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15. 如果方程组$\begin{cases}2x - y = 8p, \\4x + 7y = 7p\end{cases}$的解是方程$3x -7y=35$的解,求$p$的值.
答案
15.解:$\begin{cases}2x - y = 8p, \quad ① \\4x +7y =7p, \quad ② \\3x -7y =35, \quad ③\end{cases}$
$(②+③)÷7$,得$x = p +5$, \quad ④
$(②-①×2)÷9$,得$y = -p$. \quad ⑤
把④⑤代入③,得$p =2$.
$(②+③)÷7$,得$x = p +5$, \quad ④
$(②-①×2)÷9$,得$y = -p$. \quad ⑤
把④⑤代入③,得$p =2$.
解析
【分析】
本题属于方程组同解问题，解题思路如下：因为前两个方程组成的方程组的解同时满足第三个方程，说明三个方程有公共解。我们可以先通过加减消元法，将前两个方程中的x、y用含参数p的代数式表示出来，再将x、y的表达式代入第三个方程$3x-7y=35$，就能得到只含有p的一元一次方程，求解该方程即可得到p的值。
【解析】
因为方程组$\begin{cases}2x - y = 8p, \\4x + 7y = 7p\end{cases}$的解是方程$3x -7y=35$的解，所以三个方程有公共解，联立得：
$\begin{cases}2x - y = 8p, \quad ① \\4x +7y =7p, \quad ② \\3x -7y =35, \quad ③\end{cases}$
1. 消去y求x的表达式：将②+③，左边相加得$4x+7y+3x-7y=7x$，右边相加得$7p+35$，即$7x=7p+35$，两边同时除以7得：$x = p +5$ ④
2. 消去x求y的表达式：将①×2得$4x-2y=16p$ ⑤，用②-⑤，左边得$4x+7y-(4x-2y)=9y$，右边得$7p-16p=-9p$，即$9y=-9p$，两边同时除以9得：$y = -p$ ⑥
3. 代入求p：将④和⑥代入③，得$3(p+5)-7×(-p)=35$，展开计算得$3p+15+7p=35$，合并同类项得$10p+15=35$，移项化简得$10p=20$，解得$p=2$。
【答案】
$p=2$
【知识点】
1. 方程组同解的含义
2. 加减消元法
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是典型的含参数的二元一次方程组同解问题，核心是利用同解的性质，将未知数用参数表示后转化为一元一次方程求解，熟练掌握加减消元、代入消元的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于方程组同解问题，解题思路如下：因为前两个方程组成的方程组的解同时满足第三个方程，说明三个方程有公共解。我们可以先通过加减消元法，将前两个方程中的x、y用含参数p的代数式表示出来，再将x、y的表达式代入第三个方程$3x-7y=35$，就能得到只含有p的一元一次方程，求解该方程即可得到p的值。
【解析】
因为方程组$\begin{cases}2x - y = 8p, \\4x + 7y = 7p\end{cases}$的解是方程$3x -7y=35$的解，所以三个方程有公共解，联立得：
$\begin{cases}2x - y = 8p, \quad ① \\4x +7y =7p, \quad ② \\3x -7y =35, \quad ③\end{cases}$
1. 消去y求x的表达式：将②+③，左边相加得$4x+7y+3x-7y=7x$，右边相加得$7p+35$，即$7x=7p+35$，两边同时除以7得：$x = p +5$ ④
2. 消去x求y的表达式：将①×2得$4x-2y=16p$ ⑤，用②-⑤，左边得$4x+7y-(4x-2y)=9y$，右边得$7p-16p=-9p$，即$9y=-9p$，两边同时除以9得：$y = -p$ ⑥
3. 代入求p：将④和⑥代入③，得$3(p+5)-7×(-p)=35$，展开计算得$3p+15+7p=35$，合并同类项得$10p+15=35$，移项化简得$10p=20$，解得$p=2$。
【答案】
$p=2$
【知识点】
1. 方程组同解的含义
2. 加减消元法
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是典型的含参数的二元一次方程组同解问题，核心是利用同解的性质，将未知数用参数表示后转化为一元一次方程求解，熟练掌握加减消元、代入消元的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
16. 某汽车从A地开往B地,如果在原计划行驶时间的前一半时间内每小时行驶40 km,而后一半时间内每小时行驶50 km,则按时到达.但汽车以每小时40 km的速度从A地到距离AB中点还差40 km的地方发生故障而停车半小时,以后又以每小时55 km的速度继续向前开去,仍然按时到达B地,求A,B两地间距离及原计划行驶的时间.
答案
16.解:设原计划用$x\ \mathrm{h}$,$A$,$B$两地间距离的一半为$y\ \mathrm{km}$,则
$\begin{cases}\dfrac{x}{2}×40 + \dfrac{x}{2}×50 =2y, \\ \dfrac{y -40}{40} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{y +40}{55} =x,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x =8, \\ y =180.\end{cases}$
所以$\begin{cases}x =8, \\ 2y =360,\end{cases}$ 所以$A$,$B$两地间距离为$360\ \mathrm{km}$,原计划行驶时间为$8\ \mathrm{h}$.
$\begin{cases}\dfrac{x}{2}×40 + \dfrac{x}{2}×50 =2y, \\ \dfrac{y -40}{40} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{y +40}{55} =x,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x =8, \\ y =180.\end{cases}$
所以$\begin{cases}x =8, \\ 2y =360,\end{cases}$ 所以$A$,$B$两地间距离为$360\ \mathrm{km}$,原计划行驶时间为$8\ \mathrm{h}$.
解析
【分析】
这是一道行程类的二元一次方程组应用题，我们可以通过设未知数、找等量关系列方程组求解。首先确定两个未知量：原计划行驶时间、A、B两地的距离，为了计算方便，可设原计划行驶时间为$x\ \mathrm{h}$，AB两地距离的一半为$y\ \mathrm{km}$。第一个等量关系来自原计划行驶方案：前一半时间行驶的路程加后一半时间行驶的路程等于总路程$2y$；第二个等量关系来自实际行驶方案：行驶$(y-40)\mathrm{km}$的时间+停车半小时+行驶$(y+40)\mathrm{km}$的时间=原计划总时间$x$，联立两个方程即可求出未知数，最后再计算总路程$2y$。
【解析】
解：设原计划行驶时间为$x\ \mathrm{h}$，A、B两地间距离的一半为$y\ \mathrm{km}$。
根据原计划行驶的总路程等于两段路程之和，列方程：
$\dfrac{x}{2}×40 + \dfrac{x}{2}×50 =2y$
根据实际行驶总时间等于原计划行驶时间，列方程：
$\dfrac{y -40}{40} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{y +40}{55} =x$
联立得到方程组：
$\begin{cases}\dfrac{x}{2}×40 + \dfrac{x}{2}×50 =2y \\ \dfrac{y -40}{40} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{y +40}{55} =x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x =8 \\ y =180\end{cases}$
则A、B两地总距离为$2y=2×180=360\ \mathrm{km}$，原计划行驶时间为$8\ \mathrm{h}$。
【答案】
A、B两地间距离为$360\ \mathrm{km}$，原计划行驶的时间为$8\ \mathrm{h}$。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程问题，列方程解应用题
【点评】
本题属于典型的行程类方程应用题，解题核心是准确梳理两种行驶方案的对应等量关系，需注意实际行驶过程中的停车时间也要计入总用时，避免漏项导致列式错误，能有效考查学生的题意分析能力和方程建模能力。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的二元一次方程组应用题，我们可以通过设未知数、找等量关系列方程组求解。首先确定两个未知量：原计划行驶时间、A、B两地的距离，为了计算方便，可设原计划行驶时间为$x\ \mathrm{h}$，AB两地距离的一半为$y\ \mathrm{km}$。第一个等量关系来自原计划行驶方案：前一半时间行驶的路程加后一半时间行驶的路程等于总路程$2y$；第二个等量关系来自实际行驶方案：行驶$(y-40)\mathrm{km}$的时间+停车半小时+行驶$(y+40)\mathrm{km}$的时间=原计划总时间$x$，联立两个方程即可求出未知数，最后再计算总路程$2y$。
【解析】
解：设原计划行驶时间为$x\ \mathrm{h}$，A、B两地间距离的一半为$y\ \mathrm{km}$。
根据原计划行驶的总路程等于两段路程之和，列方程：
$\dfrac{x}{2}×40 + \dfrac{x}{2}×50 =2y$
根据实际行驶总时间等于原计划行驶时间，列方程：
$\dfrac{y -40}{40} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{y +40}{55} =x$
联立得到方程组：
$\begin{cases}\dfrac{x}{2}×40 + \dfrac{x}{2}×50 =2y \\ \dfrac{y -40}{40} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{y +40}{55} =x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x =8 \\ y =180\end{cases}$
则A、B两地总距离为$2y=2×180=360\ \mathrm{km}$，原计划行驶时间为$8\ \mathrm{h}$。
【答案】
A、B两地间距离为$360\ \mathrm{km}$，原计划行驶的时间为$8\ \mathrm{h}$。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程问题，列方程解应用题
【点评】
本题属于典型的行程类方程应用题，解题核心是准确梳理两种行驶方案的对应等量关系，需注意实际行驶过程中的停车时间也要计入总用时，避免漏项导致列式错误，能有效考查学生的题意分析能力和方程建模能力。
【难度系数】
0.6
