登录
9. 若$2x - y = -1$, 则$5 + 4x - 2y = \_\_\_\_\_\_$.
答案
9.3
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构关系，发现所求代数式中的$4x-2y$可以变形为$2(2x-y)$，正好是已知等式左边$2x-y$的2倍，因此不需要分别求出$x$、$y$的值，采用整体代入的方法即可计算出结果。
【解析】
先对所求代数式进行变形：
$5 + 4x - 2y = 5 + 2(2x - y)$
已知$2x - y = -1$，将其整体代入上式：
原式$= 5 + 2×(-1) = 5 - 2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，解题关键是准确找到所求代数式与已知条件之间的倍数关系，对代数式合理变形后简化计算，避免无意义的单独求解未知数。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构关系，发现所求代数式中的$4x-2y$可以变形为$2(2x-y)$，正好是已知等式左边$2x-y$的2倍，因此不需要分别求出$x$、$y$的值，采用整体代入的方法即可计算出结果。
【解析】
先对所求代数式进行变形：
$5 + 4x - 2y = 5 + 2(2x - y)$
已知$2x - y = -1$，将其整体代入上式：
原式$= 5 + 2×(-1) = 5 - 2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，解题关键是准确找到所求代数式与已知条件之间的倍数关系，对代数式合理变形后简化计算，避免无意义的单独求解未知数。
【难度系数】
0.8
10. 若$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax +5y=21, \\ 2x + by=-11\end{cases}$的解，则$a=$ ______ ,$b=$ ______ .
答案
10.3 -5
解析
【分析】
解题的核心是利用二元一次方程组解的定义：方程组的解能使方程组中每个方程的左右两边都相等。我们可以将已知的x、y的值分别代入两个方程，把原来含两个未知数的方程转化为只含a或b的一元一次方程，再解一元一次方程即可求出a、b的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$是方程组的解，将其分别代入两个方程计算：
1. 代入$ax +5y=21$可得：
$2a + 5×3 = 21$
$2a +15 =21$
移项得$2a=21-15$
$2a=6$
解得$a=3$
2. 代入$2x + by=-11$可得：
$2×2 +3b =-11$
$4 +3b =-11$
移项得$3b=-11-4$
$3b=-15$
解得$b=-5$
【答案】
3；-5
【知识点】
二元一次方程组的解；解一元一次方程；代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程组的解的性质，代入计算时注意运算符号，移项时要变号，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用二元一次方程组解的定义：方程组的解能使方程组中每个方程的左右两边都相等。我们可以将已知的x、y的值分别代入两个方程，把原来含两个未知数的方程转化为只含a或b的一元一次方程，再解一元一次方程即可求出a、b的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$是方程组的解，将其分别代入两个方程计算：
1. 代入$ax +5y=21$可得：
$2a + 5×3 = 21$
$2a +15 =21$
移项得$2a=21-15$
$2a=6$
解得$a=3$
2. 代入$2x + by=-11$可得：
$2×2 +3b =-11$
$4 +3b =-11$
移项得$3b=-11-4$
$3b=-15$
解得$b=-5$
【答案】
3；-5
【知识点】
二元一次方程组的解；解一元一次方程；代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程组的解的性质，代入计算时注意运算符号，移项时要变号，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
11. 当$k=$ ______ 时，方程组$\begin{cases}5x +7y -5 =k, \\15x +25y =15k +25\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=\dfrac{11}{2}, \\y=-\dfrac{7}{2}.\end{cases}$
答案
11.-2
解析
【分析】
本题已知二元一次方程组的解，求参数k的值，解题思路如下：首先明确二元一次方程组的解的定义，即能使方程组中两个方程左右两边都相等的未知数的值，因此我们可以直接把已知的x、y的值代入其中任意一个方程，得到关于k的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出k的值，代入计算时注意分数运算的正确性即可。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=\dfrac{11}{2}, \\y=-\dfrac{7}{2}\end{cases}$是方程组$\begin{cases}5x +7y -5 =k, \\15x +25y =15k +25\end{cases}$的解，
∴ 将x、y的值代入第一个方程$5x +7y -5 =k$，可得：
$\displaystyle 5×\frac{11}{2} +7×(-\frac{7}{2}) -5 =k$
计算等号左侧：
$\displaystyle \frac{55}{2} - \frac{49}{2} -5 = \frac{6}{2} -5 = 3 -5 = -2$
即$k=-2$，代入第二个方程验证，结果一致。
【答案】
-2
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查对二元一次方程组解的概念的应用，解题的关键是掌握“方程组的解满足方程组内所有方程”这一性质，代入后转化为熟悉的一元一次方程求解即可，计算时需注意分数运算的符号和通分规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.85
本题已知二元一次方程组的解，求参数k的值，解题思路如下：首先明确二元一次方程组的解的定义，即能使方程组中两个方程左右两边都相等的未知数的值，因此我们可以直接把已知的x、y的值代入其中任意一个方程，得到关于k的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出k的值，代入计算时注意分数运算的正确性即可。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=\dfrac{11}{2}, \\y=-\dfrac{7}{2}\end{cases}$是方程组$\begin{cases}5x +7y -5 =k, \\15x +25y =15k +25\end{cases}$的解，
∴ 将x、y的值代入第一个方程$5x +7y -5 =k$，可得：
$\displaystyle 5×\frac{11}{2} +7×(-\frac{7}{2}) -5 =k$
计算等号左侧：
$\displaystyle \frac{55}{2} - \frac{49}{2} -5 = \frac{6}{2} -5 = 3 -5 = -2$
即$k=-2$，代入第二个方程验证，结果一致。
【答案】
-2
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查对二元一次方程组解的概念的应用，解题的关键是掌握“方程组的解满足方程组内所有方程”这一性质，代入后转化为熟悉的一元一次方程求解即可，计算时需注意分数运算的符号和通分规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.85
12. 一个长方形的长增加6 cm,宽减少2 cm,则面积增加8 cm²,如果长减少6 cm,宽增加6 cm,则面积不变,原长方形的长为
14 cm
,宽为8 cm
.答案
12.14 cm 8 cm
解析
【分析】
本题可通过设未知数列二元一次方程组求解。解题思路如下：首先设原长方形的长和宽分别为x cm、y cm，根据长方形面积=长×宽，分别找到两次面积变化对应的等量关系：①长增加6cm、宽减少2cm时，新面积=原面积+8cm²；②长减少6cm、宽增加6cm时，新面积=原面积。根据两个等量关系列出方程组，化简求解即可得到原长方形的长和宽。
【解析】
设原长方形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，宽为$ y \, \mathrm{cm} $，原面积为$ xy \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列方程组：
1. 长增加6cm，宽减少2cm，面积增加8cm²：
$(x+6)(y-2) = xy + 8$
展开左边得：$ xy - 2x + 6y - 12 = xy + 8 $，消去两边的$ xy $，化简得：
$-x + 3y = 10 \quad \mathrm{①}$
2. 长减少6cm，宽增加6cm，面积不变：
$(x-6)(y+6) = xy$
展开左边得：$ xy + 6x - 6y - 36 = xy $，消去两边的$ xy $，化简得：
$x - y = 6 \quad \mathrm{②}$
将①+②，得：$ 2y = 16 $，解得$ y = 8 $。
把$ y = 8 $代入②式，得：$ x - 8 = 6 $，解得$ x = 14 $。
【答案】
14 cm；8 cm
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积公式
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础应用题，解题核心是抓住面积变化前后的等量关系列方程，展开化简方程时注意符号，避免计算失误即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题可通过设未知数列二元一次方程组求解。解题思路如下：首先设原长方形的长和宽分别为x cm、y cm，根据长方形面积=长×宽，分别找到两次面积变化对应的等量关系：①长增加6cm、宽减少2cm时，新面积=原面积+8cm²；②长减少6cm、宽增加6cm时，新面积=原面积。根据两个等量关系列出方程组，化简求解即可得到原长方形的长和宽。
【解析】
设原长方形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，宽为$ y \, \mathrm{cm} $，原面积为$ xy \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列方程组：
1. 长增加6cm，宽减少2cm，面积增加8cm²：
$(x+6)(y-2) = xy + 8$
展开左边得：$ xy - 2x + 6y - 12 = xy + 8 $，消去两边的$ xy $，化简得：
$-x + 3y = 10 \quad \mathrm{①}$
2. 长减少6cm，宽增加6cm，面积不变：
$(x-6)(y+6) = xy$
展开左边得：$ xy + 6x - 6y - 36 = xy $，消去两边的$ xy $，化简得：
$x - y = 6 \quad \mathrm{②}$
将①+②，得：$ 2y = 16 $，解得$ y = 8 $。
把$ y = 8 $代入②式，得：$ x - 8 = 6 $，解得$ x = 14 $。
【答案】
14 cm；8 cm
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积公式
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础应用题，解题核心是抓住面积变化前后的等量关系列方程，展开化简方程时注意符号，避免计算失误即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13. 用适当的方法解方程组：
(1) $\begin{cases} 5x -6y =1, \\ x -3y =5; \end{cases}$
(2)
13. 用适当的方法解方程组：
(1) $\begin{cases} 5x -6y =1, \\ x -3y =5; \end{cases}$
(2)
答案
13.(1)$\begin{cases} x = -3, \\ y = -\dfrac{8}{3}; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x = -3, \\ y = -\dfrac{7}{3}. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x = -3, \\ y = -\dfrac{7}{3}. \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解。对于第(1)题，观察到第二个方程中x的系数为1，优先选择代入消元法，先将x用含y的代数式表示，再代入第一个方程求出y的值，最后回代求x即可；对于第(2)题，第一个方程含有分母，第一步先去分母将其整理为整数系数的二元一次方程，再观察两个方程中y的系数相同，选择加减消元法，两个方程相减消去y，先求x再求y即可。
【解析】
(1) 方程组为 $\begin{cases} 5x -6y =1&① \\ x -3y =5&② \end{cases}$
由②得：$x = 3y + 5$ ③
将③代入①得：$5(3y+5) - 6y =1$
展开计算：$15y +25 -6y =1$，即$9y = -24$，解得$y=-\dfrac{8}{3}$
将$y=-\dfrac{8}{3}$代入③得：$x=3×(-\dfrac{8}{3})+5=-3$
所以方程组(1)的解为$\begin{cases} x = -3 \\ y = -\dfrac{8}{3} \end{cases}$
(2) 先整理原方程组：
原第一个方程$\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{x+2}{3}$两边同乘12去分母得：$3(y+1)=4(x+2)$
展开整理得：$4x -3y = -5$ ③
原第二个方程为：$2x -3y =1$ ④
用③$-$④得：$(4x-3y)-(2x-3y)=-5-1$，即$2x=-6$，解得$x=-3$
将$x=-3$代入④得：$2×(-3)-3y=1$，即$-6-3y=1$，解得$y=-\dfrac{7}{3}$
所以方程组(2)的解为$\begin{cases} x = -3 \\ y = -\dfrac{7}{3} \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x = -3, \\ y = -\dfrac{8}{3}; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x = -3, \\ y = -\dfrac{7}{3}. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，解题时可根据方程系数特征灵活选择消元方法，含分母的方程先去分母简化运算，能有效提升解题正确率和效率。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解。对于第(1)题，观察到第二个方程中x的系数为1，优先选择代入消元法，先将x用含y的代数式表示，再代入第一个方程求出y的值，最后回代求x即可；对于第(2)题，第一个方程含有分母，第一步先去分母将其整理为整数系数的二元一次方程，再观察两个方程中y的系数相同，选择加减消元法，两个方程相减消去y，先求x再求y即可。
【解析】
(1) 方程组为 $\begin{cases} 5x -6y =1&① \\ x -3y =5&② \end{cases}$
由②得：$x = 3y + 5$ ③
将③代入①得：$5(3y+5) - 6y =1$
展开计算：$15y +25 -6y =1$，即$9y = -24$，解得$y=-\dfrac{8}{3}$
将$y=-\dfrac{8}{3}$代入③得：$x=3×(-\dfrac{8}{3})+5=-3$
所以方程组(1)的解为$\begin{cases} x = -3 \\ y = -\dfrac{8}{3} \end{cases}$
(2) 先整理原方程组：
原第一个方程$\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{x+2}{3}$两边同乘12去分母得：$3(y+1)=4(x+2)$
展开整理得：$4x -3y = -5$ ③
原第二个方程为：$2x -3y =1$ ④
用③$-$④得：$(4x-3y)-(2x-3y)=-5-1$，即$2x=-6$，解得$x=-3$
将$x=-3$代入④得：$2×(-3)-3y=1$，即$-6-3y=1$，解得$y=-\dfrac{7}{3}$
所以方程组(2)的解为$\begin{cases} x = -3 \\ y = -\dfrac{7}{3} \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x = -3, \\ y = -\dfrac{8}{3}; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x = -3, \\ y = -\dfrac{7}{3}. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，解题时可根据方程系数特征灵活选择消元方法，含分母的方程先去分母简化运算，能有效提升解题正确率和效率。
【难度系数】
0.8
14. 已知$\begin{cases}2x +5y +3z=0, \\3x -5y -8z=0,\end{cases}$并且$z≠0$，求$x:z$和$y:z$。
答案
14.解:原方程组可变为$\begin{cases}2x +5y = -3z, \quad ① \\3x -5y =8z. \quad \quad ②\end{cases}$
由①+②,得$5x =5z$,所以$x = z$.
把$x = z$代入①,得$2z +5y = -3z$,所以$y = -z$.
所以$x:z =1$,$y:z = -1$.
由①+②,得$5x =5z$,所以$x = z$.
把$x = z$代入①,得$2z +5y = -3z$,所以$y = -z$.
所以$x:z =1$,$y:z = -1$.
解析
【分析】
题目给出包含x、y、z三个未知数的两个方程，要求x:z和y:z，且已知z≠0，我们可以将z看作已知常数，把原方程组转化为关于x和y的二元一次方程组，先利用加减消元法消去y，求出x和z的关系，再代入方程求出y和z的关系，最后计算对应比值即可。
【解析】
原方程组可变形为：
$\begin{cases}2x +5y = -3z \quad ① \\3x -5y =8z \quad \quad ②\end{cases}$
由①+②，可得：$5x=5z$，两边同时除以5得$x=z$。
把$x=z$代入①式，得$2z+5y=-3z$，移项合并同类项得$5y=-5z$，两边同时除以5得$y=-z$。
因为$z≠0$，所以$x:z=z:z=1$，$y:z=(-z):z=-1$。
【答案】
$x:z=1$，$y:z=-1$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，比值计算
【点评】
本题考查将多未知数方程组转化为二元一次方程组求解的能力，解题核心是把z当作常数，通过消元法逐步得到x、y与z的关系，消元时可观察方程系数特征选择更简便的消元方式。
【难度系数】
0.8
题目给出包含x、y、z三个未知数的两个方程，要求x:z和y:z，且已知z≠0，我们可以将z看作已知常数，把原方程组转化为关于x和y的二元一次方程组，先利用加减消元法消去y，求出x和z的关系，再代入方程求出y和z的关系，最后计算对应比值即可。
【解析】
原方程组可变形为：
$\begin{cases}2x +5y = -3z \quad ① \\3x -5y =8z \quad \quad ②\end{cases}$
由①+②，可得：$5x=5z$，两边同时除以5得$x=z$。
把$x=z$代入①式，得$2z+5y=-3z$，移项合并同类项得$5y=-5z$，两边同时除以5得$y=-z$。
因为$z≠0$，所以$x:z=z:z=1$，$y:z=(-z):z=-1$。
【答案】
$x:z=1$，$y:z=-1$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，比值计算
【点评】
本题考查将多未知数方程组转化为二元一次方程组求解的能力，解题核心是把z当作常数，通过消元法逐步得到x、y与z的关系，消元时可观察方程系数特征选择更简便的消元方式。
【难度系数】
0.8
