典例1 如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=$2\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{10}$，△ADP绕点A旋转至△ABP'，连接PP'，延长AP与BC相交于点Q.
(1) 求证：△APP'是等腰直角三角形；
(2) 判断△BPP'的形状，并求∠BPQ

的度数.

解：
(1) 证明：
∵ △ADP绕点A旋转至△ABP'，
∴ AP = AP'，旋转角∠PAP' = ∠DAB = 90°，
∴ △APP'是等腰直角三角形。
(2) △BPP'是直角三角形，求解如下：
由旋转的性质可得：$BP' = PD = \sqrt{10}$，
∵ △APP'是等腰直角三角形，$PA=1$，
∴ $PP'^2 = PA^2 + AP'^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，即$PP' = \sqrt{2}$。
在△BPP'中：
$PP'^2 + PB^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 2 + 8 = 10$，
$BP'^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，
∴ $PP'^2 + PB^2 = BP'^2$，
∴ △BPP'是直角三角形，且$∠ BPP' = 90°$。
又∵ △APP'是等腰直角三角形，
∴ $∠ APP' = 45°$，
∴ $∠ BPQ = 180° - ∠ APP' - ∠ BPP' = 180° - 45° - 90° = 45°$。
综上，△BPP'是直角三角形，$∠ BPQ = 45°$。

典例2 如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上.
(1)在网格中画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A₁B₁C₁;
(2)在图中过点B作AC的垂线BM交AC于点F;
(3)求BF的长度.

解：
(1) 分别将点A、点C绕点B顺时针旋转90°，得到对应点$A_1$、$C_1$，点B旋转后位置不变，顺次连接$A_1$、B、$C_1$，所得三角形即为所求的$△ A_1B_1C_1$。
(2) 利用网格的格点垂直关系，过点B作直线垂直于AC，交AC于点F，直线BM即为所求。
(3) 由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$
用割补法计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=5×6-\frac{1}{2}×2×5-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×3×6=12$
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BF$，代入得：
$\frac{1}{2}×3\sqrt{5}× BF=12$
解得$BF=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。