1.
将边长为 $ a $ 的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第 $ 1 $ 次对折后得到的图形面积为 $ S_{1} $，第 $ 2 $ 次对折后得到的图形面积为 $ S_{2} ··· ··· $ 第 $ n $ 次对折后得到的图形面积为 $ S_{n} $，则 $ S_{1} + S_{2} + S_{3} + ··· + S_{2025} = $。

1. $(1-\dfrac{1}{2^{2025}})a^{2}$ 解析：由题意，得$S_{1}=\dfrac{1}{2}a^{2}$，$S_{2}=\dfrac{1}{2}× \dfrac{1}{2}a^{2}=\dfrac{1}{2^{2}}a^{2}$，$S_{3}=\dfrac{1}{2}× \dfrac{1}{2^{2}}a^{2}=\dfrac{1}{2^{3}}a^{2}$，$···$，$S_{2025}=\dfrac{1}{2^{2025}}a^{2}$.由题图，得$S_{1}+S_{2}+S_{3}+··· +S_{2025}=a^{2}-\dfrac{1}{2^{2025}}a^{2}=(1-\dfrac{1}{2^{2025}})a^{2}$.

2. 新素养 几何直观
已知大正方形的边长为 $ 10 \, \mathrm{cm} $，小正方形的边长为 $ 4 \, \mathrm{cm} $，起始状态如图所示。大正方形固定不动，把小正方形以 $ 1 \, \mathrm{cm/s} $ 的速度向右沿直线平移。设平移的时间为 $ t \, \mathrm{s} $，两个正方形重叠部分的面积为 $ S \, \mathrm{cm}^{2} $，则当 $ S = 4 $ 时，$ t = $。

2. 1或13 解析：因为$4÷ 1=4(\mathrm{s})$，$10÷ 1=10(\mathrm{s})$，$(10 + 4)÷ 1=14(\mathrm{s})$，所以当$0 ≤ t ≤ 4$时，$S = 4t$；当$4 ＜ t ＜ 10$时，$S = 4× 4 = 16$；当$10 ≤ t ≤ 14$时，$S = 4[4-(t - 10)] = 56 - 4t$；当$t ＞ 14$时，$S = 0$.令$4t = 4$，解得$t = 1$；令$56 - 4t = 4$，解得$t = 13$.综上所述，当$S = 4$时，$t = 1$或13.

3.在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片 $ ABC $，$ ∠ B = 30° $，$ ∠ C = 50° $，$ D $ 是边 $ AB $ 上的定点 $ ( BD ＜ \frac{1}{2} AB ) $，$ E $ 是边 $ BC $ 上的动点，将纸片沿 $ DE $ 折叠，点 $ B $ 落在点 $ F $ 处。若 $ EF $ 与 $ △ ABC $ 一边所在的直线平行，求 $ ∠ BED $ 的度数。

3. 由折叠的性质，得$∠ BED=∠ FED$.因为$∠ B = 30°$，$∠ C = 50°$，所以当$EF$与$△ ABC$的一边平行时，分类讨论如下：① 如图①，若$EF // AB$，则$∠ CEF=∠ B = 30°$，所以$∠ BEF = 180°-∠ CEF = 150°$，所以$∠ BED=\dfrac{1}{2}∠ BEF = 75°$；② 如图②，若$EF // AC$，且点$F$在$BC$上方，则$∠ BEF=∠ C = 50°$，所以$∠ BED=\dfrac{1}{2}∠ BEF = 25°$；③ 如图③，若$EF // AC$，且点$F$在$BC$下方，则$∠ CEF=∠ C = 50°$，所以$∠ BED=\dfrac{1}{2}(180°+∠ CEF)=115°$.综上所述，$∠ BED$的度数为$75°$或$25°$或$115°$.

4. 新趋势 推导探究
如图，$ ∠ AOB $ 内部有一射线 $ OC $，$ OC ⊥ OA $，$ ∠ AOC $ 与 $ ∠ BOC $ 的度数比为 $ 3 : 2 $。射线 $ OM $ 从 $ OA $ 出发，以 $ 10 $ 度/秒的速度绕点 $ O $ 顺时针旋转，同时射线 $ ON $ 从 $ OC $ 出发，以 $ 20 $ 度/秒的速度绕点 $ O $ 顺时针旋转，当射线 $ ON $ 与射线 $ OB $ 重合后，立即以原速逆时针旋转，当射线 $ ON $ 与射线 $ OC $ 重合后再次改变方向顺时针向 $ OB $ 旋转（即 $ ON $ 在 $ OC $ 与 $ OB $ 之间来回摆动），当射线 $ OM $ 与射线 $ OC $ 重合时，$ OM $ 与 $ ON $ 都停止旋转。设旋转的时间为 $ t $ 秒。
(1) 当 $ t = 1 $ 时，求 $ ∠ MON $ 的度数；
(2) 当 $ t $ 为何值时，$ OC $ 恰好是 $ ∠ MON $ 的平分线？
(3) 在旋转的过程中，作 $ ∠ CON $ 的平分线 $ OP $。是否存在某个时间段，使得 $ ∠ MOP $ 的度数保持不变？若存在，求出 $ ∠ MOP $ 的度数，并写出对应的 $ t $ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

4. （1）因为$OC ⊥ OA$，所以$∠ AOC = 90°$.因为$∠ AOC$与$∠ BOC$的度数比为$3:2$，所以$∠ BOC=\dfrac{2}{3}∠ AOC = 60°$.当$t = 1$时，$∠ AOM = 10°$，$∠ CON = 20°$，所以$∠ AON=∠ AOC+∠ CON-∠ AOM = 100°$.
（2）当$OM$与$OC$重合时，$t = 90÷ 10 = 9$，所以$0 ≤ t ≤ 9$.当射线$ON$与射线$OB$第一次重合时，$t = 60÷ 20 = 3$；当射线$ON$回到射线$OC$位置时，$t = 3× 2 = 6$；当射线$ON$与射线$OB$第二次重合时，$t = 3× 3 = 9$.因为$∠ AOC = 90°$，$∠ AOM = 10t°$，所以$∠ COM=∠ AOC-∠ AOM=(90 - 10t)°$.因为$OC$恰好是$∠ MON$的平分线，所以$∠ CON=∠ COM=(90 - 10t)°$.分类讨论如下：① 当$0 ≤ t ≤ 3$时，$∠ CON = 20t°$，则$90 - 10t = 20t$，解得$t = 3$；② 当$3 ＜ t ＜ 6$时，$∠ CON=(120 - 20t)°$，则$90 - 10t = 120 - 20t$，解得$t = 3$，不合题意，舍去；③ 当$6 ≤ t ≤ 9$时，$∠ CON=(20t - 120)°$，则$90 - 10t = 20t - 120$，解得$t = 7$.综上所述，当$t$的值为$3$或$7$时，$OC$恰好是$∠ MON$的平分线.
（3）因为$OP$平分$∠ CON$，所以$∠ COP=\dfrac{1}{2}∠ CON$.因为$∠ COM=(90 - 10t)°$，所以分类讨论如下：① 当$0 ≤ t ≤ 3$时，$∠ CON = 20t°$，则$∠ COP = 10t°$，所以$∠ MOP=∠ COM+∠ COP = 90°$；② 当$3 ＜ t ＜ 6$时，$∠ CON=(120 - 20t)°$，则$∠ COP=(60 - 10t)°$，所以$∠ MOP=∠ COM+∠ COP=(150 - 20t)°$；③ 当$6 ≤ t ≤ 9$时，$∠ CON=(20t - 120)°$，则$∠ COP=(10t - 60)°$，所以$∠ MOP=∠ COM+∠ COP = 30°$.综上所述，存在某个时间段，使得$∠ MOP$的度数保持不变，且当$0 ≤ t ≤ 3$时，$∠ MOP = 90°$；当$6 ≤ t ≤ 9$时，$∠ MOP = 30°$.