1[2025江苏连云港期中]如图，$BD=BC$，$BE=CA$，$∠ DBE=∠ C=62°$，$∠ BDE=75°$，则$∠ AFD$的度数等于（）


A.$55°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$32°$

在 $△ BDE$ 和 $△ CBA$ 中，
$\begin{cases} BD=CB, \\ ∠ DBE=∠ C, \\ BE=CA, \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CBA \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BDE = ∠ CBA = 75°$. 在 $△ ABC$ 中，$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° -75° -62° = 43°$.
$\because ∠ BDE$ 是 $△ ADF$ 的外角，$\therefore ∠ BDE = ∠ A + ∠ AFD$，$\therefore ∠ AFD = ∠ BDE - ∠ A =75° -43° = 32°$. 故选 D.

2[2025黑龙江牡丹江质检]如图所示，$AB=CD$，$AE=CF$，$DE=BF$，则图中的全等三角形有（）


A.3对
B.4对
C.5对
D.2对

$\because DE = BF, \therefore DE-EF = BF-EF$,
$\therefore DF = BE. \because AB = CD, AE = CF, BE = DF$,
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF \ (\mathrm{SSS}), \therefore ∠ AEB = ∠ CFD$,
$∠ ABE = ∠ CDF, \therefore ∠ AED = ∠ CFB. \because AE = CF, ∠ AED = ∠ CFB, DE = BF, \therefore △ AED ≌ △ CFB \ (\mathrm{SAS}). \because AB = CD, ∠ ABD = ∠ CDB, BD = BD, \therefore △ ABD ≌ △ CDB (\mathrm{SAS}), \therefore$ 题图中的全等三角形有 3 对,故选 A.

3[2025河北保定期中]如图,李师傅在四边形木板ABCD中裁下3个三角形(空白部分),已知∠B=∠C=90°, AE⊥EF, AE=EF, ∠CGD=∠EGF, AB=30 cm, BE=CD=10 cm, CG=20 cm,则剩余木板(阴影部分)的面积为()


A.1 600 cm²
B.1 100 cm²
C.900 cm²
D.500 cm²

如图,过点 $F$ 作 $FH ⊥ BC$, 则 $∠ FHE = ∠ FHG = 90° = ∠ B = ∠ C$.
$\because AE ⊥ EF, \therefore ∠ AEF = 90°, \therefore ∠ BAE = ∠ FEH = 90° - ∠ AEB$. 在 $△ ABE$ 和 $△ EHF$ 中,
$\begin{cases} ∠ B = ∠ FHE, \\ ∠ BAE = ∠ HEF, \\ AE = EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ EHF \ (\mathrm{AAS})$,
$\therefore EH=AB, FH=BE. \because BE=CD, \therefore FH=CD$. 在 $△ FHG$ 和 $△ DCG$ 中,
$\begin{cases} ∠ FGH = ∠ DGC, \\ ∠ FHG = ∠ C, \\ FH = DC, \end{cases}$
$\therefore △ FHG ≌ △ DCG (\mathrm{AAS}), \therefore HG = CG, \therefore EG = EH+GH = AB+CG = 50 \ \mathrm{cm}, BC = BE+EG+CG = 80 \ \mathrm{cm}, \therefore$ 剩余木板 (阴影部分) 的面积为
$S_{\mathrm{梯形}ABCD} - S_{△ ABE} - S_{△ EFG} - S_{△ CDG} = \frac{1}{2}(30+10) × 80 - \frac{1}{2} × 30 × 10 - \frac{1}{2} × 50 × 10 - \frac{1}{2} × 20 × 10 = 1100 (\mathrm{cm}^2)$, 故选 B.

4[2025广东广州期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC$,$BD$平分$∠ ABC$,$CE ⊥ BD$交$BD$的延长线于点$E$.若$CE=10$,则$BD=$.

延长 $BA, CE$ 交于点 $F$, 如图. $\because CE ⊥ BD$,
$\therefore ∠ BEF = ∠ BEC = 90°$.
$\because ∠ BAC = ∠ BEC = 90°$,
$\therefore ∠ ABD + ∠ ADB = 90°$,
$∠ CDE + ∠ ACF = 90°. \because ∠ ADB = ∠ EDC$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ ACF$. 在 $△ ABD$ 和 $△ ACF$ 中,
$\begin{cases} ∠ BAD = ∠ CAF = 90°, \\ AB = AC, \\ ∠ ABD = ∠ ACF, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACF \ (\mathrm{ASA}), \therefore BD = CF. \because BD$ 平分 $∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ CBE$. 在 $△ BEF$ 和 $△ BEC$ 中,
$\begin{cases} ∠ ABE = ∠ CBE, \\ BE = BE, \\ ∠ BEF = ∠ BEC, \end{cases}$
$\therefore △ BEF ≌ △ BEC \ (\mathrm{ASA})$,
$\therefore EF = EC, \therefore EC = \frac{1}{2}CF, \therefore BD = 2CE = 20$. 故答案为 20.

5[2025山东泰安期末]如图,在△ABC和△DBC中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC.
(1)请说明:△ABC≌△DCB；
(2)当∠EBC=40°时,求∠AEB的度数.

(1) 在 $△ ABE$ 和 $△ DCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ AEB = ∠ DEC, \\ ∠ A = ∠ D, \\ AB = DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DCE (\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE = DE, BE = CE, \therefore AE+CE = DE+BE$, 即 $AC = DB$. 在 $△ ABC$ 和 $△ DCB$ 中, $\begin{cases} AB = DC, \\ BC = CB, \\ AC = DB, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB (\mathrm{SSS})$.
(2) $\because △ ABC ≌ △ DCB, \therefore ∠ ACB = ∠ DBC$.
$\because ∠ EBC = 40°, \therefore ∠ AEB = ∠ EBC + ∠ ECB = 2∠ EBC = 80°$.

6[2025北京朝阳区调研]证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等,那么这两个三角形全等.

已知:如图, 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中, $AB = DE, AC = DF, CM, FN$ 分别是 $AB, DE$ 边上的中线, 且 $CM = FN$, 求证: $△ ABC ≌ △ DEF$.
证明: $\because CM, FN$ 分别是 $AB, DE$ 边上的中线,
$\therefore$ 点 $M, N$ 分别是 $AB, DE$ 边的中点, $\therefore AM = \frac{1}{2}AB, DN = \frac{1}{2}DE. \because AB = DE, \therefore AM = DN$. 在 $△ ACM$ 和 $△ DFN$ 中, $\begin{cases} AC = DF, \\ CM = FN, \\ AM = DN, \end{cases}$
$\therefore △ ACM ≌ △ DFN \ (\mathrm{SSS}), \therefore ∠ A = ∠ D$. 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中, $\begin{cases} AB = DE, \\ ∠ A = ∠ D, \\ AC = DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF \ (\mathrm{SAS})$.

7[2026江苏南京质检]如图,点B,D在射线OM上,点A,C在射线ON上,OA=OB,OC=OD,连接AD,BC,交于点P.求证:点P在∠MON的平分线上.

如图,连接 $OP$.
在$△ OAD$ 和 $△ OBC$ 中, $\begin{cases} OA = OB, \\ ∠ AOD = ∠ BOC, \\ OD = OC, \end{cases}$
$\therefore △ OAD ≌ △ OBC (\mathrm{SAS}), \therefore ∠ ACP = ∠ BDP$.
$\because OA = OB, OC = OD, \therefore OC - OA = OD - OB$, 即 $AC = BD$.
在 $△ APC$ 和 $△ BPD$ 中, $\begin{cases} ∠ ACP = ∠ BDP, \\ ∠ APC = ∠ BPD, \\ AC = BD, \end{cases}$
$\therefore △ APC ≌ △ BPD (\mathrm{AAS}), \therefore PA = PB$.
在 $△ OAP$ 和 $△ OBP$ 中, $\begin{cases} OA = OB, \\ PA = PB, \\ OP = OP, \end{cases}$
$\therefore △ OAP ≌ △ OBP (\mathrm{SSS}), \therefore ∠ AOP = ∠ BOP, \therefore OP$ 平分 $∠ AOB$, 即点 $P$ 在 $∠ MON$ 的平分线上.