典例3 下列图形中,不是中心对称图形的是().

A

解：在平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能够与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。
对各选项逐一判断：
选项A：绕圆心旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
选项B：绕圆心旋转180°后，与原图形完全重合，是中心对称图形；
选项C：绕圆心旋转180°后，与原图形完全重合，是中心对称图形；
选项D：绕圆心旋转180°后，与原图形完全重合，是中心对称图形。

典例4 已知平面直角坐标系第二象限内的点 $P(x^2 - 5x + 1, 3)$ 与另一点 $Q(4x - 1, y)$ 关于原点对称，试求 $x - y$ 的值.
典例解析
典例1
(1) 证明 $\because △ ADP$ 绕点 $A$ 旋转至 $△ ABP'$，
$\therefore$ 根据旋转的性质可知，$△ APD ≌ △ AP'B$，
$\therefore AP = AP', ∠ PAD = ∠ P'AB.$
$\because ∠ PAD + ∠ PAB = 90°,$
$\therefore ∠ P'AB + ∠ PAB = 90°,$
即 $∠ PAP' = 90°,$
$\therefore △ APP'$ 是等腰直角三角形.
(2) 解 由(1)知 $∠ PAP' = 90°, AP = AP' = 1,$
$\therefore PP' = \sqrt{2}.$
$\because P'B = PD = \sqrt{10}, PB = 2\sqrt{2},$
$\therefore P'B^2 = PP'^2 + PB^2,$
$\therefore △ BPP'$ 是直角三角形，$∠ P'PB = 90°.$
$\because △ APP'$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ APP' = 45°,$
$\therefore ∠ BPQ = 180° - 90° - 45° = 45°.$
典例2
解 (1) 如图，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求.
(2) 如图，点 $F$ 即为所求.

(3) 由勾股定理得，$AC = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}.$
$\because △ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × (4 + 6) × 6 - \frac{1}{2} × 3 × 4 - \frac{1}{2} × 3 × 6 = 30 - 6 - 9 = 15,$
$\therefore \frac{1}{2}AC · BF = 15,$
即 $\frac{1}{2} × 3\sqrt{5} × BF = 15,$
$\therefore BF = 2\sqrt{5}.$
典例3
答案 A
解析 选项 B,C,D 中的图形，都能找到一个点，使图形绕该点旋转 $180°$ 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，不符合题意.
选项 A 中的图形，不能找到一个点，使图形绕该点旋转 $180°$ 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，符合题意.
故选 A.
典例4
解 由题意得，$x^2 - 5x + 1 = -(4x - 1), 3 = -y,$
解得 $x_1 = 0, x_2 = 1, y = -3.$
$\because$ 点 $P$ 在第二象限，
$\therefore x^2 - 5x + 1 ＜ 0,$
$\therefore x = 0$ 不符合题意，
$\therefore x = 1,$
$\therefore x - y = 1 - (-3) = 4.$

解：
由关于原点对称的点的坐标特征，得
$x^2 - 5x + 1 = -(4x - 1)$，$3 = -y$，
整理方程$x^2 - 5x + 1 = -(4x - 1)$，得$x^2 - x = 0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$，
由$3=-y$得$y=-3$。
∵ 点P在第二象限，
∴ 点P的横坐标$x^2 -5x +1 ＜ 0$，
当$x=0$时，$x^2 -5x +1=1＞0$，不符合题意，舍去，
当$x=1$时，$x^2 -5x +1=-3＜0$，符合题意，
∴ $x=1$，
∴ $x-y=1 - (-3)=4$。