1.有下列说法：
①弧分为优弧和劣弧；
②圆的一条弦所对的两条弧一定是等弧；
③面积相等的两个圆是等圆；
④直径是弦.
其中说法正确的有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.0个

1. B

【分析】
本题考查圆的相关基础概念，解题时需要逐一判断每个说法的正误，回忆弧、等弧、等圆、弦的定义，结合定义逐个分析即可得出正确结论。
【解析】
我们逐个判断4个说法：
① 弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆三类，半圆既不属于优弧也不属于劣弧，因此①说法错误；
② 只有当弦为直径时，弦所对的两条弧都是半圆，属于等弧；若弦不是直径，所对的两条弧一条是优弧一条是劣弧，长度不相等，不是等弧，因此②说法错误；
③ 由圆的面积公式$S=π r^2$可知，面积相等的两个圆半径相等，半径相等的两个圆是等圆，因此③说法正确；
④ 弦的定义是连接圆上任意两点的线段，直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，符合弦的定义，因此直径是弦，④说法正确。
综上，正确的说法有③④共2个。
【答案】
B
【知识点】
圆的有关概念；弧的分类；等圆判定
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握圆相关的各类定义，避免对概念的理解出现遗漏或偏差，就能轻松得出正确答案。
【难度系数】
0.7

【典型例题2】在同一平面内，已知$\odot O$的半径为6，$PO=7$，则点P与$\odot O$的位置关系为（）

A.点P在圆外
B.点P在圆上
C.点P在圆内
D.无法确定
【答案】A
规律方法 确定点与圆的位置关系时，设$\odot O$的半径为$r$，任意一点P到圆心的距离$OP=d$，则有
点P在圆外$\iff d＞r$；
点P在圆上$\iff d=r$；
点P在圆内$\iff d＜r$。

A

【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心方法是对比点到圆心的距离和圆的半径的大小。首先从题干提取关键数值：⊙O的半径r=6，点P到圆心O的距离$PO=d=7$，再结合点与圆位置关系的判定规则，对比d和r的大小就能得出结论。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r$，点P到圆心O的距离为$d$。
由题意得：$r=6$，$d=PO=7$。
$\because 7＞6$，即$d＞r$，
根据点与圆的位置关系判定规则：当$d＞r$时，点在圆外，
$\therefore$ 点P在$\odot O$外。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础题型，考查点与圆位置关系的判断，解题关键是熟记判定规则，准确提取题干中的半径和点到圆心的距离两个数值进行大小比较即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 已知$\odot O$的半径为5 cm. 若点P在$\odot O$上，
则点P到圆心O的距离为 cm.

2. 5

【分析】
解题时首先回忆圆的相关性质：圆上任意一点到圆心的距离都等于该圆的半径。本题已经给出⊙O的半径为5cm，且明确点P在⊙O上，因此直接对应半径的数值即可得到点P到圆心的距离。
【解析】
根据圆的定义，圆上所有点到圆心的距离等于圆的半径。
已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，因此点P到圆心O的距离等于⊙O的半径，即5cm。
【答案】
5
【知识点】
圆的有关概念；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握圆的基本性质就能快速得出答案，是对基础知识点掌握情况的简单检验。
【难度系数】
0.9

【典型例题 3】如图，在$△ ABC$中，$CE$，$BD$分别是$AB$，$AC$边上的高.求证：$B$，$C$，$D$，$E$四个点在同一个圆上.
【证明】如图，取$BC$的中点$F$，连接$DF$，$EF$.
$\because BD$，$CE$是$△ ABC$的高，
$\therefore △ BCD$和$△ BCE$都是直角三角形.
$\therefore DF$，$EF$分别为$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$斜边上的中线.
$\therefore DF=BF=CF=EF$.
$\therefore B$，$C$，$D$，$E$四个点在以点$F$为圆心，$\frac{1}{2}BC$长为半径的同一个圆上.
规律方法 证明四点共圆的常用方法：
(1)利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明：若四个点能构成两个共斜边的直角三角形，则这四个点在以该斜边为直径的同一个圆上.
(2)利用“圆的概念”证明：如果能找到一个定点$O$，使得四个点到点$O$的距离相等，那么这四个点在以点$O$为圆心的同一个圆上.

取$BC$的中点$F$，连接$DF$，$EF$.
$\because BD$，$CE$是$△ ABC$的高，
$\therefore △ BCD$和$△ BCE$都是直角三角形.
$\therefore DF$，$EF$分别为$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$斜边上的中线.
$\therefore DF=BF=CF=EF$.
$\therefore B$，$C$，$D$，$E$四个点在以点$F$为圆心，$\frac{1}{2}BC$长为半径的同一个圆上.

【分析】
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明存在一个定点，使得这四个点到该定点的距离相等即可。观察题目条件，BD、CE是△ABC的高，可得△BCD和△BCE都是以BC为斜边的直角三角形，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，取BC的中点F，即可证得B、C、D、E四点到点F的距离均等于BC长度的一半，进而完成证明。
【解析】
取$BC$的中点$F$，连接$DF$，$EF$.
$\because BD$，$CE$是$△ ABC$的高，
$\therefore △ BCD$和$△ BCE$都是直角三角形.
$\therefore DF$，$EF$分别为$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$斜边上的中线.
$\therefore DF=BF=CF=EF$.
$\therefore B$，$C$，$D$，$E$四个点在以点$F$为圆心，$\frac{1}{2}BC$长为半径的同一个圆上.
【答案】
取$BC$的中点$F$，连接$DF$，$EF$.
$\because BD$，$CE$是$△ ABC$的高，
$\therefore △ BCD$和$△ BCE$都是直角三角形.
$\therefore DF$，$EF$分别为$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ BCE$斜边上的中线.
$\therefore DF=BF=CF=EF$.
$\therefore B$，$C$，$D$，$E$四个点在以点$F$为圆心，$\frac{1}{2}BC$长为半径的同一个圆上.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的定义、四点共圆判定
【点评】
本题是四点共圆证明的基础题型，解题核心是抓住共斜边的直角三角形这一特征，通过取斜边中点构造等长线段，结合圆的定义完成证明，熟练掌握共斜边直角三角形的四点共圆模型，可大幅提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.7

3.如图,在四边形$ABCD$中,$∠ A = ∠ C = 90°$.求证:$A,B,C,D$四个点在同一个圆上.

3. 【证明】如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA,OC.

∵∠BAD=∠BCD=90°,OB=OD,
∴OA=OB=OD=OC.
∴A,B,C,D四个点在同一个圆上.

【分析】
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知∠A和∠C都是直角，且△BAD和△BCD有公共斜边BD，联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此取BD的中点作为定点，证明四个点到该中点的距离相等即可得证。
【解析】
证明：连接BD，取BD的中点O，连接OA、OC。
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°，O为BD中点，
∴ 在Rt△BAD中，OA是斜边BD的中线，可得$OA=OB=OD=\frac{1}{2}BD$；
同理在Rt△BCD中，OC是斜边BD的中线，可得$OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∴ $OA=OB=OC=OD$，即A、B、C、D四个点到定点O的距离相等。
根据圆的定义，可知A、B、C、D四个点在同一个圆上。
【答案】
【证明】如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA,OC.

∵∠BAD=∠BCD=90°,OB=OD,
∴OA=OB=OD=OC.
∴A,B,C,D四个点在同一个圆上.
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质 2. 四点共圆判定 3. 圆的定义
【点评】
本题属于四点共圆证明的基础题型，解题核心是利用有公共斜边的两个直角三角形的斜边中线性质找到公共圆心，从而证明四个点到圆心的距离相等，该结论在圆的综合题中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7