1. 下面的图形都是由边长为 $10\mathrm{cm}$ 和 $6\mathrm{cm}$ 的两个正方形拼成的。求每个图形中阴影部分的面积。

1. 对于第一个图形：
解：
观察可知，阴影部分是一个三角形，其底为$6cm$，高为$10cm$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高）。
这里$a = 6$，$h = 10$，则$S=\frac{1}{2}×6×10 = 30(cm^{2})$。
2. 对于第二个图形：
解：
阴影部分是一个三角形，其底为$10 + 6=16(cm)$，高为$10cm$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$。
这里$a = 16$，$h = 10$，则$S=\frac{1}{2}×(10 + 6)×10=\frac{1}{2}×16×10 = 80(cm^{2})$。
综上，第一个图形阴影部分面积为$30cm^{2}$，第二个图形阴影部分面积为$80cm^{2}$。

2. 求下面各图形中阴影部分的面积。($\pi$ 取 $3.14$)

1. 对于第一个图形：
首先分析图形：
已知长方形的长$a = 10cm$，宽$b=\frac{10}{2}=5cm$，两个扇形的半径$r = 5cm$，且两个扇形的圆心角之和为$180^{\circ}$（因为长方形的一个角是$90^{\circ}$，两个角就是$180^{\circ}$）。
根据长方形面积公式$S_{长}=a× b$，扇形面积公式$S_{扇}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角的度数，$r$是半径）。
然后计算阴影部分面积：
$S_{阴}=S_{长}-S_{扇}$。
$S_{长}=10×5 = 50cm^{2}$，$S_{扇}=\frac{180×3.14×5^{2}}{360}$。
先计算$S_{扇}=\frac{1}{2}×3.14×25=39.25cm^{2}$。
所以$S_{阴}=50 - 39.25=10.75cm^{2}$。
2. 对于第二个图形：
首先分析图形：
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里直角三角形三边$a = 15cm$，$b = 20cm$，$c = 25cm$，$15^{2}+20^{2}=225 + 400=625=25^{2}$），可知这是一个直角三角形。
把左侧阴影部分平移到右侧，阴影部分面积$S_{阴}=S_{三角形}-S_{扇形}$。
三角形面积公式$S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高$，扇形半径$r$（扇形半径是直角三角形斜边上的高，根据三角形面积$S=\frac{1}{2}×15×20=\frac{1}{2}×25× r$，可得$r=\frac{15×20}{25}=12cm$），圆心角$n = 90^{\circ}$。
然后计算阴影部分面积：
$S_{三角形}=\frac{1}{2}×15×20 = 150cm^{2}$，$S_{扇}=\frac{90×3.14×12^{2}}{360}$。
先计算$S_{扇}=\frac{1}{4}×3.14×144 = 113.04cm^{2}$。
所以$S_{阴}=150-113.04 = 36.96cm^{2}$。
综上，第一个图形阴影部分面积是$10.75cm^{2}$，第二个图形阴影部分面积是$36.96cm^{2}$。

3. 已知三角形 $ABC$ 的三个顶点的位置分别是 $A(5,3)$，$B(-2,0)$，$C(5,0)$。如果每个小方格的边长是 $1\mathrm{cm}$，那么三角形 $ABC$ 绕 $BC$ 旋转一周所得到的图形的体积是多少？($\pi$ 取 $3.14$)

65.94cm³

1. 计算BC长度：B(-2,0)，C(5,0)，BC=5 - (-2)=7cm。
2. 计算AC长度：A(5,3)，C(5,0)，AC=3 - 0=3cm，且AC⊥BC。
3. 绕BC旋转得圆锥，底面半径r=AC=3cm，高h=BC=7cm。
4. 体积V=(1/3)πr²h=(1/3)×3.14×3²×7=65.94cm³。