD公共边、DE=DF，可证Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出所有全等三角形。第二问选择其中一对，利用对应判定定理证明即可。
【解析】
(1) 推导全等三角形：
① 由D为BC中点得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC得∠BED=∠CFD=90°，结合已知BE=CF，可证△BDE≌△CDF；
② 由△BDE≌△CDF得∠B=∠C，故AB=AC，结合BD=CD、AD=AD，可证△ABD≌△ACD；
③ 由△BDE≌△CDF得DE=DF，结合AD=AD、∠AED=∠AFD=90°，可证△ADE≌△ADF。
因此共有3对全等三角形。
(2) 选择证明△BDE≌△CDF：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中：
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（HL）。
【答案】
(1) 图中有3对全等三角形，分别是$△ ABD≌△ ACD$，$△ ADE≌△ ADF$，$△ BDE≌△ CDF$。
(2) 以$△ BDE≌△ CDF$为例，证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$，
∴△BDE≌△CDF。
【知识点】
全等三角形的判定、HL判定定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，需要从已知条件出发逐步推导边角的相等关系，再结合全等判定定理确认全等三角形，能够有效巩固全等判定的相关知识，训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
10.如图所示，AC与BD相交于点O，OA=OC，请你再添加一个条件，使△AOB≌△COD，并说明理由。
答案
解：添加条件$OB=OD$（答案不唯一）。
理由：
∵ AC与BD相交于点O，
∴ $∠ AOB = ∠ COD$（对顶角相等）。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}OA = OC, \\∠ AOB = ∠ COD, \\OB = OD,\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ COD$（SAS）。
理由：
∵ AC与BD相交于点O，
∴ $∠ AOB = ∠ COD$（对顶角相等）。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}OA = OC, \\∠ AOB = ∠ COD, \\OB = OD,\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ COD$（SAS）。
解析
【分析】
要证明△AOB≌△COD，先梳理现有条件：已知OA=OC，又因为AC和BD相交于点O，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，此时已经具备一组边相等、一组角相等的条件。结合全等三角形的判定定理，只需补充另一组夹等角的边相等（用SAS判定），或是补充一组对应角相等（用ASA或AAS判定）即可，最直接的补充条件为OB=OD，可通过SAS判定全等。
【解析】
解：添加条件$OB=OD$（答案不唯一）。
理由：
∵ AC与BD相交于点O，
∴ $∠ AOB = ∠ COD$（对顶角相等）。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}OA = OC, \\∠ AOB = ∠ COD, \\OB = OD,\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ COD$（SAS）。
【答案】
添加条件$\boldsymbol{OB=OD}$（答案不唯一），可证得$△AOB≌△COD$。
【知识点】
1.全等三角形的判定
2.对顶角的性质
【点评】
本题是全等判定的开放型基础题，需要结合已知条件和图形隐含的对顶角相等的性质，灵活选择合适的全等判定定理补充条件，能有效考查对全等判定定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明△AOB≌△COD，先梳理现有条件：已知OA=OC，又因为AC和BD相交于点O，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，此时已经具备一组边相等、一组角相等的条件。结合全等三角形的判定定理，只需补充另一组夹等角的边相等（用SAS判定），或是补充一组对应角相等（用ASA或AAS判定）即可，最直接的补充条件为OB=OD，可通过SAS判定全等。
【解析】
解：添加条件$OB=OD$（答案不唯一）。
理由：
∵ AC与BD相交于点O，
∴ $∠ AOB = ∠ COD$（对顶角相等）。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}OA = OC, \\∠ AOB = ∠ COD, \\OB = OD,\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ COD$（SAS）。
【答案】
添加条件$\boldsymbol{OB=OD}$（答案不唯一），可证得$△AOB≌△COD$。
【知识点】
1.全等三角形的判定
2.对顶角的性质
【点评】
本题是全等判定的开放型基础题，需要结合已知条件和图形隐含的对顶角相等的性质，灵活选择合适的全等判定定理补充条件，能有效考查对全等判定定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
